蘇教版選修23 1.4 計(jì)數(shù)應(yīng)用題 課件（41張）.ppt

1 4計(jì)數(shù)應(yīng)用題 第1章計(jì)數(shù)原理 題型探究 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 題型探究 命題角度1 類(lèi)中有步 的計(jì)數(shù)問(wèn)題例1電視臺(tái)在某節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱 其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來(lái)信 甲信箱中有30封 乙信箱中有20封 現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾 若先確定一名幸運(yùn)之星 再?gòu)膬尚畔渲懈鞔_定一名幸運(yùn)伙伴 有 種不同的結(jié)果 類(lèi)型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 答案 解析 28800 解析在甲箱或乙箱中抽取幸運(yùn)之星 決定了后邊選幸運(yùn)伙伴是不同的 故要分兩類(lèi)分別計(jì)算 1 幸運(yùn)之星在甲箱中抽 先確定幸運(yùn)之星 再在兩箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴 有30 29 20 17400 種 結(jié)果 2 幸運(yùn)之星在乙箱中抽 同理有20 19 30 11400 種 結(jié)果 因此共有17400 11400 28800 種 不同結(jié)果 用流程圖描述計(jì)數(shù)問(wèn)題 類(lèi)中有步的情形如圖所示 反思與感悟 具體意義如下 從a到b算作一件事的完成 完成這件事有兩類(lèi)辦法 在第1類(lèi)辦法中有3步 在第2類(lèi)辦法中有2步 每步的方法數(shù)如圖所示 所以 完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3 m4m5 類(lèi) 與 步 可進(jìn)一步地理解為 類(lèi) 用 號(hào)連接 步 用 號(hào)連接 類(lèi) 獨(dú)立 步 連續(xù) 類(lèi) 標(biāo)志一件事的完成 步 缺一不可 解析如圖所示 將原圖從上而下的4個(gè)區(qū)域標(biāo)為1 2 3 4 因?yàn)? 2 3之間不能同色 1與4可以同色 因此 要分類(lèi)討論1 4同色與不同色這兩種情況 故不同的著色方法種數(shù)為4 3 2 4 3 2 1 48 跟蹤訓(xùn)練1現(xiàn)有4種不同顏色 要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色 要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色 則不同的著色方法共有 種 答案 解析 48 命題角度2 步中有類(lèi) 的計(jì)數(shù)問(wèn)題例2有4位同學(xué)在同一天的上 下午參加 身高與體重 立定跳遠(yuǎn) 肺活量 握力 臺(tái)階 五個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試 每位同學(xué)上 下午各測(cè)試一個(gè)項(xiàng)目 且不重復(fù) 若上午不測(cè) 握力 項(xiàng)目 下午不測(cè) 臺(tái)階 項(xiàng)目 其余項(xiàng)目上 下午都各測(cè)一人 則不同的安排方式共有 種 用數(shù)字作答 答案 解析 264 解析上午總測(cè)試方法有4 3 2 1 24 種 我們以a b c d e依次代表五個(gè)測(cè)試項(xiàng)目 若上午測(cè)試e的同學(xué)下午測(cè)試d 則上午測(cè)試a的同學(xué)下午只能測(cè)試b c 確定上午測(cè)試a的同學(xué)后其余兩位同學(xué)上 下午的測(cè)試方法共有2種 若上午測(cè)試e的同學(xué)下午測(cè)試a b c之一 則上午測(cè)試a b c中任何一個(gè)的同學(xué)下午都可以測(cè)試d 安排完這位同學(xué)后其余兩位同學(xué)的測(cè)試方式就確定了 故共有3 3 9 種 測(cè)試方法 即下午的測(cè)試方法共有11種 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理 總的測(cè)試方法共有24 11 264 種 用流程圖描述計(jì)數(shù)問(wèn)題 步中有類(lèi)的情形如圖所示 反思與感悟 從計(jì)數(shù)的角度看 由a到d算作完成一件事 可簡(jiǎn)單地記為a d 完成a d這件事 需要經(jīng)歷三步 即a b b c c d 其中b c這步又分為三類(lèi) 這就是步中有類(lèi) 其中mi i 1 2 3 4 5 表示相應(yīng)步的方法數(shù) 完成a d這件事的方法數(shù)為m1 m2 m3 m4 m5 以上給出了處理步中有類(lèi)問(wèn)題的一般方法 跟蹤訓(xùn)練2如圖所示 使電路接通 開(kāi)關(guān)不同的開(kāi)閉方式共有 種 答案 解析 21 解析根據(jù)題意 設(shè)5個(gè)開(kāi)關(guān)依次為1 2 3 4 5 如圖所示 若電路接通 則開(kāi)關(guān)1 2與3 4 5中至少有1個(gè)接通 對(duì)于開(kāi)關(guān)1 2 共有2 2 4 種 情況 其中全部斷開(kāi)的有1 種 情況 則其至少有1個(gè)接通的有4 1 3 種 情況 對(duì)于開(kāi)關(guān)3 4 5 共有2 2 2 8 種 情況 其中全部斷開(kāi)的有1 種 情況 則其至少有1個(gè)接通的有8 1 7 種 情況 則電路接通的情況有3 7 21 種 例33個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排 1 如果女生必須全排在一起 有多少種不同的排法 解 捆綁法 因?yàn)?