等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法.doc

等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法證明或判斷等差（等比）數(shù)列的方法常有四種：定義法、等差或等比中項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法。一、 定義法.證明數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件的方法： .證明數(shù)列是等差數(shù)列的充分條件的方法：.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：（n2，為常數(shù)且0）注意事項(xiàng)：用定義法時(shí)常采用的兩個(gè)式子和有差別，前者必須加上“”，否則時(shí)無意義，等比中一樣有：時(shí)，有（常數(shù)）；時(shí)，有（常數(shù)）例1. 設(shè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0。 證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有。證明：先證必要性設(shè)為等差數(shù)列，公差為d，則當(dāng)=0時(shí)，顯然命題成立當(dāng)0時(shí)，再證充分性： 得：兩邊同以得： 同理： 得：即： 為等差數(shù)列例2. 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試證為等差數(shù)列的充要條件是。證：）若為等差數(shù)列，則，故（）當(dāng)n2時(shí)，由題設(shè)，所以同理有從而整理得：an+1an=anan1，對任意n2成立.從而an是等差數(shù)列.例3.已知數(shù)列是等比數(shù)列（），是其前n項(xiàng)的和，則，仍成等比數(shù)列。證明一：（1）當(dāng)q=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；（2）當(dāng)q1時(shí)， =成等比數(shù)列.證明二：=同理，= 成等比數(shù)列。練習(xí)：二、中項(xiàng)法(1).(充要條件)若(注：三個(gè)數(shù)為等差數(shù)列的充要條件是:)(充分條件)2()是等差數(shù)列，（2）.(充要條件)若 是等比數(shù)列 (充分條件)（n1）是等比數(shù)列，注: 是a、b、c等比數(shù)列的充分不必要條件是a、b、c等比數(shù)列的必要不充分條件.是a、b、c等比數(shù)列的充要條件.任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac0，則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).三、通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和法1. 通項(xiàng)公式法（1）.若數(shù)列通項(xiàng)能表示成（為常數(shù)）的形式，則數(shù)列是等差數(shù)列。(充要條件)(2).若通項(xiàng)能表示成(均為不為0的常數(shù)，)的形式，則數(shù)列是等比數(shù)列(充要條件)2. 前項(xiàng)和法(1).若數(shù)列的前項(xiàng)和Sn能表示成 (a，b為常數(shù))的形式，則數(shù)列是等差數(shù)列；(充要條件)(2).若Sn能表示成(均為不等于0的常數(shù)且q1)的形式，則數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列 (充要條件)四、歸納猜想-數(shù)學(xué)歸納證明法先根據(jù)遞推關(guān)系求出前幾項(xiàng)，觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，猜想、歸納出通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。這種方法關(guān)鍵在于猜想要正確，用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟要熟練，從“時(shí)命題成立”到“時(shí)命題成立”要會(huì)過渡五、反證法解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮六、等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些常規(guī)結(jié)論若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列（1）數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；（2）若是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（4）是公比為的等比數(shù)列；（5）在數(shù)列中，每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為；（6）若成等差數(shù)列時(shí)，成等比數(shù)列；（7）均不為零時(shí)，則成等比數(shù)列；（8）若是一個(gè)等差數(shù)列，則正項(xiàng)數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列若數(shù)列是公差為等差數(shù)列，則（1）成等差數(shù)列，公差為（其中是實(shí)常數(shù)）；（2），（為常數(shù)），仍成等差數(shù)列，其公差為；（3）若都是等