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【精品】高數(shù)總結(jié) x nu102n35x(2n)!2335一.函數(shù)的概念1用變上、下限積分表示的函數(shù)考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)-高等數(shù)學(xué)公式1lim x0sin x=1x （1）y=f(t)dt，其中f(t)?2(x)?(x)f(t)dt，其中?1連續(xù)，則dy=f(x)dx?1?1? （2）y=0(x)，?2(x)可導(dǎo)，f(t)公式2lim?1+?n?n?()=e；lim?1+?u?u?=e；1連續(xù)，lim1+v v=e v0則dy=f?dx2(x)?2(x)?f?1(x)?1(x)4用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換5用泰勒公式（比用等價(jià)無(wú)窮小更深刻）（數(shù)學(xué)一和2兩個(gè)無(wú)窮小的比較設(shè)lim f(x)=0，lim g(x)=0，且lim f(x)=l g(x)數(shù)學(xué)二）當(dāng)x0時(shí)，e x=1+x+x+x+0(x n) （1）l=0，稱f(x)是比g(x)高階的無(wú)窮小，記以=?x+x+2!+(?)n n!x2n+1+(x2n+1)f(x)=0g(x)，稱g(x)是比f(wàn)(x)低階的無(wú)窮sin x x3!5!1(2n+1)!0x2x4!42n n2n小。 （2）l0，稱f(x)與g(x)是同階無(wú)窮小。 cos x=1?+2!?+(?1)+0(x) （3）l=1，稱f(x)與g(x)是等價(jià)無(wú)窮小，記以ln(1+x)=x?x+x arctan?+(?1)n+1x n+0(x n n)f(x)g(x)23x=x?x+x?+(?1)n+1x2n+1n+0(x2n+1)3常見的等價(jià)無(wú)窮小當(dāng)x0時(shí)3521(1+x)=1+x+(?1)2!x2+(?1)?(n?1)xn+0(xn)sin xx，tan xx，arcsin xx，arctan xx1?cos x1x2n!2，(1+x)?1x二求極限的方法1利用極限的四則運(yùn)算和冪指數(shù)運(yùn)算法則e x?1x，ln(1+x)x，6洛必達(dá)法則法則1（型）設(shè) （1）lim f(x)=0，lim g(x)=00 （2）x變化過程中，f(x)，g(x)皆存在2兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在 （1）若xn+1xn（n為正整數(shù)）又xnm（n為正()g xf(x) （3）lim=A（或）g(x)f(x)整數(shù)），則lim xn=A存在，且Am n則lim g(x)=A（或） （2）若xn+1xn（n為正整數(shù)）又xnM（n為正整數(shù)），則lim xn=A存在，且AM n（注如果lim f(x)不存在且不是無(wú)窮大量情形，則g(x)f(x)準(zhǔn)則2（夾逼定理）設(shè)g(x)f(x)h(x)不能得出lim不存在且不是無(wú)窮大量情形）若lim g(x)=A，lim h(x)=A，則lim f(x)=A3兩個(gè)重要公式1法則2（型）設(shè) （1）lim f(x)=，lim g(x)= （2）x變化過程中，f(x)，g(x)皆存在Edited by楊凱鈞xx年10月00n k=1a f(x)g(x) （3）lim=A（或）f(x)g(x)考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)-高等數(shù)學(xué)值，如果對(duì)于區(qū)間a,b上的任一點(diǎn)x，總有f(x)則稱M為函數(shù)f(x)在a,b上的最大值。 同樣可以定義最M，則lim=A（或）小值m。 定理3（介值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上7利用導(dǎo)數(shù)定義求極限f(x+?x)?f(x)基本公式lim存在=f(x0)如果連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m?x0?x和M之間的任何實(shí)數(shù)c，在a,b上至少存在一個(gè)，使得8利用定積分定義求極限f()=c1n?k?f?=n1基本公式lim f(x)dx如果存在推論如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)n?0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類 （1）第一類間斷點(diǎn)與f(b)異號(hào)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得f()=0設(shè)x0是函數(shù)y=f(x)的間斷點(diǎn)。 如果f(x)在間斷點(diǎn)這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理五導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算1導(dǎo)數(shù)與微分表(c)=0x0處的左、右極限都存在，則稱x0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。 