蘇教版必修5 簡單的線性規(guī)劃問題 學(xué)案.doc

3.3.3簡單的線性規(guī)劃問題1了解線性規(guī)劃的意義2了解線性規(guī)劃的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題(重點)3會利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值(難點)基礎(chǔ)初探教材整理線性規(guī)劃的有關(guān)概念閱讀教材p87p89，完成下列問題1可行域：約束條件所表示的平面區(qū)域2最優(yōu)解：在約束條件下，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值、最小值的解3求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規(guī)劃問題1若變量x，y滿足約束條件則z2xy的最大值和最小值分別為 【解析】可行域為直角三角形abc(如圖)，由z2xy，得y2xz，由圖象可知，當(dāng)直線y2xz過點b(2,0)和點a(1,0)時，z分別取到最大值4和最小值2.【答案】4,22在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)z10xy的最優(yōu)解是 【解析】作可行域如圖，平移直線y10x可知，z10xy的最優(yōu)解是(1,0)，(0，1)【答案】(1,0)，(0，1)小組合作型求線性目標(biāo)函數(shù)的最值已知關(guān)于x，y的二元一次不等式組(1)求函數(shù)u3xy的最大值和最小值；(2)求函數(shù)zx2y的最大值和最小值【精彩點撥】【自主解答】(1)作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖(1)所示(1)由u3xy，得y3xu，得到斜率為3，在y軸上的截距為u，隨u變化的一族平行線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的c點時，截距u最大，即u最小解方程組得c(2,3)，umin3(2)39.當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的b點時，截距u最小，即u最大，解方程組得b(2,1)，umax3215.u3xy的最大值是5，最小值是9.(2)作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖(2)所示(2)由zx2y，得yxz，得到斜率為，在y軸上的截距為z，隨z變化的一族平行線由上圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的a點時，截距z最小，即z最小，解方程組得a(2，3)，zmin22(3)8.當(dāng)直線與直線x2y4重合時，截距z最大，即z最大，zmaxx2y4，zx2y的最大值是4，最小值是8.求線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值的兩種基本題型：(1)目標(biāo)函數(shù)zaxbyc，當(dāng)b0時，z的值隨直線在y軸上截距的增大而增大.(2)目標(biāo)函數(shù)zaxbyc，當(dāng)b0時，z的值隨直線在y軸上截距的增大而減小.提醒：將目標(biāo)函數(shù)所表示的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點(或邊界)便是最優(yōu)解.再練一題1若變量x，y滿足約束條件則z2xy的最小值等于 . 【導(dǎo)學(xué)號：92862090】【解析】作可行域如圖，由圖可知，當(dāng)直線z2xy過點a時，z值最小由得點a，zmin2(1).【答案】線性規(guī)劃的實際應(yīng)用某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用a原料3噸，b原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用a原料1噸，b原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗a原料不超過13噸，b原料不超過18噸，求該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)可獲得的最大利潤【精彩點撥】根據(jù)題目設(shè)出未知數(shù)，列出線性約束條件設(shè)出目標(biāo)函數(shù)，畫出可行域，利用平移法求目標(biāo)函數(shù)的最大值【自主解答】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y噸，則有關(guān)系a原料b原料甲產(chǎn)品x噸3x2x乙產(chǎn)品y噸y3y則有目標(biāo)函數(shù)z5x3y，作出可行域如圖所示把z5x3y變形為yx得到斜率為，在y軸上的截距為，隨z變化的一族平行直線，由圖可以看出，當(dāng)直線yx經(jīng)過可行域上的a點時，截距最大，即z最大解方程組得a的坐標(biāo)為x3，y4，zmax533427.故可獲得最大利潤為27萬元解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：(1)審題仔細(xì)閱讀，對關(guān)鍵部分進(jìn)行“精讀”，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，起關(guān)鍵作用的變量有哪些，由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的量較多，為了理順題目中量與量之間的關(guān)系，有時可借助表格來理順；(2)轉(zhuǎn)化設(shè)元.寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問題；(3)求解解這個純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題；(4)作答就應(yīng)用題提出的問題作出回答.再練一題2某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)訂午餐和晚餐已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素c；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素c.