四年級數(shù)奧興趣小組教案.doc

和差問題 問題11.1 84，48，？ 問題11.2 兩質(zhì)數(shù)之和是28、之差是6，這兩質(zhì)數(shù)各是多少？ 問題11.3 某日，白天比黑夜長6小時，問這一天白天、黑夜各有幾小時？ 請你分析一下，這三個題目中數(shù)量關系的共同特征是什么？(已知兩個數(shù)的和與差，求這兩個數(shù).) 類似上述三道題的數(shù)學問題，稱“和差問題”. 和差問題的基本數(shù)量關系式如下： (和差)2大數(shù) (和差)2小數(shù) 你能獨立解答問題11.1、11.2、11.3嗎？ 分析與解答和差問題的思路很多，現(xiàn)列舉且分述如下： 問題11.4 分數(shù)單位相同的甲、乙兩數(shù)，相加結(jié)果為1，甲數(shù)比乙數(shù) 分析該題求甲、乙兩分數(shù)各是多少.據(jù)條件知，所求兩分數(shù)之和為1、之差為1/3，乙數(shù)是小數(shù)，甲數(shù)是大數(shù).運用數(shù)量關系式求解. 將等高不等底的兩直角梯形紙板，粘接成(無重疊部分)一塊長5分米、寬3分米的長方形紙板.已知小梯形紙板上下底的和比大梯形上下底的和少4分米，大、小梯形兩紙板面積分別是多少平方分米？ 分析與提示 該題求大、小梯形兩紙板面積分別是多少.如果知其面積“差”與面積“和”，便可運用和差問題的數(shù)量關系式直接求解.據(jù)條件，面積和間接知道(即求長方形面積)，而面積差不易求，此思路暫時不通. 據(jù)條件又知大、小兩梯形上下底和的差，大、小兩梯形上下底和的“和”，即為長方形的2個長，從而可分別求出大、小兩梯形上、下底的和；大、小兩梯形的高，就是長方形的寬，由此，根據(jù)梯形面積(上底下底)高2的公式，可分別求出大、小兩梯形紙板的面積. 至此，你能列式求解嗎？ 小李和小王共儲蓄2000元，如果小李借給小王200元，兩人儲蓄的錢恰好相等，問兩人各儲蓄多少元？ 請思考：兩人儲蓄錢的和是2000元，儲蓄錢的差是200元嗎？ 請自己列式解答問題11.1、11.2、11.3、11.5、11.6各題. 有1元和5元的人民幣共17張，合計49元，兩種面值的人民幣各有多少張？ 分析 該題求兩種面值的人民幣各有多少張.已知總張數(shù)17張，但兩種人民幣張數(shù)相差多少難以確定，怎么辦？ 再分析題意，又知兩種面值的人民幣的總錢數(shù)，及各自的票面值，但兩種人民幣相差的錢數(shù)也難以確定，這又怎么辦？ 我們可用“假設法”思考.假設17張人民幣全是5元的，總錢數(shù)則為51785(元)，比實際的49元多出854936(元).多的原因是把1元的人民幣假設為5元的人民幣了.用數(shù)量關系式表示為： 同學們，解析和差問題的思路還很多.解題時，應根據(jù)題意靈活選用較簡捷的解析方法.加法原理請大家先看一個實例： 從甲城到乙城，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以坐輪船，一天中火車有4班，汽車有3班，輪船有2班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲城到乙城，共有多少種不同的走法？ 分析：我們把乘坐不同班次的火車、汽車、輪船稱為不同的走法。一天中乘火車有4種走法，乘汽車有3種走法，乘輪船有2種走法。每種走法都可以從甲城到乙城，所以一天中從甲城到乙城只有432=9（種）不同走法。 總結(jié)以上規(guī)律得到加法原理：如果完成一件任務有幾類辦法，在第一類辦法中有m1種不同方法，在第二類辦法中有m2種不同方法，在第n類辦法中有mn種不同方法。那么完成這件任務共有Nm1m2m3mn種不同的方法。 再看下面兩例： 例1 一個口袋中裝有8個小球，另一個口袋中裝有5個小球，所有這些小球的顏色各不相同。從兩個口袋中任取一個小球，共有多少種不同的取法？ 分析：在兩個口袋中任取一個小球有兩類辦法，第一類辦法是從裝有8個小球的口袋中任取一個，可以有8種取法。第二類辦法是從裝有5個小球的口袋中任取一個，可以有5種取法。根據(jù)加法原理，得到不同取法的種數(shù)是N=54=9（種） 答：從兩個口袋中任取一個小球可以有9種不同的取法。 