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3.1 系數(shù)的擴(kuò)充知識(shí)梳理1.復(fù)數(shù)的概念我們把集合c=a+bi,a,br 中的數(shù),即形如a+bi(a,br)的數(shù)叫做_,其中i叫做_.全體復(fù)數(shù)形成的集合c叫做_.2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi(a,br).這一表示叫做復(fù)數(shù)的_,對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi,以后不作特殊說明,都有a,br,其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的_和_.3.復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集c=a+bi|a,br 中任取兩個(gè)數(shù)a+bi,c+di(a、b、c、dr),我們規(guī)定:a+bi與c+di相等的充要條件是_且_.4.復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi,當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí),它是_;當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí),它是_;當(dāng)b0時(shí),叫做_;當(dāng)a=0且b0時(shí),叫做_.知識(shí)導(dǎo)學(xué) 講解本節(jié)前可先回顧從自然數(shù)集逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集的過程,這不僅為實(shí)數(shù)的擴(kuò)充提供了類比對(duì)象,而且也為怎樣擴(kuò)充提供了方向.疑難突破1.數(shù)系的擴(kuò)充 數(shù)系的每一次擴(kuò)充都與實(shí)際需求密切相關(guān).首先要明確復(fù)數(shù)的擴(kuò)充同其他數(shù)集的擴(kuò)充一樣也是因?yàn)樾枰M(jìn)行的,如為解決x2+1=0這樣的方程在實(shí)數(shù)集內(nèi)無解的問題.設(shè)想引入一個(gè)新數(shù)i,設(shè)i是方程x2+1=0的根,即ii=-1.而且新引入的數(shù)i,要能像實(shí)數(shù)系那樣進(jìn)行加法、乘法運(yùn)算,并希望運(yùn)算時(shí),原有的加法、乘法的運(yùn)算律仍然成立,就設(shè)想依此把實(shí)數(shù)和i進(jìn)行運(yùn)算,從而得到把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充后的新數(shù)集應(yīng)該是a+bi|a,br ,這就是復(fù)數(shù)集.2.復(fù)數(shù)的分類 全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合c叫做復(fù)數(shù)集. 實(shí)數(shù)集r是復(fù)數(shù)集c的真子集即rc.復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系為如圖3-1-1所示.圖3-1-1典題精講【例1】 實(shí)數(shù)k為何值時(shí),復(fù)數(shù)(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分別是(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù);(4)零.思路分析:本題主要考查復(fù)數(shù)的概念.因此要先整理成a+bi的形式.根據(jù)復(fù)數(shù)a+bi是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、零的條件可以分別確定k的值.解:由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i(1)當(dāng)k2-5k-6=0時(shí),zr,即k=6或k=-1;(2)當(dāng)k2-5k-60時(shí),z是虛數(shù),即k6且k-1;(3)當(dāng)時(shí),z是純虛數(shù),解得k=4.(4)當(dāng)時(shí)z=0,解得k=-1.故當(dāng)k=6或k=-1時(shí),zr;當(dāng)k6且k-1時(shí),z是虛數(shù);當(dāng)k=4時(shí),z是純虛數(shù);當(dāng)k=-1時(shí),z=0.綠色通道:復(fù)數(shù)z=a+bi,a,br是復(fù)數(shù)的定義,由a、b的取值確定實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù),在解題時(shí),關(guān)鍵是確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.【變式訓(xùn)練】 復(fù)數(shù)z=+(m2-2m-15)i,求實(shí)數(shù)m,使得:(1)z是實(shí)數(shù);(2)z是純虛數(shù).思路分析:當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí),虛部為零;當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí),實(shí)部為零,虛部不為零.解:(1)即m=5;(2)解之m=-2或m=3【例2】 已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i,求實(shí)數(shù)x,y的值.思路分析:本題考查復(fù)數(shù)相等的概念,即實(shí)部與虛部分別對(duì)應(yīng)相等,由此得到方程組,解出x與y的值.解:x,y是實(shí)數(shù),2x-1,y+1,x-y,-x-y為實(shí)數(shù).由復(fù)數(shù)相等的定義知綠色通道:兩個(gè)復(fù)數(shù)相等時(shí),應(yīng)分清兩復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,然后讓其實(shí)部與實(shí)部相等,虛部與虛部相等.【變式訓(xùn)練】 已知關(guān)于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有實(shí)根,求純虛數(shù)m的值.思路分析:設(shè)出純虛數(shù)m,再利用復(fù)數(shù)相等的知識(shí).解:設(shè)m=bi;則有x2+(1+2i)x-(3bi-1)i=0即解之得m=.問題探究問題:兩個(gè)復(fù)數(shù)能否比較大???導(dǎo)思:我們知道,當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí),當(dāng)然可以比較大小,當(dāng)不全是實(shí)數(shù)時(shí)能否比較大小呢?可思考兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系的性質(zhì),假設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小?會(huì)出現(xiàn)什么矛盾呢?探究:如果兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù),它們之間就不能比較大小,只能說相等或不相等.我們知道,實(shí)數(shù)之間的“”(小于)關(guān)系,具有以下性質(zhì):(1)任意兩實(shí)數(shù)a,b以下三種關(guān)系有且僅有一種成立:(2)若ab,bc,則ac;(3)若ab,則對(duì)任意實(shí)數(shù)c,有a+cb+c;(4)若ab,c0則acbc.如果我們要在復(fù)數(shù)之間引入一個(gè)“小于”關(guān)系,自然也應(yīng)要求具有上述性質(zhì).但是,在復(fù)數(shù)之
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