華羅庚學校數(shù)學教材(六年級上)第05講長方體和正方體.doc

本系列共 14 講第五講 長方體和正方體. 文檔貢獻者：winner_d1975長方體和正方體在立體圖形中是較為簡單的，也是我們較為熟悉的立體圖形如下圖，長方體共有六個面（每個面都是長方形），八個頂點，十二條棱。在六個面中，兩個對面是全等的，即三組對面兩兩全等（疊放在一起能夠 完全重合的兩個圖形稱為全等圖形兩個全等圖形的面積相等，對應邊也相等）長方體的表面積和體積的計算公式是： 長方體的表面積：S 長方體2（abbcac）； 長方體的體積：V 長方體abc正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個面都是正方形如果它的棱長為 a，那么：23S正方體 =6 a，V正方體 = a例 1 有一個長方體，它的底面是一個正方形，它的表面積是 190 平方厘米，如果用一個平行于底面的平面將它截成兩個長方體，則兩個長方體表面積的和 為 240 平方厘米，求原來長方體的體積解：設原來長方體的底面邊長為 a 厘米，高為 h 厘米，則它被截成兩個長方體后，兩個截面的面積和為 2 a2 平方厘米，而這也就是原長方體被截成兩個長方體的表面積的和比原長方體的表面積所增加的數(shù)值，因此，根據(jù)題意有：1902 a2 240，可知， a2 25，故 a5（ 厘 米 ）又因為 2 a2 4ah190，解得h = 190 2 25 =7（厘米）4 5所以，原來長方體的體積為：V a2 h257175（立方厘米）例 2 如下圖，一個邊長為 3a 厘米的正方體，分別在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個截口是邊長為 a 厘米的正方形的長方體（都和對面打 通）如果這個鏤空的物體的表面積為 2592 平方厘米，試求正方形截口的邊長。解：原來正方體的表面積為：63a3a69 a2 （平方厘米）六個邊長為 a 的小正方形的面積為：6aa6 a2 （平方厘米）；挖成的每個長方體空洞的側(cè)面積為：3aa412 a2 （平方厘米）；三個長方體空洞重疊部分的校長為 a 的小正方體空洞的表面積為：aa44 a2 （平方厘米）根據(jù)題意：69 a2 6 a2 3（12 a2 4 a2 ）2592，化簡得：54 a2 6 a2 24 a2 2592，解得 a2 36（平方厘米），故 a6 厘米 即正方形截口的邊長為 6 厘米例 3 有一些相同尺寸的正方體積木，準備在積木的各面上粘貼游戲所需的 字母和數(shù)目字但全部積木的表面總面積不夠用，還需增加一倍，請你想辦法，在不另添積木的情況下，把積木的各面面積的總和增加一倍。解：把每一塊積木鋸三次，鋸成 8 塊小立方體（如上圖）這樣，每鋸一次 便得到兩個大截面，使表面積增加 1 （倍），鋸三次使截面增加 3 1 =1（ 倍 ），33因此全部小積木的表面總面積就比原積木表面總面積增加了一倍。例 4 有大、中、小三個正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別為 4 米、3 米、2 米 ，把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水中，兩個水池的水面分別升高了 4 厘米 和 11 厘米如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池中，大水池水面將升高多少厘米？解：水池中水面升高部分水的體積就是投入水中的碎石體積。 沉入中、小水池中的碎石的體積分別是：330.040.36 立方米，220.110.44 立方米 它們的和是：0.360.440.8 立方米 把它們都沉入大池里，大池水面升高部分水的體積也應當是 0.8 立 方 米 ，而大池的底面面積是 4416 平方米，所以，大水池的水面升高：0.816=5（厘米）例 5 下圖是正方體的展開圖之一，當用它組成立方體時，圖中的哪一邊與 帶記號的邊相接觸呢？解：對于這個問題，考慮將各面拼湊成正方體是一種方法，但如只考慮邊的連接會更簡潔：首先和 G 連接，其次 H 和 I 連接，且 X、Y、Z 三點重合為 正方體的一個頂點，因此與連接的是 K 邊例 6 下圖是正方體的 11 種展開圖和 2 種偽裝圖（即它們不是正方體的展開 圖）請你指出偽裝圖是哪兩個？