期末解答題精選答案.doc

1已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A（2，0）的距離是它到點(diǎn)B（8，0）的距離的一半， 求：（1）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若N為線(xiàn)段AM的中點(diǎn)，試求點(diǎn)N的軌跡解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）為軌跡上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡就是集合P 由兩點(diǎn)距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為 ，平方后再整理，得 可以驗(yàn)證，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），M的坐標(biāo)是（x1，y1）由于A（2，0），且為線(xiàn)段AM的中點(diǎn)，所以 ， 所以有， 由（1）題知，M是圓上的點(diǎn)，所以M坐標(biāo)（x1，y1）滿(mǎn)足：將代入整理，得所以N軌跡是以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓2.設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，（5,0）.直線(xiàn)AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程。設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是，所以，直線(xiàn)AM的斜率（-5）；同理直線(xiàn)BM的斜率（5）.由已知有（5），-11分化簡(jiǎn)，得M的軌跡方程為 （5）. -123 如圖，已知四棱錐中，底面是直角梯形，ABCDPE，平面， （1）求證：平面（2）求證：平面（3）求二面角的平面角的正弦值（1）證明：，且 平面，平面 平面. 3分（2）證明：在直角梯形中，過(guò)作于點(diǎn)， 則四邊形為矩形 ，又， ，在Rt中， ， 則， 6分 又 7分，PA和AC在平面內(nèi)，平面 8分ABCDP （3）解：如圖，分別以，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由題設(shè)可知：， 9分，設(shè)m為平面的一個(gè)法向量，則，即，設(shè)，則，m，10分同理設(shè)n為平面的一個(gè)法向量，求得n 11分， 14分4、如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（）證明：； （）求異面直線(xiàn)與所成角的大?。?（）求點(diǎn)到平面的距離.解：如圖，作于點(diǎn)P, 分別以AB,AP,AO所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,(1)證明：設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得即 又(2)解 設(shè)與所成的角為, ，即與所成角的大小為.(3)解 設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為，則為在向量上的投影的絕對(duì)值,由 , 得，即點(diǎn)B到平面OCD的距離為5 如圖， 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)（）求證：ACBC1；（）求二面角的平面角的正切值（）證明：直三棱柱ABCA1B1C1，底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5， ACBC， 又 AC，且 AC平面BCC1 ，又平面BCC1 ACBC1 6分（）解法一：取中點(diǎn)，過(guò)作于，連接 7分是中點(diǎn)， ，又平面平面，又平面，平面 又且平面，平面 9分 又是二面角的平面角 11分AC3，BC4，AA14，在中， 二面角的正切值為 14分解法二：以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)C3，BC4，AA14， ， 平面的法向量， 設(shè)平面的法向量，則，的夾角（或其補(bǔ)角）的大小就是二面角的大小 10分則由 令，則， ，則13分二面角是銳二面角二面角的正切值為 14分6.(本小題滿(mǎn)分13分)已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和,且圓心在直線(xiàn)上.() 求圓的方程； （）若直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為,求實(shí)數(shù)的值.解:()解法一:設(shè)圓心,因?yàn)?所以,解得4分所以圓心,半徑 6分所以圓的方程為 7分解法二:設(shè)圓的方程為, 2分依題意得,5分 解得,所以圓的方程為 7分解法三:依題意易得線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為,2分聯(lián)立方程組,解得,所以圓心,5分 下同解法一.（）因?yàn)橹本€(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為,所以圓心到直線(xiàn)的距離 10分，解得 13分7如圖，在平行四邊形中，將它們沿對(duì)角線(xiàn)折起，折后的點(diǎn)變?yōu)椋遥?）求點(diǎn)到平面的距離；（2）為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線(xiàn)段的長(zhǎng)為多少時(shí),與平面所成的角為？解： 又 AB平面BC1D 依題意，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz 2分 ，則A(0,0,1),C1 (1, 0),D(0, ,0)設(shè) 是平面的一個(gè)法向量，解得，令y=1， 4分到平面的距離 6分（2）設(shè)，則 又是平面BC1D的一個(gè)法向量 8分依題意得 10分有0得，即時(shí)，與平面所成的角為12分8.