由傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型(1).doc

由傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型方法多!SISO線性定常系統(tǒng)高階微分方程化為狀態(tài)空間表達(dá)式SISO 假設(shè) 外部描述實(shí)現(xiàn)問題：有了內(nèi)部結(jié)構(gòu)模擬系統(tǒng) 內(nèi)部描述SISO 實(shí)現(xiàn)問題解決有多種方法，方法不同時(shí)結(jié)果不同。一、 直接分解法因?yàn)閷?duì)上式取拉氏反變換，則按下列規(guī)律選擇狀態(tài)變量，即設(shè)，于是有寫成矩陣形式式中，為階單位矩陣，把這種標(biāo)準(zhǔn)型中的A系數(shù)陣稱之為友陣。只要系統(tǒng)狀態(tài)方程的系數(shù)陣A和輸入陣b具有上式的形式，c陣的形式可以任意，則稱之為能控標(biāo)準(zhǔn)型。則輸出方程寫成矩陣形式分析陣的構(gòu)成與傳遞函數(shù)系數(shù)的關(guān)系。在需要對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換時(shí)，不必進(jìn)行計(jì)算就可以方便地寫出狀態(tài)空間模型的A、b、c矩陣的所有元素。例：已知SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，試求系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間模型。解：直接得到系統(tǒng)進(jìn)行能控標(biāo)準(zhǔn)型的轉(zhuǎn)換，即 若選擇狀態(tài)變量滿足下列條件（如何考慮？）考慮式設(shè)系統(tǒng)的輸出，依次對(duì)第一式求導(dǎo)，并帶入第二式；對(duì)第二式求導(dǎo)，并帶入第三式；依次類推，便得到寫成矩陣形式式中，為階單位矩陣。只要系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的A陣和c陣具有上式的形式，b陣的形式可以任意，則稱之為能觀標(biāo)準(zhǔn)型從形式上看，能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)陣A是互為轉(zhuǎn)置，能控標(biāo)準(zhǔn)型輸入陣b和能觀標(biāo)準(zhǔn)型輸出陣c互為轉(zhuǎn)置，這種互為轉(zhuǎn)置的關(guān)系被稱為對(duì)偶關(guān)系。將在第六章進(jìn)一步討論。通過以上對(duì)傳遞函數(shù)陣的能控標(biāo)準(zhǔn)型或能觀標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)換的討論，對(duì)單輸入系統(tǒng)而言，應(yīng)注意如下問題：（1）傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化成能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間表達(dá)式，狀態(tài)方程的結(jié)構(gòu)只由傳遞函數(shù)陣的極點(diǎn)（特征）多項(xiàng)式確定，而與其零點(diǎn)多項(xiàng)式無關(guān)，零點(diǎn)多項(xiàng)式只影響輸出方程的結(jié)構(gòu)。（2）從能觀標(biāo)準(zhǔn)型的轉(zhuǎn)換可以看出，系數(shù)陣A的元素僅決定于傳遞函數(shù)極點(diǎn)多項(xiàng)式系數(shù)，而其零點(diǎn)多項(xiàng)式則確定輸入陣B的元素。（3）只有當(dāng)傳遞函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)多項(xiàng)式同階時(shí)，即，狀態(tài)空間表達(dá)式的輸出方程中才出現(xiàn)項(xiàng)，否則為零陣。例：求前例的能觀標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間模型解：直接得到能觀標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間模型，即二、 串聯(lián)分解法若SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)極點(diǎn)互異，系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子分母寫成因式相乘形式例：圖示！三、 并聯(lián)分解法（對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型/約旦標(biāo)準(zhǔn)型特征值標(biāo)準(zhǔn)型）（一）若SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)極點(diǎn)互異，則可求得對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型的模型。當(dāng)系統(tǒng)的極點(diǎn)互異時(shí)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子分母寫成因式相乘形式寫成部分分式其中，為待定系數(shù)，其值為選擇狀態(tài)變量為（畫圖示意狀態(tài)變量的取法） 即 對(duì)上式拉氏反變換，得即 寫成矩陣形式 式中，系數(shù)矩陣A為對(duì)角陣。對(duì)角線上的元素是傳遞函數(shù)G（s）的極點(diǎn)，即系統(tǒng)的特征值。b陣是元素全為1的n1矩陣。求對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型模型的輸出方程中c的結(jié)構(gòu)對(duì)上式拉氏反變換，得如果系統(tǒng)的狀態(tài)方程的A陣是對(duì)角陣，表示系統(tǒng)的各個(gè)變量之間是解耦的。多變量的系統(tǒng)解耦是復(fù)雜系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)精確控制的關(guān)鍵問題，關(guān)于如何實(shí)現(xiàn)解耦控制將在第五章討論。系統(tǒng)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。例： 設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求系統(tǒng)對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型的轉(zhuǎn)換解：將用部分分式展開從而可得的極點(diǎn)為互異的，求待定系數(shù)得對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型的轉(zhuǎn)換為 （二）對(duì)SISO系統(tǒng)式，當(dāng)其有重特征值時(shí)，可以得到約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間模型。此時(shí)模型的系數(shù)矩陣A中與重特征值對(duì)應(yīng)的那些子塊都是與這些特征值相對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊，即設(shè)系統(tǒng)具有一個(gè)重特征值，其重?cái)?shù)為j，而其余為互異的特征值，記為，則傳遞函數(shù)可以用部分分式展開成式中，待定系數(shù)對(duì)應(yīng)的是重極點(diǎn)的待定系數(shù)，其值為其余互異根的待定系數(shù)求法同前。畫圖示意狀態(tài)變量的取法：例： 設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求系統(tǒng)對(duì)約當(dāng)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間模型解：從已知系統(tǒng)地傳