d(c)=0 （2）第二類間斷點(diǎn)(x)=x?1（實(shí)常數(shù)）d(x)=x?1dx（實(shí)常數(shù)）第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 (sin x)=cos xd sin x=cos xdx常見的第二類間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。 (cos x)=?sin xd cos x=?sin xdx d tan x=sec四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x)，有以下幾個(gè)基本(tan x)=sec2x2x(cot x)=?csc2xdxdcot x=?csc2xdx性質(zhì)。 這些性質(zhì)以后都要用到。 連續(xù)，則f(x)必在a,b上有界。 (sec x)=sec xtan xd sec x=sec xtan xdx(csc x)d log x ln a dx x ln a(ln x)x定理1（有界定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上=?csc xcot xd csc x=?csc xcot xdx1(a0,a1)定理2（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f(x)在閉(logx)=a x=(a0,a1)區(qū)間a,b上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值M和=1d ln x=1dx x最小值m。 其中最大值M和最小值m的定義如下(a da x)=a xln a(a0,a1)定義設(shè)f(x0)=M是區(qū)間a,b上某點(diǎn)x0處的函數(shù)x=a xln adx(a0,a1)2Edited by楊凱鈞xx年10月(e x)=e xde x=e x dx考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)-高等數(shù)學(xué)(t)存在，且?(t)0，則(arcsin x)=1d arcsin x=1dx dy dx?(t)=(t)(?(t)0)1?x21?x2二階導(dǎo)數(shù)(aros x)=?11?x2d aros x=?1dx1?x2d2yd?dy?dx?=d?dx?1?dy?(t)?(t)?(t)?(t)?(t)3(arctan x)=11+x2d arctan x=1dx1+x2=dx2dx=dt dx dt(arc cot x)=?11+x2darc cot x=?1dx1+x25反函數(shù)求導(dǎo)法則ln(x+d ln(x+x2+a2)=x2+a2)=1x2+a21dx2x2+a設(shè)y=f(x)0f(x)的反函數(shù)x=g(y)，兩者皆可導(dǎo)，且ln(x+x2?a2)=1x2?a2則g(y)=1f(x)=1fg(y)?d?f(x)?(f(x)0)1?d ln(x+x2?a2)=1dx2四則運(yùn)算法則f(x)g(x)=x f(x)g(x)2?a2二階導(dǎo)數(shù)g(y)=dg(y)=dy?1dy dx dxf(x)?g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)=?f(x)3fg(y)=?fg(y)3(f(x)0)?f(x)?g(x)?=f(x)g(x)?f(x)g(x)2(x)g(g(x)0)6隱函數(shù)運(yùn)算法則?設(shè)y=y(x)是由方程F(x,y)=0所確定，求y的方3復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則設(shè)y=f(u)，u=?(x)，如果?(x)在x處可導(dǎo)，f(u)法如下把F(x,y)=0兩邊的各項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)，把y看作中間變?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=且有f?(x)在x處可導(dǎo)，量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算，然后再解出y的表達(dá)式（允dy=dy du dx du dx=f?(x)?(x)許出現(xiàn)y變量）對(duì)應(yīng)地dy=f(u)du=f?(x)?(x)dx7對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則先對(duì)所給函數(shù)式的兩邊取對(duì)數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)由于公式dy=f(u)du不管u是自變量或中間變量方法得出導(dǎo)數(shù)y。 都成立。 因此稱為一階微分形式不變性。 4由參數(shù)方程確定函數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)數(shù)求導(dǎo)法主要用于冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)多個(gè)函數(shù)連乘除或開方求導(dǎo)數(shù)關(guān)于冪指函數(shù)y=f(x)設(shè)x=?(t)，y=(t)確定函數(shù)y=y(x)，其中?