例2 如圖從甲村到乙村有2條路可走，從乙村到丙村有3條路可走， 從甲村到丙村有4條路可走，問甲村到丙村共有多少種不同的走法？ 分析：從甲村到丙村可按兩類辦法完成，第一類辦法是從甲村經(jīng)過乙村到達丙村，這類辦法是分兩個步驟進行的：第一步從甲村到乙村有2種走法；第二步由乙村到丙村有3種走法，這兩步缺一不可，根據(jù)乘法原理，這類辦法中共有236（種）走法。第二類辦法是從甲村直接到達丙村，有4種走法，于是根據(jù)加法原理得到從甲村到達丙村的不同走法的種數(shù)是N23410（種）。 答：從甲村到達丙村共有10種不同的走法。 練習： 1.書架上有6種不同的語文書、5本不同的數(shù)學書，8種不同的故事書，從這三種書中任選一本，共有多少種不同的取法？ 2.用0、1、2、3四個數(shù)字，可以組成多少個能被3整除的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？ 年齡問題 每個人都有年齡，你的年齡、同學的年齡、爸爸媽媽的年齡、老師的年齡等等.你知道嗎，年齡里面包含著許許多多有趣的數(shù)學問題，有的問題不是那么容易解決，確實還要好好動一番腦筋.現(xiàn)在我們來看一下幾個簡單的問題： 1.小明的爸爸去年比小明大25歲，明年小明的爸爸比小明大幾歲？ 2.今年陳老師的年齡是王芳的2倍，明年陳老師的年齡還是王芳的2倍嗎？ 3.前年紅紅和姐姐的年齡加起來正好30歲，今年紅紅和姐姐的年齡之和為多少歲？ 相信同學們一定能夠正確回答這三個問題.這三個問題也是關于年齡問題的三個基本問題，它告訴我們以下規(guī)律： (1)兩人年齡的差是不變的量； (2)兩個年齡的倍數(shù)關系是變化的量； (3)每個人的年齡隨著時間的增加都增加相等的量. 父親年齡是女兒的4倍，三年前父女年齡之和是49歲，問父女現(xiàn)在各為多少歲？ 分析 請同學們思考一下，三年前父女年齡之和為49歲，那么今年父女年齡之和為多少歲呢？是49352歲嗎？顯然不對.因為這三年父親年齡增加了3歲，女兒的年齡也增加了3歲，所以父女倆今年年齡之和應該為493255歲，再由已知條件就容易求出父親和女兒分別有多少歲. 解因為三年前父女年齡之和為49歲,因此今年父女年齡之和就應為 493255(歲). 又因為今年父親的年齡是女兒的4倍，所以女兒的年齡應為55(4l)11(歲). 父親年齡為 11444(歲). 答：父親年齡為44歲，女兒年齡為11歲. 一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子的4倍，問三人各是多少歲？ 分析 問題：張老師的年齡比王兵的年齡的3倍少4歲，張老師在7年前的年齡和王兵9年后的年齡相等.問張老師和王兵各是多少歲？ 分析 這實際上是一道差倍應用題.你能根據(jù)題目條件分析出張老師比王兵大多少歲嗎？好好動一下腦筋，想一想. 解 因為張老師7年前的年齡和王兵9年后的年齡相等，所以張老師的年齡比王兵大 9+7=16(歲). 又因為張老師的年齡比王兵的年齡的3倍少4歲，所以16歲相當于王兵年齡的2倍少4歲，所以王兵的年齡為： (16+4)2=202=10(歲). 張老師年齡為：103-4=30-4=26(歲). 答：張老師有26歲，王兵10歲. 年齡問題多數(shù)屬和倍問題和差倍問題，只要我們掌握了關于年齡的幾點規(guī)律，能夠借助于圓形來處理一些較復雜的問題，那么年齡應用題就不難解決了. 練習 有 趣 的 數(shù) 陣 數(shù)陣是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣可分為輻射型和封閉型兩種.填數(shù)陣時，一般優(yōu)先考慮正中間的數(shù)或頂角上的數(shù). 問題9.1 把19九個數(shù)分別填入圖9-1中九個圓圈內(nèi)，使每條直線上三個圓圈內(nèi)各數(shù)之和都相等. 分析 從圖9-1中可以看出，中間圓圈所填的數(shù)是四條直線上公用的，它是一個用了4次的數(shù).因此，我們在思考時，應先把中間圓圈內(nèi)的數(shù)填出來.