個(gè)女生必須排在一起 所以可先把她們看成一個(gè)整體 這樣同5個(gè)男生合在一起共有6個(gè)元素 排成一排有種不同排法 對(duì)于其中的每一種排法 3個(gè)女生之間又有種不同的排法 因此共有 4320 種 不同的排法 類(lèi)型二有限制條件的排列問(wèn)題 解答 2 如果女生必須全分開(kāi) 有多少種不同的排法 解 插空法 要保證女生全分開(kāi) 可先把5個(gè)男生排好 每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空 這樣共有4個(gè)空 加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置 共有6個(gè)位置 再把3個(gè)女生插入這6個(gè)位置中 只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生 就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰 由于5個(gè)男生排成一排有種不同的排法 對(duì)于其中任意一種排法 從上述6個(gè)位置中選出3個(gè)來(lái)讓3個(gè)女生插入有種方法 因此共有 14400 種 不同的排法 解答 3 如果兩端都不能排女生 有多少種不同的排法 解答 解方法一 特殊位置優(yōu)先法 因?yàn)閮啥瞬荒芘排?所以?xún)啥酥荒芴暨x5個(gè)男生中的2個(gè) 有種不同排法 對(duì)于其中的任意一種排法 其余六位都有種排法 所以共有 14400 種 不同的排法 方法二 間接法 3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有種不同的排法 從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法 但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位時(shí)被扣去一次 在扣除女生排在末位時(shí)又被扣去一次 所以還需加一次 由于兩端都是女生有種不同的排法 所以共有14400 種 不同的排法 方法三 特殊元素優(yōu)先法 從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)讓3個(gè)女生排入 有種不同的排法 對(duì)于其中的任意一種排法 其余5個(gè)位置又都有種不同的排法 所以共有 14400 種 不同的排法 4 如果兩端不能都排女生 有多少種不同的排法 解方法一因?yàn)橹灰髢啥瞬荒芏寂排?所以如果首位排了男生 則末位就不再受條件限制了 這樣可有種不同的排法 如果首位排女生 有種排法 這時(shí)末位就只能排男生 這樣可有種不同的排法 因此共有 36000 種 不同的排法 方法二3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有種排法 從中扣去兩端都是女生的排法有種 就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù) 因此共有 36000 種 不同的排法 解答 5 如果甲必須排在乙的右面 可以不相鄰 有多少種不同的排法 解 順序固定問(wèn)題 因?yàn)?人排隊(duì) 其中兩人順序固定 解答 1 排列問(wèn)題的限制條件一般表現(xiàn)為 某些元素不能在某個(gè)位置 某個(gè)位置只能放某些元素等 要先處理特殊元素或先處理特殊位置 再去排其他元素 當(dāng)用直接法比較麻煩時(shí) 可以用間接法 先不考慮限制條件 把所有的排列數(shù)算出 再?gòu)闹袦p去全部不符合條件的排列數(shù) 這種方法也稱(chēng)為 去雜法 但必須注意要不重復(fù) 不遺漏 去盡 2 對(duì)于某些特殊問(wèn)題 可采取相對(duì)固定的特殊方法 如相鄰問(wèn)題 可用 捆綁法 即將相鄰元素看成一個(gè)整體與其他元素排列 再進(jìn)行內(nèi)部排列 不相鄰問(wèn)題 則用 插空法 即先排其他元素 再將不相鄰元素排入形成的空位中 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練3用0到9這10個(gè)數(shù)字 1 可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù) 在這些四位數(shù)中 奇數(shù)有多少個(gè) 解答 解0到9這10個(gè)數(shù)字構(gòu)成的三位數(shù)共有900個(gè) 分為三類(lèi) 第1類(lèi) 三位數(shù)字全相同 如111 222 999 共9個(gè) 第2類(lèi) 三位數(shù)字全不同 共有9 9 8 648 個(gè) 第3類(lèi) 由間接法可求出 只含有2個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù) 共有900 9 648 243 個(gè) 2 可以組成多少個(gè)只含有2個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù) 解答 命題角度1不同元素的排列 組合問(wèn)題例4有4張分別標(biāo)有數(shù)字1 2 3 4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1 2 3 4的藍(lán)色卡片 從這8張卡片中取出4張卡片排成一行 如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10 則不同的排法共有多少種 類(lèi)型三排列與組合的綜合應(yīng)用 解答 解分三類(lèi) 1 解排列 組合綜合問(wèn)題的一般思路是 先選后排 也就是先把符合題意的元素都選出來(lái) 