Mathematica軟件使用入門.doc

精品文檔 Mathematica軟件使用入門目錄第一章 基本知識與基本操作31.1 Mathematica的基本語法特征31.2 Mathematica的啟動、基本操作41.3 操作小技巧71.4 數值計算81.5 賦值與替換91.6 自定義函數101.7 方程與方程組解111.8 解不等式與不等式組121.9 由遞推式求數列的通項公式131.10 作函數圖像14第二章 運用Mathematica實現高等數學中的基本運算162.1 求極限運算162.2 求導數與微分182.3 求不定積分252.4 求定積分25第三章 實驗練習題28Mathematica是當今世界上最為流行的計算機代數系統(tǒng)之一Mathematica系統(tǒng)是美國物理學家Stephen.Wolfram領導的一個小組開發(fā)的,后來他們成立了Wolfram研究公司1987年推出了系統(tǒng)的1.0版；現在的最新版本是8.0版Mathematica可以做：l 符號計算和數值計算問題,如：能做多項式的計算、因式分解和展開等；l 做各種有理式計算，求多項式、有理式方程和超越方程的精確解和近似解；l 做向量、矩陣的各種計算；l 求極限、導數、積分，做冪級數展開，求解某些微分方程等；l 做任意位數的整數或分子分母為任意大整數的有理數的精確計算，做具有任意位精度的數值（實、復數值）的計算l 可以很方便地畫出用各種方式表示的一元和二元函數的圖形,通過圖形,可以立即形象地掌握函數的某些特性，而這些特性一般是很難從函數的符號表達式中看清楚第一章 基本知識與基本操作1.1 Mathematica的基本語法特征 使用Mathematica，一定要牢牢記住： l Mathematica中大寫小寫是有區(qū)別的，如Name、name、NAME等是不同的變量名或函數名； l 系統(tǒng)所提供的功能大部分以系統(tǒng)函數的形式給出， 內部函數一般寫全稱， 而且一定是以大寫英文字母開頭， 如Sinx,Cosz等； l 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 32*36 , 2 Sinx2* Sinxl 乘冪可以用“”表示，如x0.5 表示： Tanxy 表示： l 自定義的變量可以取幾乎任意的名稱，長度不限，但不可以數字開頭 l 當你賦予變量任何一個值，除非你：明顯地改變該值或 使用Clear變量名或 使用“變量名=.”取消該值，否則它將始終保持原值不變 l 一定要注意四種括號的用法：( )： 表示項的結合順序，如： (x+(yx+1/(2x)； ： 表示函數，如：Logx, Sinx； ： 表示一個“表”(即是一組數字、或任意表達式、或函數等的一個有序集合)，如：2x,Sin12 Pi，A，1, 1+A,y*x，1，2； ： 雙方括號表示“表”或“表達式”的下標，如：a2,3表示：； 3,5,72=5 l Mathematica的語句書寫十分方便，一個語句可以分為多行寫，同一行可以寫多個語句（但要以分號間隔）l 當語句以分號結束時，語句計算后不做輸出（輸出語句除外），否則將輸出計算的結果l Mathematica命令中的標點符號必須是英文的1.2 Mathematica的啟動、基本操作1.2.1 啟動“Mathematica”：在windows操作系統(tǒng)中安裝了Mathematica后，與其他的常用軟件一樣，可從“開始”“程序”“Mathematica5” Mathematica的主窗口并出現第一個notebook窗口（Untitled-1）:1.2.2 簡單使用：例1.1 計算 33 的值 在“ntitled”窗口中輸入： 329/412+33 按下“ShiftEnter”（或數字鍵盤上的Enter鍵）,就得到計算結果：其中“In1:=”是Mathematica自動加上的，表示第一個輸入；“Out1:=”表示第一個輸出一般地：Inn:= 表示第n個輸入Outn:=表示第n個輸出注意：“Inn:=” 自動加上的，不能人工輸入!1.2.3 保存結果：保存方法同一般的Windows軟件：“文件” “保存”“另存為”窗口 在“查找范圍”內找到目標文件夾 輸入文件名（比如輸入“1”）“ ”Mathematica 4或Mathematica 5的文件的后綴是“nb”，當輸入“1”時，即產生文件“1.nb”1.2.4 