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素c.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐？【解】設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費用為z元，則依題意得：z2.5x4y，且x，y滿足即讓目標(biāo)函數(shù)表示的直線2.5x4yz在可行域上平移由此可知z2.5x4y在b(4,3)處取得最小值因此，應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求探究共研型求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值探究1設(shè)p(x，y)是可行域內(nèi)的任意一點，則目標(biāo)函數(shù)z的幾何意義是什么？z呢？【提示】z表示可行域內(nèi)的點(x，y)與點(b，a)連線的斜率，z表示可行域內(nèi)的點(0,0)與點(x，y)連線的斜率探究2設(shè)p(x，y)是可行域內(nèi)的任意一點，則目標(biāo)函數(shù)z(xa)2(yb)2的幾何意義是什么？z呢？【提示】z(xa)2(yb)2表示可行域內(nèi)的點(x，y)與(a，b)間的距離的平方的最值，z表示點(x，y)與原點(0,0)間的距離已知實數(shù)x，y滿足不等式(1)求的取值范圍；(2)求的取值范圍【精彩點撥】(1)表示的是可行域內(nèi)的點與(1,1)點連線的斜率(2)表示的是可行域內(nèi)的點與(2,2)點的距離【自主解答】(1)先作出可行域(如圖)，目標(biāo)函數(shù)表示的是可行域中p(x，y)與m(1,1)連線的斜率，由圖形易求得kma.當(dāng)p在可行域中很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的地方時，kmp有一種與直線xy0的斜率1相等的趨勢，但是永遠(yuǎn)也取不到1，因此的取值范圍為.(2)表示的是可行域中的點到(2,2)的距離，而(2,2)又在可行域中，且恰為直線xy0與2xy20的交點，因此min0，無最大值故的取值范圍是0，)非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的求解方法1非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題，要充分理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，諸如兩點間的距離(或平方)，點到直線的距離，過已知兩點的直線斜率等，充分利用數(shù)形結(jié)合知識解題，能起到事半功倍的效果2常見代數(shù)式的幾何意義主要有：(1)表示點(x，y)與原點(0,0)的距離；表示點(x，y)與點(a，b)的距離(2)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率；表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問題得以轉(zhuǎn)化，往往是解決問題的關(guān)鍵再練一題3已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：92862091】【解】(1)作出可行域如圖所示，a(1,3)，b(3,1)，c(7,9)zx2(y5)2表示可行域內(nèi)任一點(x，y)到點m(0,5)的距離的平方，過m作ac的垂線，易知垂足在ac上，故mn，mn2，z的最小值為.(2)z2表示可行域內(nèi)點(x，y)與定點q連線斜率的2倍，kqa，kqb，z的取值范圍是.1圖337中陰影部分的點滿足不等式組在這些點中，使目標(biāo)函數(shù)z6x8y，取得最大值的點的坐標(biāo)是 圖337【解析】由z6x8y，變形為yx，得到斜率為，在y軸上截距為，隨z變化的一族平行直線，由題圖可知，過(0,5)點時，z6x8y取最大值【答案】(0,5)2若變量x，y滿足則x2y2的最大值是 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示x2y2表示平面區(qū)域內(nèi)點到原點距離的平方，由得a(3，1)，由圖易得(x2y2)max|oa|232(1)210.【答案】103若變量x，y滿足約束條件且z5yx的最大值為a，最小值為b，則ab的值是 【解析】畫出可行域，如圖所示由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過a點時有最大值；過b點時有最小值聯(lián)立得方程組故a(4,4)；對xy8，令y0，則x8，故b(8,0)，所以a54416，b5088，則ab16(8)24.【答案】244某加工廠用某原料由甲車間加工出a產(chǎn)品，由乙車間加工出b產(chǎn)品，甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時，可加工出7千克a產(chǎn)品，每千克a產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時，可加工出4千克b產(chǎn)品，每千克b產(chǎn)品獲利50元甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為 (1)甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱；(2)甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱；(3)甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱；(4)甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱【解析】設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，由題意可知甲、乙兩車間每天總獲利為z280x200y.畫出可行域如圖所示點m(15,55)為直線xy70和直線10x6y480的交點，由圖象知在點m(15,55)處z取得最大值【答案】(2)5已知x，y滿足條件求：(1)4x3y的最大值和最小值；(2)x2y2的最大值和最小值【解】(1)不等式組表示的公共區(qū)域如圖陰影所示：其中a(4,1)，b(1，6)，c(3,2)，設(shè)z4x3y.直線4x3y0經(jīng)過原點(0,0)作一族與4x3y0平行