怎樣確定這個數(shù)呢？ 設中間圓圈內(nèi)的數(shù)為x，在計算四條直線上數(shù)的總和時，它多加了3次，又因為四條直線上的數(shù)的總和是4的倍數(shù)，所以 1+2+3+7+8+9+3x=45+3x 應能被4整除，這樣x只能是1、5、9. 當中間圓圈填1時，每條直線上三個數(shù)的和是12；當中間圓圈填5時，每條直線上三個數(shù)的和是15；當中間圓圈填9時，每條直線上三個數(shù)的和是18.這樣就可以正確地填出結(jié)果了. 解 適合題目要求的填法共有以下三種： 問題9.2 圖9-2是一個六角星，把112這12個數(shù)填在六角星的內(nèi)(每個數(shù)字只許用一次).現(xiàn)在已經(jīng)填入了六個數(shù)，其它六個內(nèi)填什么數(shù)才能使每條邊上四個數(shù)的和都相等？ 分析 圖9-2中共有12個圓圈，每個圓圈都恰好有兩條直線通過.因此，在計算六條直線上數(shù)的總和時，每個圓圈內(nèi)的數(shù)都計算了兩次.而(1+2+3+11+12)2=156，所以每條直線上四個數(shù)的和應是1566=26.先填出圖中A、B、C三個圓圈中的數(shù)，其余的三個圓圈內(nèi)的數(shù)就不難填出了. 在圖9-4(1)中，同一個圓圈內(nèi)四個數(shù)的和都是15.請在圖(2)中的空白部分填上適當?shù)臄?shù)(2、3、5、7)，使每個圓圈內(nèi)四個數(shù)的和仍然等于15. 根據(jù)圓圈已有的數(shù)字4、6和1.可以肯定中間空白部分填的數(shù)必然大于1而小于5.符合這個條件的只有2和3.如果中間數(shù)是2.那么4+1+2+715，不符合題意.所以中間數(shù)應是3，這樣就可以很快填出其它數(shù)了.解 填法如圖9-5. 問題9.4 把18這八個數(shù)分別填入圖9-6中的八個內(nèi)，使每個圓圈上五個數(shù)的和都等于21. 設兩個圓交叉點上的兩個內(nèi)各填的數(shù)是a、b，那么，在計算兩個大圓周上10個數(shù)的和時，a和b都多加了一次，根據(jù)題目的要求，1+2+3+7+8+a+b=36+(a+b)除以2應是21，所以a+b=6.但在18這8個數(shù)中，只有1+5=6、2+4=6兩種情況.如果中間兩個內(nèi)分別填1和5，另外同一圓周上三個內(nèi)的數(shù)的和應是21-(1+5)=15.在2、3、4、6、7、8這六個數(shù)中三個數(shù)之和是15的只有2+6+7=15、3+4+8=15兩種.如果中間兩個填2和4，其它的數(shù)可分為兩組1、6、8和3、5、7.因此，可得出如上所述的四種填法. 高斯加法教學要求：1、 學會運用高斯加法的方法來計算連續(xù)的數(shù)相加的計算方法。2、 理解并記憶、運用高斯巧算的公式。3、 教學過程： 一、導入語：德國有一位被譽為“數(shù)學之王”是數(shù)學家高斯，幼年聰明過人，他上小學的時候，老師出了一道題目：12345979899100？小高斯看了看，又想了想，很快的說出了答案。你們知道他是怎樣算出來的嗎？ 二、探索新知： 1、教學例1：計算：12345979899100？學生自己探索練習，再組織學生交流。解題思路：湊成整數(shù)相加，也可以運用高斯算法進行計算。（1100）（299）（398）（5051）101505050（199）（298）（397）（4951）1005010049100505000505050 2、小結(jié)歸納：公式： 和（第一個數(shù)最后一個數(shù)）加數(shù)的個數(shù)2要求：一定是連續(xù)的有規(guī)律的數(shù)，才能用這個公式。 3、教學例2：計算： 5856545250484644學生判斷，能不能運用高斯公式。學生自己計算。 第一個數(shù)，最后一個數(shù)各是多少？數(shù)的個數(shù)是多少？ 4、教學例3： 計算：2000510154550 觀察：減的數(shù)是5、10、15、50是一組連續(xù)的數(shù)，我們就可以先求出減去的數(shù)的總和歸一應用題例1. 