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一元微分學部分 第 4 頁 共 4 頁 2005年Bernoulli不等式及其應(yīng)用席華昌(山西師大臨汾學院數(shù)計系,山西省臨汾市 041000)摘 要:使用均值不等式及實數(shù)的稠密性推證Bernoulli不等式,并將其應(yīng)用于證明極限、連續(xù)、單調(diào)以及其它不等式和判別級數(shù)斂散性.關(guān)鍵詞:Bernoulli不等式、極限、連續(xù)、單調(diào)、不等式、級數(shù).中圖分類號:O178眾所周知,Bernoulli不等式在數(shù)學分析中占有非常重要的地位。本文由均值不等式及實數(shù)稠密性出發(fā)推導Bernoulli不等式,并舉例說明其在分析中的一些巧妙之應(yīng)用.一、 Bernoulli不等式設(shè) rR+,且-1x0,則 (A)分析與證明 先證明 (1+x)r1+rx, (0r1). 當rQ+時,設(shè)r= (n、mN,n、m互質(zhì)且n0,取有理數(shù)列rn,使對任意自然數(shù)n,有rrn1,且,則有1+rnx, 令n,得 (1+x)r1+rx ;若 -1x0,取有理數(shù)列rn,使對任意自然數(shù)n,有0rnr,且,則有1+rnx , 令n,得 +rx ,下證 (1+x)r1+rx. 取0zminr,1-r,則 rz(0,1),那么 (1+x)r=(1+x)r1=(1+x)r1+rx ( r1).當1+rx0時,(1+x)r01+rx ;當1+rx0時,(1+rx)1+rx .為應(yīng)用方便,(A)式常常也寫成: (AA)二、Bernoulli不等式的應(yīng)用1、極限方面的應(yīng)用例1 求證 (a1,k0均為常數(shù)).證明 由于 a1, 可記 (0 ) ,則=所以,對,要使,只需 ,即 ,于是取 N,則 當nN時,便有,即 .注:本極限中k取不同值時可得不同的極限式。1、 函數(shù)連續(xù)性方面的應(yīng)用例2 證明指數(shù)函數(shù)f(x)=ax (0a1) 在R上連續(xù)。證明 先證 .對 有1=a0ax1+(a-1)x由于 ,所以 由迫斂法則 .又,即 f(x)=ax在x=0處連續(xù);再證 f(x)=ax在R上連續(xù)對,有=所以 f 在x0處連續(xù),由的任意性,f 在R上連續(xù)。2、 不等式方面的應(yīng)用例3 證明不等式 .證明 由于是單增趨于e的數(shù)列,從而,于是 ,因此,只需證明 成立即可.當n=1時,顯然 ;設(shè) n=k時,有k!成立,兩端同乘(k+1),得(k+1)!(k+1)=又 有 代入式,有(k+1)!由數(shù)學歸納法知 (nN) 成立. n!.3、 單調(diào)性方面的應(yīng)用例4 討論函數(shù) 的單調(diào)性.分析與解 討論函數(shù) 令 由(A)式得: 兩邊同時x2次方.即,函數(shù)在(0,)上嚴格增.論函數(shù) 令 由(A)式得, 兩邊同時x2+1次方 .從而 ,即,函數(shù)在(0,)上嚴格減.注:這兩個函數(shù)的單調(diào)性還可以利用導數(shù)進行討論,上面使用這種方法也適用于討論數(shù)列與的單調(diào)性.4、 級數(shù)斂散性方面的應(yīng)用例5判斷級數(shù) 的斂散性.解 記 . 則.由達朗貝爾判別法,級數(shù)收斂.注:該級數(shù)更一般的形式是:討論函數(shù)項級數(shù)的斂散性.由上面幾方面的應(yīng)用可以看出:在解決一些數(shù)學問題時,若能充分考慮到Bernoulli不等式的特點及其變形,便能達到妙題巧解,出奇制勝之效果.參考資料1、數(shù)學分析 紀樂剛2、數(shù)學分析經(jīng)典習題解析 孫 濤附:041000 山西師大臨汾學院數(shù)計系 副教授 席華昌 址 臨汾市堯都區(qū)鼓樓南18號本文發(fā)表于高等數(shù)學研究,2005,4(8):42-44.并列入高等數(shù)學研究論文范例被以下四篇論文引用:也談Bernoulli不等式的證明與應(yīng)用高等數(shù)學研究 2006年 第6期作者:蘇燦榮禹春福 合肥工業(yè)大學貝努利不等式的高階推廣和數(shù)值驗證內(nèi)江師范學院學報 2007年 第6期作者:石勇國陳志強呂曉亞 內(nèi)江師范學院Bernoulli不等式的控制證
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