教案《最小二乘法》.doc

陜西省西安中學(xué)附屬遠(yuǎn)程教育學(xué)校8最小二乘法一、教學(xué)分析最小二乘法的思想是使的和達(dá)到最小。對于最小二乘法本身，任何一組數(shù)據(jù)，不論它們之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，都可以用最小二乘法估計出一個線性方程來。所以，通過散點圖判斷兩個變量是否存在線性相關(guān)系就顯得很重要。二、教學(xué)建議關(guān)于最小二乘法不要求學(xué)生掌握推導(dǎo)過程，但要理解其思想。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能了解最小法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程。2、過程與方法經(jīng)歷用不同的估算方法來描述兩個變量線性相關(guān)的過程，體會研究兩個變量間依賴關(guān)系的一般方法。3、情感態(tài)度價值觀通過利用散點圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生用普遍聯(lián)系的觀點思考和解決生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，進一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力。四、教學(xué)重點、難點教學(xué)重點：利用最小二乘法求線性回歸方程。教學(xué)難點: 線性回歸方程的推導(dǎo)。（一）課題引入在上一節(jié)的討論我們知道，人的身高與右手一拃長之間的總體趨勢是成一條直線，也就說，它們之間是線性相關(guān)的。這種線性關(guān)系可以用多種方法來刻畫，那么用什么樣的線性關(guān)系刻畫會更好呢？一個好的線性關(guān)系要保證這條直線與所有點都接近。（二）探求新知假設(shè)一條直線的方程為：，任意給定一個樣本點：，即有一個估計值與之對應(yīng)，那么估計值與真實值之間存在誤差，為了避免誤差相互抵消，可以考慮用來刻畫彼此之間的“誤差”。如果有n個樣本點，其坐標(biāo)分別為，則所有誤差的和越小，對應(yīng)的直線方程就越理想。使得上式達(dá)到最小值的直線就是所要求的直線，我們把這種方法稱為最小二乘法。記：，則 =，所以當(dāng)時，上式取得最小值。將這個關(guān)系式代入上式，整理成關(guān)于未知數(shù)b的一元二次多項式的形式：所以當(dāng)時，點與直線最接近。這樣得到的方程稱為線性回歸方程，稱為線性回歸方程的系數(shù)。（三）知識應(yīng)用例1、在上一節(jié)練習(xí)中，從散點圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)（y）與當(dāng)天氣溫（x）之間是線性相關(guān)的。數(shù)據(jù)如下表所示：氣溫（x）/261813104-1杯數(shù)202434385064（1）試用最小二乘法求出線性回歸方程。（2）如果某天氣溫是-5，請預(yù)測大約能賣出熱茶多少杯。 解：（1）從散點圖可以看出，兩個變量是線性相關(guān)的?？汕蟮茫M而求得，。于是，線性回歸方程為。（2）由上面的最小二乘法估計得出的線性回歸方程知，當(dāng)某天的氣溫是-5時，賣出熱茶的倍數(shù)估計為。例2、下面是兩個變量的一組數(shù)據(jù)：x12345678y1491625364964（1）請用最小二乘法求出這兩個變量之間的線性回歸方程；（2）觀察散點圖，你發(fā)現(xiàn)線性回歸方程能否反映兩變量之間的相關(guān)關(guān)系嗎？解：線性回歸方程為。但是，從表中數(shù)據(jù)很容易看出：，此時，最小二乘法得到的線性回歸方程已經(jīng)失去了意義。所以，利用最小二乘法進行估計時，要先作出數(shù)據(jù)的散點圖，如果散點圖呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，我們再根據(jù)這個規(guī)律性進行擬合。如果散點圖呈現(xiàn)出線性關(guān)系，我們可以用最小二乘法估計出線性回歸方程；如果散點圖呈現(xiàn)出其他的曲線關(guān)系，我們就要利用其他的工具進行擬合。（四）課堂練習(xí)1、設(shè)，是變量和的個樣本點，直線是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸方程（如圖），以下結(jié)論中正確的是 （ ）A回歸直線是經(jīng)過散點圖上最多點的直線B若回歸方程為，則當(dāng)時，一定等于6C當(dāng)為偶數(shù)時，分布在兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同D直線過點解析：根據(jù)最小二乘法的有關(guān)概念：樣本點的中心，相關(guān)系數(shù)線，性回歸方程的意義等進行判斷。選D2、（2011年廣東卷）為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x（單位：小時）與當(dāng)天投籃命中率y 之間的關(guān)系：時間12345命中率0405060604小李這5天的平均投籃命中率為_;用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李每月6號打籃球6小時的投籃命中率為_。0.5，0.533、課本57頁 練習(xí)（1）線性回歸方程為；（2）線性回歸方程為；（3）從以上兩個方程可以看出，女生的線性回歸方程的斜率要比男生的大，這說明從總體上看，相對于身高而言，女生的右手一拃長比男生的要長。從另一個角度開看，對于男生而言，女生的身高總體偏矮，相同年齡的人右手一拃長應(yīng)當(dāng)大致差不多，所以相對于身高而言，女生的右手一拃長比男生的要長。（五）課堂小結(jié)最小二乘法：如果有n個樣本點，其坐標(biāo)分別為，可以用下面的表達(dá)式來刻畫這些樣本點與直線之間的接近程度：，使得上式達(dá)到最小值的直線就是所要求的直線，我們把這種方法稱為最小二乘法。線性回歸方程：如果，則可求得，這樣得到的方程稱為線性回歸方程，稱為線性回歸方程的系數(shù)。（六）分層作