4臺機器2小時能生產(chǎn)144個零件，照這樣計算，5臺機器4小時能生產(chǎn)多少個零件？ 疑問：現(xiàn)在的一份量是什么？ 小結(jié)： 二次歸一問題 練習：織布廠一車間用3臺織布機5小時織布450米，照這樣計算，5臺、8小時可織布多少米？ #3臺5小時450米 4503558=1200（米） #5臺8小時？米 拓展：改增加5臺 45035（3+5）8=1920（米） 例2、3臺車床4小時可以加工零件180個，照這樣計算，6 臺5小時可加工多少個？5臺要加工600個要幾小時？3小時加工630個要幾臺？ 例3、工程隊計劃60人5天修好一條長4800米的公路，照這樣計算，增加15人實際幾天修完？ #60人5天4800米 48004800605（60+15） #（60+20）人？天4800米 =4800480060575 練習：改6000米 =4（天） 例4、7輛卡車6趟運走336噸沙土?，F(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運完，需要同樣的卡車多少輛？ 總結(jié)：歸一問題歸一對應法、先求單一量。倍數(shù)問題例【1】 果園有蘋果樹1200棵，梨樹的棵數(shù)比蘋果樹的2倍多80棵。梨樹有多少棵？分析 根據(jù)題意，可以畫出線段圖：1200棵2倍？棵80棵梨樹：蘋果樹：由“梨樹的棵數(shù)比蘋果樹的2倍多80棵”可知：蘋果樹的棵數(shù)是1倍數(shù)（1200棵），梨樹的棵數(shù)比蘋果樹的2倍多80棵，先求出蘋果樹棵數(shù)的2倍（1200棵22400棵），再求比它多80棵的數(shù)。例【2】 果園有梨樹2480棵，梨樹的棵數(shù)比蘋果樹的2倍多80棵。蘋果樹有多少棵？分析 根據(jù)題意，可以畫出線段圖：2倍2480棵80棵?棵1倍蘋果樹：梨樹：小結(jié) “差倍問題”的特點是：已知兩個數(shù)的差與兩個數(shù)間的倍數(shù)關系，求兩個數(shù)各是多少。解答時，我們采用代換的思路，用1倍數(shù)去代替幾倍數(shù)，看和相當于1倍數(shù)的幾倍，即除以幾，先求出1倍數(shù)，然后再求出幾倍數(shù)。解題公式是：差（倍數(shù)1）1倍數(shù)和倍問題例【3】 學校圖書館有科技書和文藝書共2400本，文藝書的本數(shù)是科技書的4倍。兩種書各有多少本？分析 根據(jù)題意，可以畫出下面線段圖：共2400本4倍？本文藝書本數(shù)：1倍？本科技書本數(shù)：從圖中可以看出，把科技書的本數(shù)作為1倍數(shù)，文藝書的本數(shù)就是它的4倍，那么2400本就相當于科技書本數(shù)的（14）倍，由此可以先求出科技書的本數(shù)，然后再求出文藝書的本數(shù)。解 科技書的本數(shù)：2400（14） 24005 480（本） 文藝書的本數(shù)： 48041920（本）或25004801920（本）以上解答對不對呢？可以檢驗嗎？檢驗：19204802400（本）和19204804倍數(shù)答：科技書有480本，文藝書有1920本。例【4】 體育室有足球和籃球共76只，足球的只數(shù)比籃球的3倍還多4只，足球和籃球各有多少只？分析 把籃球的只數(shù)看作1份，那么足球的只數(shù)就相當于籃球的3份還多4只。足球和籃球共76只，可以看作籃球的4份就是76472（只），這樣籃球的只數(shù)是;（764）（31）18（只）足球的只數(shù)有兩種方法求得：一種方法是知道足球和籃球共76只，籃球18只?？汕蟪鲎闱虻闹粩?shù)：761858（只）小結(jié) “和倍問題”的特點是：已知兩個數(shù)的和與兩個數(shù)間的倍數(shù)關系，求兩個數(shù)各是多少。解答時，我們采用代換的思路，用1倍數(shù)去代替幾倍數(shù)，看和相當于1倍數(shù)的幾倍，即除以幾，先求出1倍數(shù)，然后再求出幾倍數(shù)。解題公式是：和（倍數(shù)1）1倍數(shù)盈虧問題解盈虧問題，常常采用比較的方法。 老猴子給小猴子分梨。每只小猴子分6個梨，就多出12個梨；每只小猴子分7個梨，就少11個梨。