人教B版必修5 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 學(xué)案.doc

3.5.2簡(jiǎn)單線性規(guī)劃1.了解線性規(guī)劃的意義，能根據(jù)線性約束條件建立目標(biāo)函數(shù).(重點(diǎn))2.理解并初步運(yùn)用線性規(guī)劃的圖解法解決一些實(shí)際問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.理解目標(biāo)函數(shù)的最大、小值與其對(duì)應(yīng)直線的截距的關(guān)系.(易混點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1線性規(guī)劃中的基本概念閱讀教材p90p91例1，完成下列問題.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式組線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x，y的函數(shù)解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)可行域是一個(gè)封閉的區(qū)域.()(2)在線性約束條件下，最優(yōu)解是唯一的.()(3)最優(yōu)解一定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解.()(4)線性規(guī)劃問題一定存在最優(yōu)解.()【解析】(1)錯(cuò)誤.可行域是約束條件表示的平面區(qū)域，不一定是封閉的.(2)錯(cuò)誤.在線性約束條件下，最優(yōu)解可能有一個(gè)或多個(gè)，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)，也可能無(wú)最優(yōu)解，故該說法錯(cuò)誤.(3)正確.滿足線性約束條件的解稱為可行解，但不一定是最優(yōu)解，只有使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，才是最優(yōu)解，所以最優(yōu)解一定是可行解.(4)錯(cuò)誤.線性規(guī)劃問題不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最優(yōu)解，故該說法是錯(cuò)誤的.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃閱讀教材p91例1p94，完成下列問題.線性目標(biāo)函數(shù)的最值線性目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)對(duì)應(yīng)的斜截式直線方程是yx，它表示斜率為，在y軸上的截距是的一條直線，當(dāng)z變化時(shí)，方程表示一組互相平行的直線.當(dāng)b0，截距最大時(shí)，z取得最大值，截距最小時(shí)，z取得最小值；當(dāng)b0，則縱截距與z同號(hào)，因此，縱截距最大時(shí)，z也最大；若b0，則縱截距與z異號(hào)，因此，縱截距最大時(shí)，z反而最小.再練一題1.若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_.【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分.由得a.當(dāng)直線zxy過點(diǎn)a時(shí)，zmax1.【答案】非線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題變量x，y滿足(1)設(shè)z，求z的最小值；(2)設(shè)zx2y2，求z的取值范圍.【精彩點(diǎn)撥】(1)式子z可進(jìn)行怎樣的改寫？表示的幾何意義是什么？當(dāng)傾斜角是銳角時(shí)，斜率與傾斜角的大小關(guān)系是什么？(2)代數(shù)式x2y2可以怎樣進(jìn)行改寫？x2y2的幾何意義是什么？【自主解答】由約束條件作出(x，y)的可行域如圖所示.由解得a.由解得c(1,1)，由解得b(5,2).(1)z，z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)o連線的斜率.觀察圖形可知zminkob.(2)zx2y2的幾何意義是可行域中的點(diǎn)到原點(diǎn)o的距離的平方.結(jié)合圖形可知，可行域中的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin|oc|，dmax|ob|，2z29.1.利用線性規(guī)劃求最值，關(guān)鍵是理解線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，從本題的求解過程可以看出，最優(yōu)解一般在可行域的邊界上，并且通常在可行域的頂點(diǎn)處取得，所以作圖時(shí)要力求準(zhǔn)確.2.非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求解策略(1)z(xa)2(yb)2型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)距離的平方，特別地，zx2y2型的目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方.(2)z型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率.(3)z|axbyc|可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x，y)到直線axbyc0的距離的倍.再練一題2.設(shè)x，y滿足條件 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082052】(1)求ux2y2的最大值與最小值；(2)求v的最大值與最小值.【解】畫出滿足條件的可行域如圖陰影部分所示，(1)x2y2u表示一組同心圓(圓心為原點(diǎn)o)，且對(duì)同一圓上的點(diǎn)x2y2的值都相等，由圖可知：當(dāng)(x，y)在可行域內(nèi)取值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)圓o過c點(diǎn)時(shí)，u最大，過(0,0)時(shí)，u最小.又c(3,8)，所以u(píng)max73，umin0.(2)v表示可行域內(nèi)的點(diǎn)p(x，y)到定點(diǎn)d(5,0)的斜率，由圖可知，kbd最大，kcd最小，又c(3,8)，b(3，3)，所以vmax，vmin4.探究共研型利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題某公司有60萬(wàn)元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)目乙投資的倍，且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬(wàn)元.