(t)，3g(x)常用的一種方法Edited by楊凱鈞xx年10月?cos?n k=0C f()(x)0x(?x)n考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)-高等數(shù)學(xué)y=e g(x)ln f(x)這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行。 （1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；8可微與可導(dǎo)的關(guān)系f(x)在x0處可微?f(x)在x0處可導(dǎo)。 （2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則存在(a,b)，使得9求n階導(dǎo)數(shù)（n2，正整數(shù)）先求出y,y,總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出y(n)，最后用歸納法證明。 f(b)b?a?f(a)=f()有一些常用的初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式或?qū)懗蒮(b)?f(a)=f()(b?a)(a0,a1)y(n)=a x(lna)n(01) （3）y=sin x y(n)=sin?x+n?這里x0相當(dāng)a或b都可以，?x可正可負(fù)。 2?推論1若f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)0，則f(x) （4）y=cos x y(n)=?x+n?2?n在(a,b)推論2f(x)g(x)內(nèi)為常數(shù)。 ，則在(a,b) (5)y=ln x y(n)=(?1)n?1(n?1)!x若f(x)，g(x)在(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)，且兩個(gè)函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)有萊布尼茲公式n Cu(x)v(x)(n)=k u(k)(x)v(n?k)(x)n!內(nèi)f(x)=g(x)+c，其中c為一個(gè)常數(shù)。 三柯西中值定理（數(shù)學(xué)四不要）設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足其中v (0)(x)=v(x)k=n，k!(n?k)!u (0)(x)=u(x)， （1）在閉區(qū)間a,b上皆連續(xù)； （2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)；且g(x)0假設(shè)u(x)和v(x)都是n階可導(dǎo)。 微分中值定理一羅爾定理則存在(a,b)使得設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(b)g(b)?f(a)?g(a)=f()g()(a0，而在(x0x0=0時(shí)，也稱為n階麥克勞林公式。 如果lim Rn(x)=0，那么泰勒公式就轉(zhuǎn)化為泰勒級(jí)n數(shù)，這在后面無(wú)窮級(jí)數(shù)中再討論。 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一基本知識(shí)f(x)0，則f(x0)為極大值，x0為極大值點(diǎn)；2如果在(x0?,x0)內(nèi)的任一點(diǎn)x處，有f(x)0，則f(x0)為極小值，x0為極小值點(diǎn)；1定義設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)的某一3如果在(x0?,x0)內(nèi)與(x0,x0+)內(nèi)的任一點(diǎn)點(diǎn)，則如果點(diǎn)x0存在一個(gè)鄰域，使得對(duì)此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)x處，f(x)的符號(hào)相同，那么f(x0)不是極值，x0不是極值點(diǎn)。 4第二充分條件設(shè)函數(shù)f(x)在x0處有二階導(dǎo)數(shù)，且f(x0)=0，x(xx0)，總有f(x) x(xx0)，總有f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)5當(dāng)f(x0)0時(shí)，f(x0)為極小值，x0為極小值點(diǎn)。 Edited by楊凱鈞xx年10月f(x)考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)-高等數(shù)學(xué)二函數(shù)的最大值和最小值y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的。 1求函數(shù)f(x)在a,b上的最大值和最小值的方法求曲線y=f(x)的拐點(diǎn)的方法步驟是首先，求出f(x)在(a,b)內(nèi)所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)x1,xk，其次計(jì)算f(x1),f(xk),f(a),f(b)。 最后，比較f(x1),f(xk),f(a),f(b)，其中最大者就是f(x)在a,b上的最大值M；其中最小者就是f(x)在a,b上的最小值m。 2最大（?。