有幾只小猴子和多少個梨？分析 每只小猴子分6個梨則多12個梨；每只小猴子分7個梨就少11個梨，這說明小猴子的總只數(shù)為：121123（只），也就是說：不足的個數(shù)多余的個數(shù)小猴子的只數(shù)解 小猴子的只數(shù)為：121123（只）梨子的個數(shù)為：23612150（個）或：23711150（個）答：有23只小猴子，150個梨。例【2】 麗麗阿姨給幼兒園小朋友分蘋果。如果每人分3個，多16個；如果每人分5個，那么就差4個。有多少個小朋友？有多少個蘋果？分析 先比較兩種分法中各個量之間的關系：每人分3個，余16個蘋果。每人分5個，還差4個蘋果。這兩次分蘋果，每人相差的個數(shù)為：532（個）。第1次余16個，第2次少4個，那么第2次與第1次總共相差蘋果的個數(shù)為：41620（個）。每人相差2個，結(jié)果總數(shù)就相差20個。解 有小朋友的人數(shù)為：20210（人）有蘋果的個數(shù)為：3101646（個）或510446（個）綜合算式：（416）（53）10（人） 3101646（個）答：這個幼兒園有10位小朋友，蘋果的總數(shù)是46個。例【3】 北京東路小學學生乘汽車到中山陵去春游。如果沒車坐65人，則有15人不能乘車。如果每車多坐5人，恰好多余了一輛車。一共有幾輛汽車？有多少學生？分析 每車多坐5人，也就是每車坐70人，恰好多余了一輛車，也就是還差一輛車的人，即70人。因此，問題轉(zhuǎn)化為：如果每車坐65人，則有15人不能乘車。如果每車坐70人，則還差70人。求有多少人和多少輛汽車。解 （1570）（7065）17（輛）6517151120（人）答：一共有17輛汽車，1120位學生。例【4】 小明的爺爺買回一筐梨，分給全家人。如果小明和小妹每人分4個梨，其余每人分2個梨，還多出4個梨。如果小明1人分6個梨，其余每人分4個梨，又差12個梨。小明家有多少人？這筐梨子有多少個？分析 第一種分法是小明、小妹各4個梨，其余每人2個梨，多余4個梨。假設小明、小妹也分2個梨，那么會多多少個梨呢？很容易想，多出：2248（各）。第二種分法是小明一人得6個梨，其余每人4個梨，差12個梨。假設小明也只分4個，那么就只差：12210（個）。小結(jié) 通過以上例題的分析解答，我們不難看出：一般地，在盈虧問題中：（盈數(shù)虧數(shù)）兩次差參加分配的數(shù)有余數(shù)的除法兩個整數(shù)在作除法運算時，被除數(shù)和除數(shù)之間的關系不全是整除的關系.如果a是整數(shù)，b是一個自然數(shù)，那么一定有兩個整數(shù)q和r，使得a=bq+r（0rb）.當r=0時，則稱a被b整除.當r0時，r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商，r/b叫做a除以b的尾數(shù).如果a、b兩個整數(shù)除以自然數(shù)m后所得的余數(shù)相同，就稱a、b對于模m同余.記作7.如果ab（mod m），則anbn（mod m）.根據(jù)余數(shù)相同，可以對整數(shù)分類.例如一個整數(shù)a被3除時，余數(shù)只能有0、1、2這三種可能，因此所有整數(shù)可以分為3k、 3k+1、3k+2（ k為整數(shù)）這三種類型.問題 一個兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求這樣的兩位數(shù).分析 用被除數(shù)減去余數(shù).然后將其差分解質(zhì)因數(shù).解310-37=273.273=3713.考慮到所求的兩位數(shù)（除數(shù)）要比37（余數(shù)）大，而313=39，713=91，因此所求的兩位數(shù)為39或91.問題有一個77位數(shù)，它的各位數(shù)字都是1，這個數(shù)除以7，余數(shù)是多少？分析 因為1001能被7整除，所以111111能被7整除.所以，這個77位數(shù)除以7的余數(shù)是2.問題一個整數(shù)除300、262、205都得到相同的余數(shù)，且余數(shù)