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2013年福建省高考數(shù)學(xué)試卷及解析(理工農(nóng)醫(yī)類)一選擇題1已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( )A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】的共軛復(fù)數(shù),則,對應(yīng)點的坐標(biāo)為,故答案為D2已知集合,則“”是“”的( )A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】,或3因此是充分不必要條件3雙曲線的頂點到其漸近線的距離等于( )A B C D【答案】C【解析】 的頂點坐標(biāo)為,漸近線為,即帶入點到直線距離公式=4某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生,將他們的模塊測試成績分為6組:40,50), 50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100)加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知高一年級共有學(xué)生600名,據(jù)此估計,該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為( )A588 B480 C450 D120【答案】B【解析】由圖知道60分以上人員的頻率為后4項頻率的和,由圖知道故分?jǐn)?shù)在60以上的人數(shù)為600*08=480人5滿足,且關(guān)于x的方程有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為( )A14 B13 C12 D10【答案】B【解析】方程有實數(shù)解,分析討論當(dāng)時,很顯然為垂直于x軸的直線方程,有解此時可以取4個值故有4種有序數(shù)對當(dāng)時,需要,即顯然有3個實數(shù)對不滿足題意,分別為(1,2),(2,1),(2,2)共有4*4=16中實數(shù)對,故答案應(yīng)為16-3=136閱讀如圖所示的程序框圖,若輸入的,則該算法的功能是( )A計算數(shù)列的前10項和 B計算數(shù)列的前9項和C計算數(shù)列的前10項和 D計算數(shù)列的前9項和【答案】C【解析】第一循環(huán):,第二條:第三條:第九循環(huán):第十循環(huán):,輸出S根據(jù)選項,故為數(shù)列的前10項和故答案A7在四邊形ABCD中,則四邊形的面積為( )A B C5 D10【答案】C【解析】由題意,容易得到設(shè)對角線交于O點,則四邊形面積等于四個三角形面積之和即S= 容易算出,則算出S=5故答案C8設(shè)函數(shù)的定義域為R,是的極大值點,以下結(jié)論一定正確的是( )A B是的極小值點C是的極小值點 D是的極小值點 【答案】D【解析】A,錯誤是的極大值點,并不是最大值點B是的極小值點錯誤相當(dāng)于關(guān)于y軸的對稱圖像,故應(yīng)是的極大值點C是的極小值點錯誤相當(dāng)于關(guān)于x軸的對稱圖像,故應(yīng)是的極小值點跟沒有關(guān)系D是的極小值點正確相當(dāng)于先關(guān)于y軸的對象,再關(guān)于x軸的對稱圖像故D正確9已知等比數(shù)列的公比為q,記則以下結(jié)論一定正確的是( )A數(shù)列為等差數(shù)列,公差為 B數(shù)列為等比數(shù)列,公比為C數(shù)列為等比數(shù)列,公比為 D數(shù)列為等比數(shù)列,公比為【答案】C 【解析】等比數(shù)列的公比為q, 同理可得,數(shù)列為等比數(shù)列,故選C10設(shè)S,T,是R的兩個非空子集,如果存在一個從S到T的函數(shù)滿足:對任意當(dāng)時,恒有,那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是( )A BC D【答案】D 【解析】根據(jù)題意可知,令,則A選項正確;令,則B選項正確;令,則C選項正確;故答案為D二填空題11利用計算機產(chǎn)生01之間的均勻隨機數(shù)a,則時間“”發(fā)生的概率為_【答案】 【解析】產(chǎn)生01之間的均勻隨機數(shù)12已知某一多面體內(nèi)接于一個簡單組合體,如果該組合體的正視圖測試圖俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長為2的正方形,則該球的表面積是_【答案】 【解析】由圖可知,圖形為一個球中間是內(nèi)接一個棱長為2的正方體,13如圖中,已知點D在BC邊上,ADAC,則的長為_ 【答案】 【解析】根據(jù)余弦定理可得14橢圓的左右焦點分別為,焦距為2c,若直線與橢圓的一個交點M滿足,則該橢圓的離心率等于_【答案】 【解析】由直線方程直線與x軸的夾角,且過點即由橢圓的第一定義可得15當(dāng)時,有如下表達式:兩邊同時積分得:從而得到如下等式: 請根據(jù)以下材料所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法,計算:【答案】 【解析】由兩邊同時積分得:從而得到如下等式:三解答題16(本小題滿分13分)某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設(shè)置了甲乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為,中將可以獲得2分;方案乙的中獎率為,中將可以得3分;未中獎則不得分每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中將與否互不影響,晚會結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎品(1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為,求的概率;(2)若小明小紅兩人都選擇方案甲或方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計的得分的數(shù)學(xué)期望較大? 本小題主要考查古典概型離散型隨機變量的分布列數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力運算求解能 