人教B版選修45 三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式（二） 課后導(dǎo)練.doc

1.1.6 三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式（二）課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達標1下列不等式的證明過程正確的是( )a.若a、br,則=2b.若x、y是正實數(shù),則lgx+lgyc.若x是負實數(shù),則x+=4d.若a、br且ab0,則=-2解析:只有d正確.ab0.0.a、b、c三個選項忽視了各項為負值的情形.答案:d2函數(shù)y=的最小值是_.解析:y=,設(shè)t=2,則y=t+在2,+)上是增函數(shù).ymin=2+.答案:3設(shè)a、br,已知命題p:a=b;命題q:()2.則p是q成立的( )a.必要不充分條件b.充分不必要條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件解析:命題p:a=b是命題q:()2成立的充分不必要條件.故選b.答案:b4函數(shù)y=x(1-3x)(0x)的最大值是( )a. b.c.0 d.無最大值解析:y=3x(1-3x)()2=,即ymax=.此時3x=1-3xx=.答案:b5如果x2+xy+y2=1(x、yr),那么n=x2+y2適合的條件是( )a.02),n=(x2,x0,x2-2-2.又m=a-2+24(當(dāng)且僅當(dāng)a=3時取等號),n=()-2=4,m4,nn.答案:mn7已知x和k都是正實數(shù),f(x)=,則( )a.f(x)4 b.f(x)3c.f(x)2 d.f(x)2解析:f(x)=2,即f(x)min=2,此時x2+k=1x2=1-k.當(dāng)00,b0,c0,故有不等式a+b+c(見閱讀材料),即(a+b+c)327abc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,上式等號成立,故三角形為等邊三角形.9某工廠生產(chǎn)一批精密儀器,這個廠有兩個分廠,分設(shè)在甲、乙兩城市.在甲城市的分廠生產(chǎn)半成品,然后送到乙城市的分廠加工成成品.現(xiàn)該廠接受了一批訂貨,要在100天內(nèi)制成這批精密儀器.由于乙分廠每天可以加工完一件儀器,而甲分廠的半成品保證滿足供應(yīng),所以這項訂貨任務(wù)恰好按期完成.今知每一批半成品從甲市運到乙市的運費為100元,而每個半成品在乙市儲存一天的儲存費為2元.問應(yīng)分幾批(批量相等),才能使總的花費(包括運輸費及儲存費)最省?解析:由題設(shè)條件,每批送x個,批次為,又每批運費100元,每批儲存費為21+22+2(x-1)=21+2+(x-1)=x(x-1),由此可建立總的花費y與x的函數(shù).設(shè)總費用為y元,每批送x個,批次為.由題意,得y=100+x(x-1)(0b0,求f()=的最小值.解法一:(化弦為切)f()=a2(1+tan2)+b2(1+)=a2+b2+(a2tan2+)a2+b2+2ab=(a+b)2.當(dāng)且僅當(dāng)a2tan2=,即tan2=,tan=時“=”成立.故f()的最小值為(a+b)2.解法二:(利用cos2+sin2=1)(cos2+sin2)()=a2+b2+a2+b2+2ab=(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng),即tan=時“=”成立.f()的最小值為(a+b)2.備選習(xí)題11求y=(0x)的最小值.解法一:y=.x(0,),0sinx1,.y.當(dāng)且僅當(dāng),即sinx=1時取“=”.因此y的最小值為.解法二:設(shè)=t,x(0,),t(0,則函數(shù)y=t+.而y=t+在t(0,上為減函數(shù)(證明略),當(dāng)t=時,ymin=+2=,此時,x=.故當(dāng)x=,即sinx=1時,ymin=.12若0,02,試證:logn(n+1)logn-1n.證法一:logn(n+1)-logn-1n=logn(n+1)-=logn(n+1)logn-1n.證法二:=logn(n+1)lognn-1(logn(n+1)+lognn-1)2=logn(n2-1)20,logn-1n0,logn(n+1)logn-1n.14甲、乙兩地相距s千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過c千米/時.已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比,比例常數(shù)為b,固定部分為a元.(1)把全程運輸成本y元表示為速度v(千米/時)的函數(shù),并指出函數(shù)的定義域;(2)為了使全程運輸成本最少,汽車應(yīng)以多大的速度行駛?解析:(1)因為汽車每小時的運輸成本為bv2+a(元),全程時間為(小時),故y=(bv2+a),即y=s(+bv),v(0,c.(2)由于+bv,僅當(dāng)v=時取等號,故若c,則當(dāng)v=時,y取最小值.若c,則先證y=s(+bv),v(0,c為單調(diào)減函數(shù).事實上,當(dāng)v1、v2(0,c,且v1v2,則y1-y2=s(+bv1)-(+bv2)=s(-)+(bv1-bv2)=s(v1-v2)(b-)=sb(v1-v2).v1、v2(0,c,v1v2,v1-v20,v1,v2.進而v1v20.故y=s(+bv),v(0,c為單調(diào)減函數(shù),由此知當(dāng)v=c時取得最小值.綜上可知,若c,則當(dāng)v=時,y取最小值;若c,則當(dāng)v=c時取得最小值.15某種生產(chǎn)設(shè)備購買時費用10萬元,每年的設(shè)備管理費共計9千元,這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費各年為:第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依每年2千元的增量逐年遞增,問這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用多少年報廢最合算(即使用多少年的年平均費用最少)?解析:設(shè)使用x年的年平均費用為y萬元.由已知,得y=,即y=1+(xn*).由均值不等式,知y1+=3,當(dāng)且僅當(dāng),即x=10時取“=”.因此使用10年報廢最合算,年平均費用為3萬元.16已知x、y、zr+,且x+y+z=1,求x