打開文件1.nb啟動Mathematica “文件”“打開” 打開”窗口： 在“查找范圍”內找到文件“1.nb” “ ”即可1.2.5 退出Mathematica：與一般應用軟件一樣，單擊右上方的“”按鈕（或用菜單：“文件”“退出”）1.3 操作小技巧1.3.1Ctrl+K的用途Integratef,x是求：Integratef,x,xmin,xmax是求：如果只知道命令的首寫字母， 可在輸入該首寫字母（要大寫），再按下“Ctrl+K”組合鍵， 則所有以該字母為首的命令都列出來，只要用鼠標雙擊命令名就輸入了該命令1.3.2使用前面已有的結果舉例如下：例1.2 做如下操作：輸入：Integratex2*(11-Sinx),x,-1,1按：“ShiftEnter”； 輸入：%，按：“ShiftEnter”； 輸入：%，按：“ShiftEnter”；輸入：%11，按：“ShiftEnter”； 輸入：%31，按：“ShiftEnter”，計算結果如下：可見，“”表示前一個計算結果；“n”表示第n個計算結果.只要選定且刪除此即可1.3.3 刪除行： 見下圖示1.4 數值計算系統(tǒng)默認的計算結果,是精確的N，取近似值函數，默認輸出6位有效數字N，取近似值函數，指定輸出3位有效數字N，取近似值函數，指定輸出18位有效數字計算的值，輸出18位有效數字Pi是系統(tǒng)中已定義的數學常數詳見教材P171說明請看下例：1.5 賦值與替換X=. 或Clearx 清除賦給x的值expr/.x-xval,y-yval 用xval、yval分別替換expr中的x、y清除變量的定義和值 例1.3 輸入：x=3；y=4；w=x+y 計算將(x+y)2賦給z 輸入：Clearx,y； 計算輸入：z=(x+y)2 計算變量替換：用5代替表達式z中的變量x輸入：z/.x-5 計算變量替換：分別用5、6代替表達式u中的變量x、y輸入：Clearx,y； 計算 輸入：u=x+y 計算 輸入：u/.x-5,y-6 計算計算結果如下：1.6 自定義函數用戶可以自行定義函數，一個函數一旦被定義好之后就可以象系的內部函數一樣使用 “:=”是定義符左邊f(xié)是函數名,方括號內x是自變量，其后的下劃線“_”不能少右邊是函數的表達式例1.4 如要定義函數f(x)=x23x-2只要鍵入：fx_:=x2+3x-2即可又如要定義分段函數 可鍵入：gx_:= Whichx=0,2Sinx或 gx_:=Ifx0,x2+1,2Sinx請見以下計算結果：Solve是解方程或方程組的函數其格式為：Solveeqns,vars 其中方程用exp=0的形式（其中exp為未知元的表達式，“= =”必須是2個等號）；1.7 方程與方程組解例1.5 解方程: 輸入：Solvex2-5x+6=0,x即可 解方程組未知數列表 方程列表 輸入： Solvex+y=1,3x2-y2=0,x,y即可（結果見下圖）加載解不等式的程序包，這是必須的，可謂是固定的格式， “ ”為鍵盤上的小于號, “”為數字鍵1的左側的Algebra 代數類 InequalitySolve 解不等式程序包1.8 解不等式與不等式組例1.6 解不等式組變量列表不等式列表 輸入: AlgebraInequalitySolve InequalitySolvex2-5x-60, x即可解不等式絕對值函數 輸入： 3, x即可（結果見下圖）注： Mathematica系統(tǒng)有內部函數.還有一些系統(tǒng)擴展的功能但不是作為內部函數的、以文件的形式存儲在磁盤上的文件，要使用它們，必須用一定的方式來調用這些文件，這些文件我們稱之為程序包. 調用方式之一如上所述：AlgebraInequalitySolve函數類中的這個函數類名，此處是函數類 或用： NeedsAlgebraInequalitySolve1.9 由遞推式求數列的通項公式例1.7 設 求數列的通項公式離散類中的這個函數離散類 只要輸入： 調用程序包 100即可（結果見下圖）第二章 運用Mathematica實現高等數學中的基本運算極限、導數和積分是高等數學中的主要概念和基本運算，如果你在科研中遇到較復雜的求極限、求導數或求積分問題，Mathematica可以幫你快速解決這些問題。 Mathematica 提供了方便的命令使這些運算能在計算機上實現，使一些難題迎刃而解。