解：無論哪一個圖中都有六個小正方形，都好像有道理，但當我們把相鄰 兩邊逐一拼合后，不能變成正方體的是（10）和（12），這兩個圖形，都是有五 面在拼合時不成問題，但是最后一面總是擠在外面而成不了正方體例 7 如下面的各圖中均有若干個六面體，每小題圖中的幾個六面體上 A、B、 C、D、E、F 六個字母的排列順序完全相同（即每個小題中六面體上刻字母的方 式是完全一樣的）試判斷各小題的圖中 A、B、C 三個字母的對面依次是哪幾個字母？解 ：（ 1）由圖中可知，A 與 B、C、E、F 都相鄰，故 A 的對面是 D。E、F 的 位置可按右手關系得出，伸出右手，伸直大拇指按（1）中右圖所示，讓四指方 向從 A 轉(zhuǎn)動而指向 F，此時大拇指正好指向 E（向上）。如果，判斷為 F 在 C 對 面，由（1）中左圖所示，讓四指的方向從 A 向 F，此時大拇指指向 B，與（1） 中右圖矛盾，故 F 在 B 的對面，E 在 C 的對面。（2）（6）按 A、B、C 順序給出對面的字母：（2）E、D、F；（ 3）F、E、D；（ 4）D、F、E；（5）E、D、F；（ 6）F、E、D例 8 有一塊正方體的蛋糕用刀子將它一刀切成兩半，為了使切口成正六 邊形，應該怎樣切呢？解：一般地，按照平常習慣的切法切下去，得到的切口成為上圖中（1）的正方 形或者像（2）、（ 3）那樣的長方形如果斜切下去時樣子就不一樣了，比如像（4）那樣，以打算切的頂點作一方，將不相鄰的某一邊的中點作另一方，沿它的連接線來切，切口變成菱形如果再進一步，連接相鄰邊的中點，沿著它的連線來切，如上圖中（5）所 示，因為切口的各邊都是連接邊和邊的中點的直線，所以長度都相等，相鄰邊 夾角也相等，邊數(shù)是六，故是正六邊形。習題五一、填空題：1一塊矩形紙板，長 8 厘米，寬 6 厘米，把它折成底面為正方形的長方體的側(cè)面，則這個長方體的底面面積為平方厘米2有一個棱長為 6 厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長是 2 厘米的正方體若干塊，表面積增加了平方厘米3把一根 2 米長的方木鋸成兩段，表面積增加 288 平方厘米，原來這根方木的體積是立方厘米4把棱長為 a 厘米的兩個正方體拼成一個長方體，長方體的表面積是5把棱長 1 厘米的正方體 2100 個，堆成一個實心的長方體，它的高是 10厘米，長和寬都大于高，這個長方體的長與寬的和是厘米二、選擇題：1一個正方體的體積是 343 立方厘米，它的全面積是平方厘米（A）42 （B）196 （C）294 （D）3922把棱長為 3 分米的正方體鋸成兩個長方體，這兩個長方體表面積的和是平方分米（A）54 （B）72 （C）108 （D）以上都不對3如下圖，一個木制的正方體的棱長為 2 分米，每個面的正中有一個正方 形的孔通到對邊，邊長為 1 分米，孔的各棱平行于正方體相對的棱，那么這個鏤空幾何體的總表面積的平方分米數(shù)是（A）24 （B）30 （C）36 （D）424如下頁圖立方體的每個角都被切下去（圖中僅畫了兩個）問所得到的幾何體有條棱？（A）24（B）30 （C）36 （D）425立方體各面上的數(shù)字是連續(xù)的整數(shù)（如圖）如果每對對面上的兩個數(shù)的和相等，那么，這三對數(shù)的和是。（A）75 （B）76 （C）78 （D）81 三、解答題：1一個木盒從外面量長 10 厘米，寬 8 厘米，高 5 厘米，木板厚 1 厘米問做這個木盒最少需要 1 厘米厚的木板多少平方厘米？這個木盒的容積是多 少立方厘米？2將一個長 9 厘米，寬 8 厘米，高 3 厘米的長方體木塊鋸成若干個小正方 體（鋸痕寬度忽略不計），然后再拼成一個大正方體，求這個大正方體的表面積 3一個邊長為 6 厘米的正方體鐵盒裝滿了水，將水倒入一個長 9 厘米，寬8 厘米的長方形水槽內(nèi)，若鐵皮厚度不計，求水深4把 19 個邊長為 2 厘米的正方體重疊起來，作成如下圖那樣的組合形體， 求這個組合形體的表面積5將表面積為 54 平方厘米、96 平方厘米、150 平方厘米的三個鐵質(zhì)正方體熔鑄成一個大正方體（不計損耗）求這個大正方體的體積和表面積6用字母標出一個正方體的各面，下圖中是三個不同方位的這一個正方體 ， 問字母 A、B、C 的對面是什么字母？7下圖是一個正方體及其兩個展開圖這個正方體還有九種不同的展開圖（下圖