數學北師大版九年級上冊解一元二次方程.docx

4用因式分解法求解一元二次方程會用因式分解法解一元二次方程.能根據一元二次方程的特征,選擇適當的求解方法,體會解決問題的靈活性和多樣性.體會用因式分解實現“降次”、“化歸”的思想方法.【重點】用因式分解法解一元二次方程.【難點】將方程右邊化為零后,對左邊進行正確的因式分解.【教師準備】多媒體課件.【學生準備】復習因式分解的方法.導入一:1.用配方法解一元二次方程的關鍵是什么?(將方程轉化為(xm)2n(n0)的形式)2.用公式法解一元二次方程應先做什么?(將方程化為一般形式)3.選擇合適的方法解下列方程.(1)x2-6x7;(2)3x28x-30.設計意圖以問題串的形式引導學生思考,回憶兩種解一元二次方程的方法,有利于學生銜接前后知識,形成清晰的知識脈絡,為學生后面的學習做好鋪墊.導入二:在上課之前,要求大家復習因式分解的方法,下面我們看一個小問題:一個數的平方與這個數的3倍有可能相等嗎?如果相等,這個數是幾?你是怎樣求出來的?小穎、小明、小亮都設這個數為x,根據題意,可得方程x23x,但是他們的解法卻各不相同.小穎:由方程,得x2-3x0,因此x392,所以x10,x23,所以這個數是0或3.小明:方程x23x的兩邊同時約去x,得x3.所以這個數是3.小亮:由方程x23x,得x2-3x0,即x(x-3)0,于是x0或x-30,因此x10,x23,所以這個數是0或3.他們做得對嗎?為什么?你是怎么做的?設計意圖這個問題比較簡單,學生未必選用配方法或公式法求解,部分學生可能會選用小明和小亮的方法.“你是怎樣求出來的?”意在引導學生思考其他求解方法,學生的解法可能是多種多樣的.一、概念引入思路一過渡語同學們,老師被一道題難住了,想請同學們幫助一下.【課件】一個數的平方與這個數的3倍有可能相等嗎?如果能,這個數是幾?你是怎樣求出來的?學生獨自完成,教師巡視指導,選擇不同答案準備展示.【生1】設這個數為x,根據題意,可列方程x23x,x2-3x0,a1,b-3,c0,b2-4ac9,x10,x23,這個數是0或3.【生2】設這個數為x,根據題意,可列方程x23x,x2-3x0,x2-3x322322,即x-32294,x-3232或x-32-32,x13,x20,這個數是0或3.【生3】設這個數為x,根據題意,可列方程x23x,x2-3x0,即x(x-3)0,x0或x-30,x10,x23,這個數是0或3.【生4】設這個數為x,根據題意,可列方程x23x,兩邊同時約去x,得x3,這個數是3.【師】同學們在下面用了多種方法解決此問題,觀察以上四個同學的做法,是否存在問題?你認為哪種方法更合適?為什么?【生5】我認為第四位同學的做法不正確,因為要方程兩邊同時約去x,必須確保x不等于0,但題目中沒有說明.【生6】補充一點,剛才講x需確保不等于0,而此題恰好x0,所以不能約去,否則會丟根.【師】這兩位同學的回答條理清楚并且敘述嚴密,相信下面同學的回答會一個比一個棒!(及時評價鼓勵,激發(fā)學生的學習熱情)現在請第三位同學為大家說說他的想法.【生3】由x(x-3)0,得x10或x23,因為我想300,0(-3)0,000,反過來,如果ab0,那么a0或b0,所以a與b至少有一個等于0.【師】好,這時我們可這樣表示:如果ab0,那么a0或b0,這就是說,當一個一元二次方程降為兩個一元一次方程時,這兩個一元一次方程中用的是“或”,而不用“且”,所以由x(x-3)0得到x0或x-30時,中間應寫上“或”字.我們再來看第三位同學解方程x23x的方法,他是把方程的一邊變?yōu)?,而另一邊分解成兩個因式的乘積,然后利用若ab0,則a0或b0,把一元二次方程變成一元一次方程,從而求出方程的解.我們把這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法.當一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就采用因式分解法來解一元二次方程.設計意圖通過獨立思考,使學生根據方程的具體特征,靈活選取適當的解法.在操作活動過程中,培養(yǎng)學生積極的情感態(tài)度,提高學生自主學習和思考的能力,讓學生盡可能自己探索新知,教師要關注每一位學生的發(fā)展,同時進一步點明因式分解的理論依據及實質,總結本節(jié)課的重點.思路二過渡語(針對導入二)同學們,下面我們來總結一下他們三個同學的做法.小明的做法是不正確的,方程兩邊同時除以x,這樣解使方程少了一個解,原因在于兩邊同時除以的因式x可能為0,而方程兩邊不可以同時除以0.點評:如果ab0,那么a0或b0.(注意:這里用的是“或”而不是“且”,要和學生解釋清楚原因)總結:當一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用小亮的方法求解,這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法.我們再來看下面哪些方程用因式分解法求解比較簡便?(1)x2-2x-30;(2)(2x-1)2-10;(3)(x-1)2-180;(4)3(x-5)22(5-x).分析:第(1)(4)小題用因式分解法求解比較簡便.結論:如果一個一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積,那么這樣的一元二次方程就可以用因式分解法求解.設計意圖本環(huán)節(jié)通過教師引導來組織同學探究因式分解法解一元二次方程的一般步驟和思路.二、例題講解過渡語同學們,下面我們通過例題來熟悉用因式分解法解一元二次方程.(教材例題)解下列方程.(1)5x24x;(2)x(x-2)x-2.解析第(1)小題先化為一般形式,再提取公因式分解因式求解.第(2)小題先移項,然后把x-2看成一個整體,提取公因式求解.解:(1)原方程可變形為5x2-4x0,即x(5x-4)0,x0或5x-40,x10,x245.(2)原方程可變形為x(x-2)-(x-2)0,即(x-2)(x-1)0,x-20或x-10,x12,x21.解下列方程.(1)x2-40;(2)(x1)2-250.解析第(1)小題方程的右邊是0,左邊x2-4可分解因式,即x2-4(x-2)(x2),這樣,方程x2-40就可以用分解因式法來解.第(2)小題方程的右邊是0,左邊是(x1)2-25,可以把x1看做一個整體,這樣左邊就是一個平方差,利用平方差公式即可分解因式,從而求出方程的解.解:(1)原方程可化為(x2)(x-2)0,x20或x-20,x1-2,x22.(2)原方程可化為(x1)5(x1)-50,(x1)50或(x1)-50,x1-6,x24.知識拓展一元二次方程四種基本解法的比較如下表所示:方法適合方程類型注意事項直接開平方法(xa)2bb0時有解,b0時無解.配方法x2pxq0二次項系數若不為1,必須先把系數化為1,再進行配方.公式法ax2bxc0(a0)b2-4ac0時,方程有解;b2-4ac0,x-810425-822610,x1-4265,x2-4-265.根據學生有可能出現的問題設計了相關的代表性的習題,讓學生總結出用因式分解法解一元二次方程的解題思路.通過見到什么題,就考慮用哪種方法,提高了解題速度,優(yōu)化了解題方法,增強了學生的解題感覺.這節(jié)課的內容教材上給的特別簡單,如果不做補充,學生的思維得不到訓練,知識得不到拓展,能力得不到提高,所以要精