2.1 求極限運算極限的概念是整個高等數學的基礎，對表達式進行極限分析也是數學里很重要的計算分析。Mathematica提供了計算函數極限的命令的一般形式為：Limit函數, 極限過程具體命令形式為命令形式1:Limitf, x-x0功能:計算 , 其中f是x的函數。命令形式2:Limitf, x-x0, Direction-1功能:計算，即求左極限, 其中f是x的函數。命令形式3:Limitf, x-x0, Direction-1功能:計算，即求右極限，其中f是x的函數。注意:在左右極限不相等或左右極限有一個不存在時，Mathematica的默認狀態(tài)為求右極限。例題：例2.1 求極限解：Mathematica 命令為In1:=Limit1/(x Logx2)-1/(x-1)2, x-1Out1=此極限的計算較難，用Mathematica 很容易得結果。例2.2 求極限解：Mathematica 命令為In2:=Limit(1+1/n)n, n-InfinityOut2=E例2.3寫出求函數在x-0的三個極限命令解：Mathematica 命令為1.LimitExp1/x, x-0 2.LimitExp1/x, x-0, Direction-13.LimitExp1/x, x-0, Direction-1讀者可以比較其結果，觀察區(qū)別。例2.4 求解：Mathematica 命令為In3:=LimitIntegrateExpt2, t,0,x2/Integratet Expt22,t,0,x, x-0Out3=2 命令中的“Integrate”表示求定積分（見4.4節(jié)）例2.5求極限解:若輸入命令 In4:=Limit IntegrateArcTant2, t,0,x / Sqrt1+x2 , x-+Infinity 屏幕會出現如下的紅色英文提示信息: On:none: Message SeriesData:csa not found. ComplexInfinity + encountered.說明不能得出正確結果。此時可以借助人工處理，如用一次洛必達法則后再求極限:In5:=LimitArcTanx2/(x/Sqrt1+x2), x-InfinityOut5=2.2 求導數與微分2.2.1 求一元函數的導數與微分 導數是函數增量與自變量增量之比的極限，一元函數求導有顯函數求導、參數方程求導和隱函數求導，Mathematica 對應的命令有：l 顯函數求導命令形式1: Df, x 功能:求函數f對x的偏導數。命令形式2: Df, x, n 功能:求函數f對x的n階偏導數。例2.6 變上限函數求導解：Mathematica 命令為In6:=DIntegrateSqrt1-t2, t,0,x2, x Out6= In7:=Simplify% Out7= l 參數方程求導對參數方程所確定的函數y=f(x)，根據公式和命令形式1，可用三個Mathematica命令實現對參數方程的求導: r=Dx, t； s=Dy,t； Simplifys/r或用Mathematica自定義一個函數：pDx_, y_, t_:=Modules=Dy,t, r=Dx,t, Simplifys/r來實現。例2.7求參數方程的一階導數。解:Mathematica命令In8:=x=t*(1-Sint);y=t*Cost; s=Dy,t; r=Dx,t; Simplifys/r Cost - t SintOut8= - 1 - t Cost - Sint或In9:= pDx_,y_,t_:=Modules=Dy,t, r=Dx,t, Simplifys/rIn10:= pDt*(1-Sint ), t*Cost, t Cost - t SintOut10= - 1 - t Cost - Sintl 隱函數求導由方程f(x, y) = 0所確定的函數y=y(x)的導數可用一個自定義函數完成，這個函數為 impDeqn_,y_,x_:=Modules, r, t, s=Deqn, x, NonConstants-y; r=Solves, Dy, x, NonConstants-y; t=Dy,x, NonConstants-y/.r; Simplifyt 注：這里NonConstants-y指出y不是常數，eqn為f(x, y) = 0，但等號要雙寫。例2.8 求所確定的函數y=y(x)的導數。