┲档膽?yīng)用問題第一步求出二階導(dǎo)數(shù)f(x)；第二步求出使二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x 1、x 2、xk；第三步對(duì)于以上的連續(xù)點(diǎn)，檢驗(yàn)各點(diǎn)兩邊二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，如果符號(hào)不同，該點(diǎn)就是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第四步求出拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)。 四漸近線的求法1垂直漸近線首先要列出應(yīng)用問題中的目標(biāo)函數(shù)及其考慮的區(qū)間，然后再求出目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大（?。┲怠?三凹凸性與拐點(diǎn)若lim xa+f(x)=或lim xa?f(x)=1凹凸的定義則x=a為曲線y=2水平漸近線f(x)的一條垂直漸近線。 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，若對(duì)任意不同的兩點(diǎn)x1,x2，恒有若lim x+f(x)=b，或lim x?f(x)=b則y=b是曲線y=f(x)的一條水平漸近線。 ?x1+x2?1f?2?2?x1+x2?1+f(x2)?f?2?23斜漸近線?f(x1)?0，則曲線y=f(x)如果在(a,b)在(a,b)內(nèi)是凹的；使MD=R，則稱D為曲率中心，以D為圓心，R為半徑的圓周稱為曲率圓。 不定積分一基本積分公式+1內(nèi)的每一點(diǎn)x，恒有f(x)0,a1) （1）f(ax+b)dx=af(ax+b)d(ax+b)e xdx=e x+C4cos xdx=sin x+C5sin xdx=?cos x+C(a0) （2）f(ax n+b)x n?1dx=(a0,n0)1f(ax nan+b)d(ax n+b)6sec2xdx=12dx=tan x+C x12dx=?cot x+C x cos （3）f(ln x)dx x=f(ln x)d(ln x)2?1?dx?2=?f?x?xdx x?1?d?x?1?x7csc xdx=sin （4）f8tan xsec xdx=sec x+C?9cot xcsc xdx=?csc x+C （5）f(x)=2f(x)d(x)1lnaf(a10tan xdx=?ln cos x+C11cot xdx=ln sin x+C （6）f(a x)a xdx=(a0,a1)x)d(a x)12sec xdx=ln sec x+tan x+C13csc xdx=ln csc x?cot x+Cf(e x)e xdx=f(e x)d(e x) （7）f(sin x)cos xdx=f(sinx)d(sinx)14dx a2?x2=arcsin x+C a(a0) （8）f(cosx)sin xdx=?f(cosx)d(cosx) （9）f(tan x)sec2xdx=f(tanx)d(tanx)15a dx2+x=1arctan x a lna+x+Ca(a0)162dx=12a a?x=ln x+C(a0) （10）f(cot x)csc2xdx=?f(cot x)d(cotx)a2?x2 （11）f(sec x)sec xtan xdx=f(secx)d(secx) （13）1?x17dx x2a2x C2a2+(a0) （12）f(csc x)csc xcot xdx=?f(cscx)d(cscx)dx=f(arcsin x)d(arcsin x)f(arcsin x)二換元積分法和分部積分法1第一換元積分法（湊微分法）設(shè)f(u)du=F(u)+C，又?(x)可導(dǎo)，則f(aros x)1?x （14）f(arctan x) （15）222dx=?f(aros x)d(aros x)dx=f(arctan x)d(arctan x)f?(x)?(x)dx=f?(x)d?(x)u=?(x)f(u)du令=F(u)+C=F?(x)+C （16）1+x f(arc cotx)1+x2dx=?f(arc cotx)d(arc cotx)這里要求讀者對(duì)常用的微分公式要“倒背如流”，也就7Edited by楊凱鈞xx年10月根式的形式所作替換三角形示意圖（求反函數(shù)用）a2?x2x=a sint a2+x2x=a tantx2?a2x=a sect?f?)?1?0?arctan1?考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)-高等數(shù)學(xué)(?A)l2?(x?x)2然后再作下列三種三角替換之一x?arctan?1?d?1? （17）1+x2dx=?f x?arctan x （18）2)f(x+x2+a2)=(+2+(+2)2+ln x2+a2dx fln xxad ln xxa(a0) （19）fln(x+x2?a2dx=fln(x+x2?a2)d(ln(x+x2?a2)x2?a2(a0)f(x) （20）2第二換元積分法f(x)dx=ln f(x)+C(f(x)0)3分部積分法設(shè)u(x)，v(x)均有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則設(shè)x=?(t)可導(dǎo)，且?(t)0，若u(x)dv(x)=u(x)v(x)?v(x)du(x)f?(t)?(t)dt=G(t)+C，則f(x)dx令x=?(t)f?(t)?(t)dt=G(t)+C=G?