人教B版選修45 1.1.1不等式的基本性質(zhì) 學(xué)案.doc

1不等式的基本性質(zhì) 對應(yīng)學(xué)生用書p11實數(shù)大小的比較(1)數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，可以利用數(shù)軸上點的左右位置關(guān)系來規(guī)定實數(shù)的大小在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大(2)如果ab0，則ab；如果ab0，則ab；如果ab0，則ab.(3)比較兩個實數(shù)a與b的大小，歸結(jié)為判斷它們的差ab的符號；比較兩個代數(shù)式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的差的符號2不等式的基本性質(zhì)由兩數(shù)大小關(guān)系的基本事實，可以得到不等式的一些基本性質(zhì)：(1)如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即abba.(2)如果ab，bc，那么ac.即ab，bcac.(3)如果ab，那么acbc.(4)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb0，那么anbn(nn，n2)(6)如果ab0，那么(nn，n2)3對上述不等式的理解使用不等式的性質(zhì)時，一定要清楚它們成立的前提條件，不可強化或弱化它們成立的條件，盲目套用，例如：(1)等式兩邊同乘以一個數(shù)仍為等式，但不等式兩邊同乘以同一個數(shù)c(或代數(shù)式)結(jié)果有三種：c0時得同向不等式；c0時得等式；cbd，即兩個同向不等式可以相加，但不可以相減；而ab0，cd0acbd，即已知的兩個不等式同向且兩邊為正值時，可以相乘，但不可以相除(3)性質(zhì)(5)、(6)成立的條件是已知不等式兩邊均為正值，并且nn，n2，否則結(jié)論不成立而當(dāng)n取正奇數(shù)時可放寬條件，abanbn(n2k1，kn)，ab(n2k1，kn)(4)在不等式的基本性質(zhì)中，條件和結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：“”與“”，即推出關(guān)系和等價關(guān)系，或者說“不可逆關(guān)系”與“可逆關(guān)系”這要求必須熟記與區(qū)別不同性質(zhì)的條件如ab，ab0，而反之不成立 對應(yīng)學(xué)生用書p1實數(shù)大小的比較例1已知x，y均為正數(shù)，設(shè)m，n，試比較m和n的大小思路點撥解mn，x，y均為正數(shù)，x0，y0，xy0，xy0，(xy)20.mn0，即mn.(當(dāng)xy時，等號成立)比較兩個數(shù)(式子)的大不，一般用作差法，其步驟是：作差變形判斷差的符號結(jié)論，其中“變形”是關(guān)鍵，常用的方法是分解因式、配方等1已知a，br，比較a4b4與a3bab3的大小解：因為(a4b4)(a3bab3)a3(ab)b3(ba)(ab)(a3b3)(ab)2(a2abb2)(ab)20(當(dāng)且僅當(dāng)ab時，取“”號)所以a4b4a3bab3.2在數(shù)軸的正半軸上，a點對應(yīng)的實數(shù)為，b點對應(yīng)的實數(shù)為1，試判別a點在b點的左邊，還是在b點的右邊？解：因為10，所以1.當(dāng)且僅當(dāng)a時取“”，所以當(dāng)a時，a點在b點左邊，當(dāng)a時，a點與b點重合不等式的證明例2已知ab0，cd0，e.思路點撥可以作差比較，也可用不等式的性質(zhì)直接證明證明法一：，ab0，cd0，ba0，cd0.bacd0，c0.同理bd0，(ac)(bd)0.e0.即.法二：.進行簡單的不等式的證明，一定要建立在記準(zhǔn)、記熟不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)之上，如果不能直接由不等式的性質(zhì)得到，可以先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)，利用不等式的性質(zhì)進行逆推，尋找使其成立的充分條件3判斷下列命題的真假，并簡述理由(1)若ab，cd，則acbd；(2)若ab0，cd0，則；(3)若ab，cbd；(4)若ab，則anbn，(nn且n2)解：(1)取a3，b2，c2，d3，即32，23.此時acbd6.因此(1)為假命題(2)因同向不等式不能相除，取a6，b4，c3，d2，此時2.因此(2)為假命題(3)cd，因此(3)為真命題(4)當(dāng)ab0時，才能成立，取a2，b3，當(dāng)n為偶數(shù)時不成立，因此(4)為假命題4已知a，b，x，y都是正數(shù)，且，xy，求證：.證明：因為a，b，x，y都是正數(shù)，且.xy，所以，所以.故11，即.利用不等式的性質(zhì)求范圍例3(1)已知：，求的范圍(2)已知：1ab1,1a2b3，求a3b的范圍思路點撥求代數(shù)式的范圍應(yīng)充分利用不等式的基本性質(zhì)解(1)，.且.且0.0.即的范圍為，0)(2)設(shè)a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b.解得1，2.(ab)，2(a2b).a3b1.即a3b的范圍為.求代數(shù)式的取值范圍是不等式性質(zhì)應(yīng)用的一個重要方面，嚴(yán)格依據(jù)不等式的性質(zhì)和運算法則進行運算，是解答此類問題的基礎(chǔ)，在使用不等式的性質(zhì)中，如果是由兩個變量的范圍求其差的范圍，一定不能直接作差，而要轉(zhuǎn)化為同向不等式后作和5若8x10,2y4，則的取值范圍是_解析：2y4，.又8x10，25.答案：(2,5)6已知14，21，求2的取值范圍解：設(shè)2m()n()，又14，212.2的取值范圍為 對應(yīng)學(xué)生用書p31已知數(shù)軸上兩點a，b對應(yīng)的實數(shù)分別為x，y，若xy0，則|x|與|y|對應(yīng)的點p，q的位置關(guān)系是()ap在q的左邊bp在q的右邊cp，q兩點重合 d不能確定解析：xy|y|0.故p在q的右邊答案：b2下列命題中不正確的是()a若，則abb若ab，cd，則adbcc若ab0，cd0，則d若ab0，acbd，則cd解析：當(dāng)c0，d0時，才有ab0，acbdcd.答案：d3已知abc，則下列不等式正確的是()aacbc bac2bc2cb(ab)c(ab) d|ac|bc|解析：abcab0(ab)b(ab)c.答案：c4已知a，b，c(0，)，若，則()acab bbcacabc dcba解析：由，可得111，即，又a，b，c(0，)，所以abbcca.由abbc可得ac；由bcca可得ba，于是有cab.答案：a5已知0a1，則a，a2的大小關(guān)系是_解析：a0，a.又aa2a(1a)0，aa2.a2a.答案：a2a6給出四個條件：b0a，0ab，a0b，ab0.能得出成立的有_解析：由，得0，0，故可推得y，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為_解析：xy，xya2b252aba24a(ab1)2(a2)20.ab10或a20.即ab1或a2.答案：ab1或a28若a0，b0，求證：ab.證明：ab(ab)，(ab)20恒成立，且已知a0，b0，ab0，ab0.0.ab.9若f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范圍解：f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2baf(1)bf(1)，則f(2)3f(1)f(1)2f(1)4,1f(1)2，33f(1)6，5f(1)3f(1)10，5f(2)10.10已知a0，a1.(1)比較下列各組大小a21與aa；a31與a2a；a51與a3a2.(2)探討在m，nn條件下，amn1與aman的大小關(guān)系，并加以證明解：(1)a0，a1，a21(aa)a212a(a1)20.a21aa.a31(a2a)a2(a1)(a1)(a1)(a1)20，a31a2a，a51(a3a2)a3(a21)(a21)(a21)(a31)當(dāng)a1時，a31，a21，(a21)(a31)0.當(dāng)0a1