探究1設(shè)投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目的資金分別為x、y萬(wàn)元，那么x、y應(yīng)滿足什么條件？【提示】探究2若公司對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬(wàn)元可獲得0.4萬(wàn)元的利潤(rùn)，對(duì)項(xiàng)目乙每投資1萬(wàn)元可獲得0.6萬(wàn)元的利潤(rùn)，設(shè)該公司所獲利潤(rùn)為z萬(wàn)元，那么z與x，y有何關(guān)系？【提示】根據(jù)公司所獲利潤(rùn)投資項(xiàng)目甲獲得的利潤(rùn)投資項(xiàng)目乙獲得的利潤(rùn)，可得z與x，y的關(guān)系為z0.4x0.6y.探究3x，y應(yīng)在什么條件下取值，x，y取值對(duì)利潤(rùn)z有無(wú)影響？【提示】x，y必須在線性約束條件下取值.x，y取不同的值，直接影響z的取值.某人承攬一項(xiàng)業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌4個(gè)，繪畫標(biāo)牌5個(gè).現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3 m2，可做文字標(biāo)牌1個(gè)，繪畫標(biāo)牌2個(gè)；乙種規(guī)格每張2 m2，可做文字標(biāo)牌2個(gè)，繪畫標(biāo)牌1個(gè)，求兩種規(guī)格的原料各用多少?gòu)垼拍苁沟每傆昧厦娣e最小.【精彩點(diǎn)撥】可先設(shè)出變量，建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來(lái)求解.【自主解答】設(shè)需要甲種原料x張，乙種原料y張，則可做文字標(biāo)牌(x2y)個(gè)，繪畫標(biāo)牌(2xy)個(gè)，由題意可得所用原料的總面積為z3x2y，作出可行域如圖.在一組平行直線z3x2y中，經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且到原點(diǎn)距離最近的直線過直線2xy5和直線x2y4的交點(diǎn)(2,1)，最優(yōu)解為x2，y1.使用甲種規(guī)格原料2張，乙種規(guī)格原料1張，可使總的用料面積最小.解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：(1)審題仔細(xì)閱讀，對(duì)關(guān)鍵部分進(jìn)行“精讀”，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，起關(guān)鍵作用的變量有哪些.由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的比較多，為了理順題目中量與量之間的關(guān)系，有時(shí)可借助表格來(lái)理順.(2)轉(zhuǎn)化設(shè)元.寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問題.(3)求解解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題.(4)作答就應(yīng)用題提出的問題作出回答.再練一題3.某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種貨物，集裝箱的體積、重量、可獲利潤(rùn)和托運(yùn)能力限制數(shù)據(jù)見下表，那么為了獲得最大利潤(rùn)，甲、乙兩種貨物應(yīng)各托運(yùn)多少箱.貨物每箱體積/m3每箱重量/kg每箱利潤(rùn)/百元甲5220乙4510托運(yùn)能力限制數(shù)2413【解】設(shè)甲貨物托運(yùn)x箱，乙貨物托運(yùn)y箱，利潤(rùn)為z，由題意得z20x10y，作出可行域如圖所示，作直線l：20x10y0，當(dāng)直線z20x10y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)a時(shí)，z最大，又a(4.8,0)不是整點(diǎn)，解方程組得點(diǎn)b(4,1)為整點(diǎn).所以甲貨物托運(yùn)4箱，乙貨物托運(yùn)1箱，可獲得最大利潤(rùn).1.zxy在的線性約束條件下，取得最大值的可行解為()a.(0,1)b.(1，1)c.(1,0)d.【解析】可以驗(yàn)證這四個(gè)點(diǎn)均是可行解，當(dāng)x0，y1時(shí)，z1；當(dāng)x1，y1時(shí)，z0；當(dāng)x1，y0時(shí)，z1；當(dāng)x，y時(shí)，z0.排除選項(xiàng)a，b，d，故選c.【答案】c2.已知變量x，y滿足約束條件則zx2y的最小值為()a.3b.1c.5d.6【解析】由約束條件作出可行域如圖：由zx2y得yx，的幾何意義為直線在y軸上的截距，當(dāng)直線yx過直線x1和xy1的交點(diǎn)a(1，2)時(shí)，z最小，最小值為5，故選c.【答案】c3.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則目標(biāo)函數(shù)zx2y的最小值是_.【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.目標(biāo)函數(shù)可化為yxz，作直線yx及其平行線，知當(dāng)此直線經(jīng)過點(diǎn)a時(shí)，z的值最大，即z的值最小.又a點(diǎn)坐標(biāo)為(3,6)，所以z的最小值為3269.【答案】94.已知點(diǎn)p(x，y)的坐標(biāo)滿足條件點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|po|的最小值等于_，最大值等于_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082053】【解析】點(diǎn)p(x，y)滿足的可行域?yàn)閍bc區(qū)域，a(1，1)，c(1,3).由圖可得，|po|min|ao|；|po|max|co|.【答案】5.某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)a、b兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)a類產(chǎn)品5件和b類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)a類產(chǎn)品6件和b類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元.現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)a類產(chǎn)品50件，b類產(chǎn)品