已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過(guò)、三點(diǎn)（1）求橢圓的方程：（2）若點(diǎn)為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；解：（1）設(shè)橢圓方程為將代入橢圓E的方程，得，解得 橢圓的方程 yxOFHABD（2），設(shè)的邊上的高為， 設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為定值6 所以， 當(dāng)在橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，最大為，故的最大值為，于是也隨之最大值為 此時(shí)內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為 9已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的值； （3）當(dāng)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)到運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的最大值 解：（1）設(shè)所求的拋物線(xiàn)方程為，根據(jù)題意， 所求的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為. 2分（2）設(shè)A（x1,y1)、B(x2,y2),由得4x2+4(b-1)x+b2=0, 3分=16(b-1)2-16b20. . 5分又由韋達(dá)定理有x1+x2=1-b,x1x2=,= 7分即. . 8分10.(本小題滿(mǎn)分14分) 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),且與定直線(xiàn)相切.() 求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（） 若軌跡上有兩個(gè)定點(diǎn)、分別在其對(duì)稱(chēng)軸的上、下兩側(cè),并且,在軌跡位于、兩點(diǎn)間的曲線(xiàn)段上求一點(diǎn),使到直線(xiàn)的距離最大,并求距離的最大值.解:() 因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)定點(diǎn),且與定直線(xiàn)相切, 所以圓心到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離相等, 2分 由拋物線(xiàn)定義可知,的軌跡是以為焦點(diǎn),直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn),4分 所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為5分（）由已知得,設(shè)(其中),由得,所以 7分 同理可得,所以直線(xiàn)的方程為. 9分解法一:設(shè)拋物線(xiàn)曲線(xiàn)段上任一點(diǎn),其中, 則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離 12分所以當(dāng)時(shí),距離取得最大值,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為. 14分.xyOF.A.PB解法二:設(shè)與平行的直線(xiàn)的方程為,10分當(dāng)與拋物線(xiàn)相切時(shí),切點(diǎn)到的距離最大.由方程組消元得(*)由得12分此時(shí)(*)式的解為,切點(diǎn),距離最大值為.14分第19題圖BDCAA1B1C1D111.(本小題滿(mǎn)分14分)如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱中,底面,.() 求證:平面平面；（）若二面角的大小為,求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值.解:() 在中,由余弦定理得第19題解法一圖BDCAA1B1C1D1M 所以,所以,即 又四邊形為平行四邊形,所以2分 又底面,底面,所以4分 又,所以平面,5分 又平面,所以平面平面.6分（）由()知平面,所以所以為二面角的平面角, 所以,所以.8分解法一:取的中點(diǎn),連結(jié),則 又平面平面,平面平面,所以平面 所以為直線(xiàn)與平面所成的角, 10分第19題解法二圖BDCAA1B1C1D1xyz 在中,所以, 所以直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為.14分解法二: 以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 則, 所以,10分 設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得,12分設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為,則, 所以直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為.14分說(shuō)明:第（）問(wèn)可不寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),而直接通過(guò),得到所需向量.12.(本小題滿(mǎn)分14分)已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為,離心率. () 求橢圓的方程； （）若、,試探究在橢圓內(nèi)部是否存在整點(diǎn)(平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)),使得的面積?若存在,請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo))解:() 設(shè)橢圓的方程為, 依題意得,又,3分所以, 所以橢圓的方程為.5分xyOPl1l2B.（）依題意,直線(xiàn)的方程為,7分 因?yàn)?所以到直線(xiàn)的距離為, 所以點(diǎn)在與直線(xiàn)平行且距離為的直線(xiàn)上,設(shè), 則,解得9分 當(dāng)時(shí),由,消元得,即又,所以,相應(yīng)的也是整數(shù),此時(shí)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有個(gè).12分當(dāng)時(shí),由對(duì)稱(chēng)性,同理也得滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有個(gè).