14拋物線學(xué)生版答案解析.docVIP

拋物線的方程與性質(zhì)答案解析（一）拋物線方程1.焦點在直線上的拋物線的標準方程是2（09寧夏海南）已知拋物線的頂點坐標為原點，焦點在軸上，直線與拋物線交于兩點，若為的中點，則拋物線C的方程為 【解】設(shè)拋物線為，與聯(lián)立方程組，消去，得：，故3.設(shè)斜率為的直線過拋物線的焦點，且與軸交于點，若（ 為原點）的面積為，則拋物線方程為 【解】易知，直線方程為，令得，得， 所以拋物線方程為（二）拋物線定義1到軸的距離比到點的距離小2的軌跡方程為或【解】當動點在軸的負半軸時，滿足條件即軌跡方程為；當時，則問題轉(zhuǎn)化為動點到直線的距離與到點的距離相等，則有2（09年全國）已知直線與拋物線：相交兩點，為 的焦點若,則（ D ）A1 B C D【解】直線過定點即拋物線焦點（2，0），由及第二定義知聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求另法：借用第二定義得解直角三角形。3設(shè)是過拋物線焦點的弦，以弦為直徑的圓與準線的位置關(guān)系是 ( )A相切 B相交 C相離 D不能確定【解】過分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為，弦的中點為，過作拋物線準線的垂線，垂足為，則由拋物線定義得：，所以以弦為直徑的圓與拋物線的準線相切4（09年四川）已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（ A ）A2 B3 C D 【解】直線為拋物線的準線，由拋物線的定義知，到的距離等于到拋物線的焦點的距離，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上找一個點使得到點和直線的距離之和最小，最小值為到直線的距離，即【變式訓(xùn)練1】已知是拋物線上的一個動點，則到點的距離與到拋物線準線的距離之和最小值為 【解】點在拋物線準線上的投影為，則，所以【變式訓(xùn)練2】已知是拋物線準線上的一個動點，為拋物線焦點，點為拋物線上一點，且，則最小值為 【解】知，原點關(guān)于準線的對稱點，則（三）拋物線性質(zhì)1.(11年全國)已知拋物線：的焦點為，直線與交于兩點則的值為（ D ）A. B. C. D. 【解】，準線方程為，由則，由拋物線的定義得由余弦定理得，故選D2.（10重慶）已知以F為焦點的拋物線上的兩點A、B滿足，則弦AB的中點到準線的距離為_【解】設(shè)BF=m,由拋物線的定義知中，AC=2m,AB=4m, 直線AB方程為 與拋物線方程聯(lián)立消y得所以AB中點到準線距離為【變式訓(xùn)練】定長為3的線段的端點、在拋物線上移動，求的中點到軸的距離的最小值，并求出此時中點的坐標分析：線段中點到軸距離的最小值，就是其橫坐標的最小值這是中點坐標問題，因此只要研究、兩點的橫坐標之和取什么最小值即可【解】如圖，設(shè)是的焦點，、兩點到準線的垂線分別是、，又到準線的垂線為，、和是垂足，則設(shè)點的橫坐標為，縱坐標為，則等式成立的條件是過點當時，故，所以，此時到軸的距離的最小值為說明：本題從分析圖形性質(zhì)出發(fā)，把三角形的性質(zhì)應(yīng)用到解析幾何中，解法較簡3.（09年福建）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線交拋物線于兩點，若線段的長為8，則 【解】由題意可知過焦點的直線方程為，聯(lián)立有，又；【另解】4.（10年山東）已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線與兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為 【解】設(shè)、則有，兩式相減得：，所以有，又線段的中點的縱坐標為2，即，所以，所以拋物線的準線方程為.（點差法的應(yīng)用）【變式訓(xùn)練】（09寧夏海南）設(shè)已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為，直線與拋物線相交于兩點。若的中點為（2，2），則直線的方程為_.【解】拋物線的方程為，、，則，兩式相減得，所以直線的方程為。5.（09年天津）設(shè)拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，與拋物線的準線相交于，=2，則與ACF的面積之比（ ）A B C D 【解】由題知，又，由三點共線有，所以 ， 6.設(shè)拋物線的焦點為，為拋物線上異于頂點的一點，且在準線上的射影為，則在的重心、外心、內(nèi)心和垂心中，有可能仍在拋物線上的有（A）個 個 個 個【解】由拋物線的定義知：，則為等腰三角形，它所有心都在底邊上的高線上，則是中垂線都會與矛盾，唯有等腰直角時，垂心是頂點。P7.已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交拋物線于兩點，分別過作軸的平行線依次交拋物線的準線于兩點，是的中點，連結(jié),有下列命題：點是的外心；的外心可能在此拋物線上；軸相交于一點；過兩點的拋物線的兩條切線的交點在拋物線的準線上；線段的長度滿足：.的垂心可能在此拋物線上；則上述命題正確的序號是： 【解】.對； 若的外心在此拋物線上則；因為以AB為直徑的圓與準線相切，則圓心H在AB 的中點上，不可能在拋物線上；錯； ,，;知的中點P在軸上；,則軸相交于一點；過兩點的拋物線的兩條切線的交點在拋物線的準線上；（拋物線性質(zhì)）設(shè)，則切線方程分別為，聯(lián)立解得： ，即兩切線的交點在準線上；線段的長度滿足：.由得，又,得, ,所以，,，,以AB為直徑構(gòu)造一個圓,有得:（相交弦定理）（四）拋物線綜合1.已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足設(shè)圓的方程為（1）證明：線段是圓的直徑;（2）當圓C的圓心到直線的距離的最小值為時，求P的值。（1）證法一：，即，整理得設(shè)點是以線段為直徑得圓上得任意一點，則即展開上式并將帶入得故線段是圓的直徑證法二：同法一得： 以 AB 為直徑的圓的方程是，展開，并將代入得所以線段 AB 是圓 C 的直徑 （2）解法一：設(shè)圓的圓心為則 ，又0 ， ，, ，所以圓心的軌跡方程為：= 設(shè)圓心到直線 的距離為，則當時，有最小值，由題設(shè)得， 解法二：同法一得：圓心的軌跡方程為： 設(shè)直線與的距離為，則當與僅有一個公共點時，該點到的距離最小，最小值為，由 消x得，由 得（）解法三：設(shè)圓的圓心為，則若圓心到直線的距離為，那 ，又，當時，有最小值，由題設(shè)得，2.（07年福建）如圖，已知點，直線，為平面上的動點過作直線的垂線，垂足為點，且 （）求動點的軌跡的方程； （）過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點，已知，求的值【解】解法一：（）設(shè)點，則，由得：PBQMFOAxy，化簡得（）設(shè)直線的方程為：設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：