解:Mathematica命令In11:= impDeqn_, y_, x_:=Modules,r,t, s=Deqn,x,NonConstants-y; r=Solves,Dy,x, NonConstants-y; t=Dy,x, NonConstants-y/.r;Simplifyt In12:=impDExpy+x*y-E=0, y, x Out12= l 微分 微分是函數增量的線性主部，函數y=f(x)的微分與導數的關系為dy = df =f (x)dx，Mathematica命令為： 命令形式：Dtf 功能:對函數f(x)求微分df例2.9 求和y=sinv的微分.解:Mathematica命令In13:=DtSinx2 Out13=2 x Cosx2 DtxIn14:=DtSinv Out14=Cosv Dtv2.2.2 求多元函數偏導數與全微分l 偏導數對多元函數f(x1,x2,xn)的求導數的命令有如下幾個：命令形式1: Df, x 功能:求函數f對x的偏導數；命令形式2: Df, x1, x2, 功能:求函數f高階混合偏導數；命令形式3: Df, x, NonConstants-v1,v2,功能:求函數f對x的偏導數，其中v1,v2,是關于x的函數。例題例2.10 求z=asin(xy)對y和對z的偏導數.解:Mathematica命令In15:=Da*Sinx*y, yOut15=axCosx yIn16:=DExpx+y+z2, zOut16=例2.11 對函數,求解:Mathematica命令In17:=Dx3 *y2+Sinx*y, x, yOut17=例2.12 對函數, 求解:Mathematica命令 In18:=Dx3 *y2+Sinx y, x,3 Out18=例2.13 ，其中y，z是x的函數。解:Mathematica命令In19:=Dx2+y2+z2, x, NonConstants-y, zOut19=2 x + 2 y Dy, x, NonConstants - y, z + 2 z Dz, x, NonConstants - y, z其中:Dy, x, NonConstants - y, z和Dz, x, NonConstants - y, z分別表示y對x和的z對x的導數。l 全微分多元函數f(x,y,z,)的全微分命令同一元函數的微分，其命令為：命令形式: Dtf 功能:求函數f的全微分。例2.14 求的全微分dz。解:Mathematica命令In20:=Dtx2+y2Out20=2 x Dtx + 2 y Dty 如果多元函數的變量都是或部分是某一個變量的函數，則該函數關于此變量的導數稱為的全導數，Mathematica有如下兩個求全導數的命令： 命令形式1: Dtf, x 功能:求函數f的全導數。命令形式2:Dtf, x, Constants-c1,c2,功能:求函數f的全導數，其中f中的變元與x無關。注意:Df, x與Dtf, x的區(qū)別。例2.15 求的全導數，其中y是x的函數。解:Mathematica命令In21:=Dtx2+y2,xOut21=2 x + 2 y Dty, x例2.16 求，其中y是與x無關的獨立變量。解:Mathematica命令In22:=Dtx2+Sinx y+z2, x, Constants-yOut22=2 x + y Cosx y + 2 z Dtz, x, Constants - y2.3 求不定積分 高等數學中求不定積分是較費時間的事情，在Mathematica中，只要輸入一個命令就可以快速求出不定積分來。命令形式:Integratef, x功能:計算不定積分。例2.17計算解:Mathematica命令In23:=Integrate1/(Sinx2 Cosx2),xOut23=-(Cos2 x Cscx Secx)2.4 求定積分 定積分的計算是實際問題中經常遇到的問題，定積分計算同樣也是較費時間的事情，而且有時還會遇到因求不出原函數而積不出結果的情況，這些在Mathematica中，也只要輸入一個命令就可以快速求出定積分值來。命令形式1: Integratefx,x,xmin,xmax功能:計算定積分，xmin，xmax分別表示積分變量的下限和上限。命令形式2: NIntegratefx,x,xmin,xmax功能:計算定積分的數值積分，xmin，xmax必須是數字，不能是字母。命令形式3:Integ