(x)+C或u(x)v(x)dx=u(x)v(x)?u(x)v(x)dx使用分部積分法時(shí)被積函數(shù)中誰(shuí)看作u(x)誰(shuí)看作其中t=?1(x)為x=?(t)的反函數(shù)。 v(x)有一定規(guī)律。 （1）()ax第二換元積分法絕大多數(shù)用于根式的被積函數(shù)，通過Pn xe ax，sin ax，cos ax為v(x)；多項(xiàng)式部分為，Pn(x)sin ax，Pn(x)cos ax情形，換元把根式去掉，其常見的變量替換分為兩大類第一類被積函數(shù)是x與Pn(x)為n次多項(xiàng)式，a為常數(shù)，要進(jìn)行n次分部積分法，每次均取e n ax+b或x與nax+b或cx+d由e x構(gòu)成的代數(shù)式的根式，例如ae x+b等。 u(x)。 （2）Pn(x)lnx，Pn(x)arcsin x，Pn(x)arctan x情只要令根式n g(x)=t，解出x=?(t)已經(jīng)不再有根形，Pn(x)為n次多項(xiàng)式取Pn(x)為v(x)，而lnx，式，那么就作這種變量替換x=?(t)即可。 arcsin x，arctan x為u(x)數(shù)的形式發(fā)生變化，再考慮其它方法。 ax sinbx，e，用分部積分法一次，被積函第二類被積函數(shù)含有Ax2+Bx+C(A0)，如果仍令A(yù)x2+Bx+C=t解出x=?(t)仍是根號(hào)，那 （3）e axcos bx情形，進(jìn)行二次分部積分0么這樣變量替換不行，要作特殊處理，將A0時(shí)先化為法后要移項(xiàng)，合并。 （4）比較復(fù)雜的被積函數(shù)使用分部積分法，要用湊微A(x?x)2l2，A0，特征方程有兩個(gè)不同的14Edited by楊凱鈞xx年10月11n n n nnnn則方程的通解為y=C e1x+C e2x考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)-高等數(shù)學(xué)通解y=y+C y(x)+C y(x)221211 （2）當(dāng)?=p2?4q=0，特征方程有二重根其中C y(x)11+C y(x)為對(duì)應(yīng)二階常系數(shù)齊次線性221=2則方程的通解為y=(C1+C2x)e1x方程的通解上面已經(jīng)討論。 所以關(guān)鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個(gè)特解y如何求？我們根據(jù)f(x)的形式，先確定特解y的形式，其中包含一些待定的系數(shù)，然后代入方程確定這些系數(shù)就得到 （3）當(dāng)?=p2?4q0，特征方程有共軛復(fù)根i，特解y，常見的f(x)的形式和相對(duì)應(yīng)地y的形式如下1f(x)=Pn(x)，其中Pn(x)為n次多項(xiàng)式則方程的通解為y=ex(C cosx+C2sinx)2n階常系數(shù)齊次線性方程 （1）若0不是特征根，則令y=Rn(x)=a0x+a1x n?1+an?1x+an y+p1y(n?1)+p2y(n+pn?1y+pn y=0其中ai(i=0,1,2,n)為待定系數(shù)。 (n)?2)其中pi(i=1,2,n)為常數(shù)。 相應(yīng)的特征方程 （2）若0是特征方程的單根，則令y=xRn(x)2+p1n?1+p2n?2+pn?1+pn=0 （3）若0是特征方程的重根，則令y=x Rn(x)2f(x)=P(x)ex其中P(x)n為n次多項(xiàng)式，為特征根與方程通解的關(guān)系同二階情形很類似。 （1）若特征方程有n個(gè)不同的實(shí)根1,2,nn實(shí)常數(shù)則方程通解y=C e1x+C e2x+C enx （1）若不是特征根，則令y=Rn(x)ex12n （2）若是特征方程單根，則令y=xRn(x)ex （2）若0為特征方程的k重實(shí)根(kn) （3）若是特征方程的重根，則令y=x2R(x)ex則方程通解中含有(C+C2x+Ck xk?1)e0x3f(x)=P(x)ex sinx或 （3）若i(2kn)則方程通解中含有為特征方程的k重共軛復(fù)根f(x)=P(x)excosx其中Pn(x) （1）若i為n次多項(xiàng)式，,皆為實(shí)常數(shù)不是特征根，則令ex(C+C x+C xk?1)cosx+(D+D x+D xk?1)sinx12k12k y=exRn(x)cosx+Tn(x)sinx由此可見，常系數(shù)齊次線性方程的通解完全被其特征方程的根所決定，但是三次及三次以上代數(shù)方程的根其中Rn(x)=a0x+a1x n?1+an?1x+an不一定容易求得，因此只能討論某些容易求特征方程的根所對(duì)應(yīng)的高階常系數(shù)齊次線性方程的通解。 ai(i=0,1,n)為待定系數(shù)四二階常系數(shù)非齊次線性方程Tn(x)=b0x+b1x n?1+bn?1x+bn方程y+py+qy=f(x)其中p,q為常數(shù)bi(i=0,1,n)為待定系數(shù)15Edited by楊凱鈞xx年10月關(guān)系向量表示向量坐標(biāo)表示a,b間夾角(?)a?b cos?=a bco?s=a1b1+a2b2+a3b3a2+a2+a2?b2+b2+b2123123a與b垂直a?b=0a b+a b+bb=011223322 （2）若i是特征根，則令考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)-高等數(shù)學(xué)?3數(shù)量積。 a?b=a b?