再對(duì)元素或位置進(jìn)行排列 2 解排列 組合綜合問(wèn)題時(shí)要注意以下幾點(diǎn) 元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法 無(wú)序的問(wèn)題是組合問(wèn)題 有序的問(wèn)題是排列問(wèn)題 對(duì)于有多個(gè)限制條件的復(fù)雜問(wèn)題 應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件 然后再考慮是分類(lèi)還是分步 這是處理排列 組合綜合問(wèn)題的一般方法 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練4從1 3 5 7 9中任取3個(gè)數(shù)字 從0 2 4 6 8中任取2個(gè)數(shù)字 一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù) 解答 解 1 五位數(shù)中不含數(shù)字0 2 五位數(shù)中含有數(shù)字0 第2步 排順序又可分為兩小類(lèi) 所以符合條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)為 命題角度2含有相同元素的排列 組合問(wèn)題例5將10個(gè)優(yōu)秀名額分配到一班 二班 三班3個(gè)班級(jí)中 若各班名額數(shù)不小于班級(jí)序號(hào)數(shù) 則共有 種不同的分配方案 解析先拿3個(gè)優(yōu)秀名額分配給二班1個(gè) 三班2個(gè) 這樣原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為將7個(gè)優(yōu)秀名額分配到3個(gè)班級(jí)中 每個(gè)班級(jí)中至少分配到1個(gè) 利用 隔板法 可知 共有 15 種 不同的分配方案 答案 解析 15 凡 相同小球放入不同盒中 的問(wèn)題 即為 n個(gè)相同元素有序分成m組 每組的任務(wù)不同 的問(wèn)題 一般可用 隔板法 求解 1 當(dāng)每組至少含一個(gè)元素時(shí) 其不同分組方式有n 種 即將n個(gè)元素中間的n 1個(gè)空格中加入m 1個(gè) 隔板 2 任意分組 可出現(xiàn)某些組含元素為0個(gè)的情況 其不同分組方式有n 種 即將n個(gè)相同元素與m 1個(gè)相同 隔板 進(jìn)行排序 在n m 1個(gè)位置中選m 1個(gè)安排 隔板 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練5用2 3 4 5 6 7六個(gè)數(shù)字 可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 解析用間接法 六個(gè)數(shù)字能構(gòu)成的三位數(shù)共6 6 6 216 個(gè) 而無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有 6 5 4 120 個(gè) 故所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為216 120 96 答案 解析 96 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 李芳有4件不同顏色的襯衣 3件不同花樣的裙子 另有兩套不同樣式的連衣裙 五一 節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出 則李芳有 種不同的選擇方式 答案 2 3 4 5 1 解析 解析由題意可得 李芳不同的選擇方式為4 3 2 14 14 2 包括甲 乙在內(nèi)的7個(gè)人站成一排 其中甲在乙的左側(cè) 可以不相鄰 有 種站法 答案 2 3 4 5 1 解析 解析因?yàn)榧?乙定序了 所以有 2520 種 2520 3 從0 2 4中取一個(gè)數(shù)字 從1 3 5中取兩個(gè)數(shù)字 組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) 則所有不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是 答案 2 3 4 5 1 解析 48 解析第一類(lèi) 從2 4中任取一個(gè)數(shù) 有種取法 同時(shí)從1 3 5中取兩個(gè)數(shù)字 有種取法 再把三個(gè)數(shù)全排列 有種排法 故有 36 種 取法 第二類(lèi) 從0 2 4中取出0 有種取法 從1 3 5三個(gè)數(shù)字中取出兩個(gè)數(shù)字 有種取法 然后把兩個(gè)非0的數(shù)字中的一個(gè)先安排在首位 有種排法 剩下的兩個(gè)數(shù)字全排列 有種排法 共有 12 種 方法 共有36 12 48 種 排法 2 3 4 5 1 4 某電視臺(tái)連續(xù)播放5個(gè)廣告 其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益宣傳廣告 要求最后播放的必須是公益宣傳廣告 且2個(gè)公益宣傳廣告不能連續(xù)播放 則不同的播放方式有 種 答案 2 3 4 5 1 解析 解析先安排后2個(gè) 再安排前3個(gè) 由分步計(jì)數(shù)原理知 共有 36 種 不同的播放方式 36 2 3 4 5 1 5 已知xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 6 則滿(mǎn)足x1 x2 x3 x4 x5 x6 2的數(shù)組 x1 x2 x3 x4 x5 x6 的個(gè)數(shù)為 答案 解析 解析根據(jù)題意 x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 6 xi中有2個(gè)1