綜上,存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn),這樣的點(diǎn)有個(gè). 14分13（本題滿(mǎn)分12分）解析：（1）設(shè)圓的方程是， -1分依題意得，所求圓的半徑， -3分所求的圓方程是 -4分（2）圓方程是，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)方程為， -5分即，由圓心到直線(xiàn)的距離， -6分即，解得， -8分直線(xiàn)方程為，即， -9分當(dāng)斜率不存在時(shí)，也符合題意，即所求的直線(xiàn)方程是 -11分所求的直線(xiàn)方程為和 -12分14（本題滿(mǎn)分14分）（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，則共線(xiàn)，且， -1分B1DABCC1D1(第19題)OE為三棱柱，平面平面，故， -3分為平行四邊形，從而 -5分又平面，平面，平面 -7分（2）證明：，則，則，即， -10分又平面，平面，在三棱柱中，則，而，平面， -12分又，得平面，而平面，平面平面 -14分15（本題滿(mǎn)分14分）解析：（1）直線(xiàn)的斜率為，由點(diǎn)斜式得直線(xiàn)的方程為，即直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程方程為 -6分（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線(xiàn)的距離，所有由拋物線(xiàn)的定義可知，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上， -8分又點(diǎn)在直線(xiàn)上，由， -10分消去得，解得， -12分則，存在符合條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為或 -14分PABCDEF16（本題滿(mǎn)分14分）解析：（1）底面，底面， -2分又，平面 -4分（2）方法一：由（1）知，平面，又平面，平面平面 過(guò)點(diǎn)作，連結(jié)-6分平面平面，平面平面，平面，平面， -8分為直線(xiàn)和平面所成角的平面角 -10分是邊長(zhǎng)為的正三角形，又，所以， -13分即直線(xiàn)和平面所成角的正弦值為 -14分方法二：如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系-2分在正三角形中， -6分PABCDEFxyz易知， -8分設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則解得，故可取-11分于是-13分由此即知，直線(xiàn)和平面所成角的正弦值為 -14分17（本題滿(mǎn)分14分）解析：（1）設(shè)，由題意得：橢圓的方程為； -5分（2）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)， -6分設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，依據(jù)橢圓的定義知， -7分， 當(dāng)點(diǎn)是延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值， 的最大值為， -10分此時(shí)直線(xiàn)的方程是，點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解，消去得， -11分解得，根據(jù)圖形可知， -13分此時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)為（，） -14分18（本題滿(mǎn)分12分）解:因?yàn)槊}“”為假，所以命題是真命題. 82分又因?yàn)槊}“”為假，所以命題是假命題. 84分要使對(duì)任意不等式恒成立，只需， 86分所以命題是真命題的條件是：. 87分關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則只需，即.命題是真命題的條件是：，所以命題是假命題的條件是. 810分綜上所述，使命題“”為假，命題“”為假的條件是的取值范圍為.12分19（本題滿(mǎn)分12分）（）證明：連接，設(shè)，連接 1分是三棱柱，側(cè)棱底面.且是正方形，是中點(diǎn)， 又為中點(diǎn) 4分又平面，平面平面 5分（II）在平面中過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交于.由于底面面，且為兩平面交線(xiàn)，面. 7分中，所以，且. 8分在中， 9分由于，所以 11分由等積法可得. 12分20（本題滿(mǎn)分14分）解: （I）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 1 分則 ， 3分化簡(jiǎn)可得即為所求 5分（II）曲線(xiàn)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，如圖則直線(xiàn)是此圓的切線(xiàn)，連接，則 7分當(dāng)時(shí)，取最小值 8分= 10分（公式、結(jié)果各一分）yCDBAMEFx(0,a)(-c ,0)(c,0)(x,0)此時(shí)的最小值為， 12分這樣的直線(xiàn)有兩條，設(shè)滿(mǎn)足條件的兩個(gè)公共點(diǎn)為，易證四邊形是正方形 的方程是或 14分21（本題滿(mǎn)分14分）證明：如圖，以底邊所在的直線(xiàn)為軸，過(guò)頂點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)為軸，建立直角坐標(biāo)系.2分設(shè)，(，)則.直線(xiàn)的方程為，即.直線(xiàn)的方程為，即.6分設(shè)底邊上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到距離為，8分點(diǎn)到距離為， 10分點(diǎn)到距離為. 12分所以.14分22（本題滿(mǎn)分14分）證明:（）方法一：正方形，又二面角是直二面角， 平面.平面，. 2分又，是矩形，是的中點(diǎn)，xyGABCDEFz=，=， 又=， 4分平面，而平面，故平面平面5分（坐標(biāo)法）：如圖，以為原點(diǎn)建立直角坐