力應(yīng)用意識,考查必然和或然思想,滿分13分解:()由已知得:小明中獎的概率為,小紅中獎的概率為,兩人中獎與否互不影響,記“這2人的累計得分”的事件為A,則A事件的對立事件為“”, ,這兩人的累計得分的概率為()設(shè)小明小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數(shù)為,都選擇方案乙抽獎中獎的次數(shù)為,則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為,選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為由已知:,他們都在選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學(xué)期望最大17(本小題滿分13分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(2)求函數(shù)的極值本小題主要考查函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不等式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想分類與整合思想,數(shù)形結(jié)合思想化歸與轉(zhuǎn)化思想滿分13分解:函數(shù)的定義域為,()當(dāng)時,在點處的切線方程為,即()由可知:當(dāng)時,函數(shù)為上的增函數(shù),函數(shù)無極值;當(dāng)時,由,解得;時,時,在處取得極小值,且極小值為,無極大值綜上:當(dāng)時,函數(shù)無極值當(dāng)時,函數(shù)在處取得極小值,無極大值18(本小題滿分13分)如圖,在正方形中,為坐標(biāo)原點,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為分別將線段和十等分,分點分別記為和,連結(jié),過做軸的垂線與交于點(1)求證:點都在同一條拋物線上,并求該拋物線的方程;(2)過點做直線與拋物線交于不同的兩點,若與的面積比為,求直線的方程本小題主要考查拋物線的性質(zhì)直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力推理論證能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)與方程思想滿分13分解:()依題意,過且與x軸垂直的直線方程為,直線的方程為設(shè)坐標(biāo)為,由得:,即,都在同一條拋物線上,且拋物線方程為()依題意:直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為由得此時,直線與拋物線恒有兩個不同的交點設(shè):,則又,分別帶入,解得直線的方程為,即或19(本小題滿分13分)如圖,在四棱柱中,側(cè)棱,(1)求證:(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求的值;(3)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼接成一個新的棱柱,規(guī)定:若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案問:共有幾種不同的方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為,寫出的表達式(直接寫出答案,不必要說明理由)本小題主要考查直線與直線直線與平面的位置關(guān)系柱體的概念及表面積等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力推理論證能力運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想分類與整合思想化歸與轉(zhuǎn)化思想,滿分13分解:()取中點,連接, 四邊形為平行四邊形且在中,,即,又,所以平面,平面,又,平面()以為原點,的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,所以,設(shè)平面的法向量,則由得取,得設(shè)與平面所成角為,則,解得故所求的值為1()共有種不同的方案20(本小題滿分14分)已知函數(shù)的周期為,圖像的一個對稱中心為,將函數(shù)圖像上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),在將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像(1)求函數(shù)與的解析式;(2)是否存在,使得按照某種順序成等差數(shù)列?若存在,請確定的個數(shù); 若不存在,說明理由(3)求實數(shù)與正整數(shù),使得在內(nèi)恰有2013個零點本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系三角恒等變換三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的零點不等式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力抽象概括能力,考查函數(shù)與方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,分類與整合思想化歸與轉(zhuǎn)化思想,滿分14分解:()由函數(shù)的周期為,得又曲線的一個對稱中心為,故,得,所以將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)后可得的圖象,再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)()當(dāng)時,所以問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解設(shè),則因為,所以,在內(nèi)單調(diào)遞增又,且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,故可知函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點,即存在唯一的滿足題意()依題意,令當(dāng),即時,從而不是方程的解,所以方程等價于關(guān)于的方程,現(xiàn)研究時方程解的情況令,則問題轉(zhuǎn)化為研究直線與曲線在的交點情況,令,得或當(dāng)變化時,和變化情況如下表當(dāng)且趨近于時,趨向于當(dāng)且趨近于時,趨向于當(dāng)且趨近于時,趨向于當(dāng)且趨近于時,趨向于故當(dāng)時,直線與曲線在內(nèi)有無交點,在內(nèi)有個交點;當(dāng)時,直線與曲線在內(nèi)有個交點,在內(nèi)無交點;當(dāng)時,直線與曲線在內(nèi)有個交點,在內(nèi)有個交點由函數(shù)的周期性,可知當(dāng)時,直線與曲線在內(nèi)總有偶數(shù)個交點,從而不存在正整數(shù),使得直線與曲線在內(nèi)恰有個交點;當(dāng)時,直線與曲線在內(nèi)有個交點,由周期性,所以綜上,當(dāng),時,函數(shù)在內(nèi)恰有個零點21(本題滿分14分)(1)(本小題滿分7分)矩陣與變換已知直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€(1)求實數(shù)的值;(2)若點在直線上,且,求點的坐標(biāo)本小題主要考查矩陣矩陣與變換等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力考查化歸與轉(zhuǎn)化思想滿分7分解:解:()設(shè)直線上任意一點在矩陣對應(yīng)的變換作用下的像是由,得又點在上,所以,即依題意,解得()由,得解得又點在直線上,所以故點的坐標(biāo)為(2)(本小題滿分7分)坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系已知點的極坐標(biāo)為,直線的極坐標(biāo)方程為,且點在直線上(1)求的值及直線的直角坐標(biāo)方程;(2)圓c的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),試判斷直線與圓的位置關(guān)系本小題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化
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