2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章2.3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用練習(xí)北師大版選修.docx

2.3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用課后篇鞏固探究A組1.若x-1,x0,則下列不等式正確的是()A.(1+x)31+3xB.(1+x1+xC.(1+x)-21-2xD.(1+xn2+1對于nn0的正整數(shù)n都成立”時,第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A.2B.3C.5D.6答案:C3.某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明n+1(nN+)”的過程如下:證明:(1)當(dāng)n=1時,顯然命題是正確的;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN+)時有k+1,則當(dāng)n=k+1時,=(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時命題是正確的.由(1)(2)可知對于nN+,命題都是正確的.以上證法是錯誤的,錯誤在于()A.從n=k到n=k+1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B.歸納假設(shè)的寫法不正確C.從n=k到n=k+1的推理不嚴(yán)密D.當(dāng)n=1時,驗(yàn)證過程不具體解析:證明(k+1)+1時進(jìn)行了一般意義的放大.而沒有使用歸納假設(shè)時,f(2k+1)-f(2k)等于.解析:f(2k+1)-f(2k)=1+.答案:+5.已知x0,觀察下列幾個不等式:x+2;x+3;x+4;x+5歸納猜想一般的不等式為.答案:x+n+1(n為正整數(shù))6.用數(shù)學(xué)歸納法證明(a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),nN+)時,假設(shè)當(dāng)n=k時不等式(*)成立,再推證當(dāng)n=k+1時不等式也成立的關(guān)鍵是將(*)式兩邊同乘.解析:對比n=k與n=k+1時的結(jié)論可知,兩邊只需同乘即可.答案:7.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+2(nN+).證明(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=2.左邊右邊,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN+)時,不等式成立,即1+2.則當(dāng)n=k+1時,1+2=2.所以當(dāng)n=k+1時,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式對任意nN+都成立.8.導(dǎo)學(xué)號35664046已知數(shù)列an滿足:a1=,且an=(n2,nN+).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求證:對一切正整數(shù)n,不等式a1a2an2n!恒成立.(1)解將條件變?yōu)?-,因此數(shù)列為一個等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1-,公比為,從而1-,因此得an=(n1,nN+).(2)證明由得a1a2an=.為證明a1a2an1不成立;當(dāng)n=2時,左邊=2+1=3,右邊=,3,成立;當(dāng)n=3時,左邊=3+3+1=7,右邊=31=3,73,成立.所以n的最小值n0為2.答案:B2.已知a1=1,an+1an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,先計(jì)算a2,a3,再猜想an等于()A.nB.n2C.n3D.答案:B3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1),第一步要證的不等式是.解析:當(dāng)n=2時,左邊=1+=1+,右邊=2,故填1+2.答案:1+1+nx(x-1,且x0,n1,nN+),知當(dāng)n1時,令x=,則1+n,所以1+n,即(a+b)nan+nan-1b.當(dāng)n=1時,M=N.故MN.答案:MN5.導(dǎo)學(xué)號35664047已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=-1,且an0,nN+.(1)求a1,a2,a3,并猜想an的通項(xiàng)公式;(2)證明通項(xiàng)公式的正確性.(1)解當(dāng)n=1時,由已知得a1=-1,即+2a1-2=0.a1=-1或a1=-1(舍去).當(dāng)n=2時,由已知得a1+a2=-1,將a1=-1代入并整理得+2a2-2=0.a2=或a2=-(舍去).同理可得a3=.由a1,a2,a3,猜想an=(nN+).(2)證明由(1)的計(jì)算過程知,當(dāng)n=1,2,3時,通項(xiàng)公式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k3,kN+)時,通項(xiàng)公式成立,即ak=.則當(dāng)n=k+1時,ak+1=Sk+1-Sk=,將ak=代入上式并整理得+2ak+1-2=0,解得ak+1=或ak+1=-(舍去).即當(dāng)n=k+1時,通項(xiàng)公式也成立.由可知,對所有nN+,an=都成立.6.導(dǎo)學(xué)號35664048設(shè)數(shù)列an滿足a1=0,an+1=c+1-c,nN+,其中c為實(shí)數(shù).(1)證明:an0,1對任意nN+成立的充分必要條件是c0,1;(2)設(shè)0c,證明:an1-(3c)n-1,nN+.證明(1)必要性:a1=0,a2=1-c.a20,1,01-c1,即c0,1.充分性:設(shè)c0,1,對nN+用數(shù)學(xué)歸納法證明an0,1.當(dāng)n=1時,a1=00,1.假設(shè)ak0,1(kN+,k1),則ak+1=c+1-cc+1-c=1,且ak+1=c+1-c1-c0,故ak+10,1.由數(shù)學(xué)歸納法,知an0,1對所有的nN+成立.綜上可得,an0,1對任意nN+成立的充分必要條件是c0,1.(2)設(shè)0c,當(dāng)n=1時,a1=0,結(jié)論成立.當(dāng)n2時,an=c+1-c,1-an=c(1-)=c(1-an-1)(1+an-1+).0c,由(1)知an-10,