人教B版選修22 1.4.1曲邊梯形面積與定積分 學案.doc

預(yù)習導航課程目標學習脈絡(luò)1.了解曲邊梯形及其面積的含義；了解求曲邊梯形面積的“分割、近似代替、求和、取極限”的基本過程；2掌握定積分的概念，會用定義求定積分；3理解定積分的幾何意義與性質(zhì).1定積分的概念(1)定積分的定義設(shè)函數(shù)yf(x)定義在區(qū)間a，b上，用分點ax0x1x2xn1xnb把區(qū)間a，b分為n個小區(qū)間，其長度依次為xixi1xi，i0,1,2，n1.記為這些小區(qū)間長度的最大者，當趨近于0時，所有的小區(qū)間長度都趨近于0.在每個小區(qū)間內(nèi)任取一點i，作和式in(i)xi.當0時，如果和式的極限存在，我們把和式in的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dxf(i)xi.其中f(x)叫做被積函數(shù)，a叫積分下限，b叫積分上限，f(x)dx叫做被積式此時稱函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上可積思考1 (1)在定義中，對區(qū)間a，b的分法是否是任意的？i的取法是否是任意的？(2)在定義中，和式的極限是一個精確值還是近似值？定積分f(x)dx是一個常數(shù)還是一個函數(shù)？(3)在定積分f(x)dx中，定積分的值與積分變量有關(guān)嗎？與積分區(qū)間有關(guān)嗎？提示：(1)定積分定義中，對于區(qū)間a，b的分法是任意的，不一定是等分，只要保證每一個小區(qū)間的長度都趨向于0就可以，采用等分的方式是為了便于作和另外，關(guān)于i的取法也是任意的，實際用定積分定義計算定積分時為了方便，常把i都取為每個小區(qū)間的左(或右)端點(2)和式的極限是一個精確值，定積分是一個常數(shù)(3)定積分是一個數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即f(x)dxf(u)duf(t)dt(稱為積分形式的不變性)，另外定積分f(x)dx與積分區(qū)間a，b息息相關(guān)，不同的積分區(qū)間，定積分的積分上限與下限不同，所得的值也就不同點撥 用定積分的定義求函數(shù)定積分的一般步驟：分割：n等分區(qū)間a，b；近似代替：在每個小區(qū)間任取i；求和：f(i)；取極限：f(x)dx f(i).(2)定積分的性質(zhì)定積分有三條主要的性質(zhì)：kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))；f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(acb)點撥 對定積分性質(zhì)的理解要注意以下幾點：(1)性質(zhì)稱為定積分的線性性質(zhì)，性質(zhì)稱為定積分對積分區(qū)間的可加性(2)性質(zhì)對于有限個函數(shù)(兩個以上)也成立；性質(zhì)在把區(qū)間分成有限個(兩個以上)區(qū)間時也成立；(3)在定積分的定義中，f(x)dx的下限小于上限，即ab.為了方便計算，人們把定積分的概念擴大，使下限不一定小于上限，并規(guī)定：f(x)dxf(x)dx，f(x)dx0.2定積分的幾何意義(1)曲邊梯形：曲線與平行于y軸的直線和x軸所圍成的圖形，稱為曲邊梯形(2)定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積s等于其曲邊所對應(yīng)的函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的定積分，即sf(x)dx.思考2能否認為曲邊梯形的面積就是定積分的值，定積分的值就是曲邊梯形的面積？提示：不能曲邊梯形的面積是正數(shù)，而定積分的值可正、可負、也可以為零，因此在利用定積分求曲邊梯形面積時一定要注意定積分的取值點撥 用定積分表示曲邊梯形面積的幾種情形：(1)由三條直線xa，xb(ab)，x軸，一條曲線yf(x)(f(x)0)圍成的曲邊梯形的面積sf(x)dx(如圖)(2)由三條直線xa，xb(ab)，x軸，一條曲線yf(x)(f(x)0)圍成的曲邊梯形的面積sf(x)dx(如圖)(3)由三條直線xa，xb(ab)，x軸，一條曲線yf(x)(如圖)圍成的曲邊梯形的面積sf(