公務員數學運算綜合習題.docx

【題305】 一位婦女提一籃雞蛋，三個三個數余兩個，五個五個數余四個，七個七個數余六個這籃子里至少有多少個雞蛋？【思路或解法】 如果加上一個雞蛋，題目就變成了求能被3、5和7同時整除的數了，能被3、5和7同時整除的數就是3、5和7的公倍數因為3、5和7的公倍數有105、210、，而題中所問的是“至少”有多少個，所以應取最小公倍數105，但雞蛋數被3、5、7除都差一個才為整數商，故而雞蛋數應為105-1=104（個）?！绢}306】 152833、93588、127715、223021這四個積中，哪個積與其它積不相等？【思路或解法】 根據積不相等，這個積的各個因數所含有的質因數也就不相同的原理，先分解各個積的質因數：152833=3222571193588=32235711127715=32225711223021=32225711再比較這些積所分解成的質因數及其個數，我們不難發(fā)現：93588的質因數比其它的多一個2，故而，93588的積與其它積不相等?！绢}307】 把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干組，要求每一組中任意兩個數的最大公約數是1，那么，至少要分成_組?！舅悸坊蚪夥ā?根據題目要求，有相同質因數的數不能分在一組，我們先把其中的一些數分解質因數：26213，91=713，1431113因為這三個數有公共的質因數13，不能放在同一組里，所以，所分組數不會少于3組本題的答案有多種，下面列舉其中的一種分組方案，即：一組：26、33、35二組：34、85、91三組：63、143因此，至少要分成三組。【題308】 將下列八個數平分成兩組，使這兩組數的積相等，可以怎樣分？說明理由。14、33、35、30、75、39、143、169?！舅悸坊蚪夥ā?首先把這些數分解質因數。14=27 35=5733=311 39=313143=1113 169=131375=355 30=235再根據質因數的情況，把含有相同質因數的數歸為一組其中質因數3、5、13各有四個，質因數2、7、11各有二個，因其中二個5及二個13在同一個數中，故分攤時應先考慮，于是可得如下兩個小組，每小組中兩個數的積分別相等：然后把兩個小組中左右的數按上下或對角線分別結合，就得如下兩種分組結果：第一種：一組是：75、14、69、 33，另一組是：35、30、143、39；第二種：一組是：75、14、143、39，另一組是：35、30、169、33?！绢}309】 有一個整數，除300、262、205，得到相同的余數問這個整數是幾？【思路或解法】 根據題意列表如下：這樣可知（300-262=38）=（a-b），又（262-205=57）=（b-c），也就是說38與57都能被這個整數整除因此符合條件的整數是38與57的最大公約數19?！绢}310】 71427和19的積被7整除，余數是幾？【思路或解法】 71427被7除余6，19被7除余5，56=30，30被7除余2，因此，本題的答案：余數是2?！绢}311】 修改31743的某一個數字，可以得到823的倍數問修改后的這個數是幾？【思路或解法】 82341=33743，比較33743與31743，可見，只要把31743中的“1”改為“3”，便可得到823的倍數?！绢}312】 有人說：“任何七個連續(xù)整數中一定有質數”請你舉一個例子，說明這句話是錯誤的?！舅悸坊蚪夥ā?90、91、92、93、94、95、96是7個連續(xù)的整數，但每一個數除了1和它本身以外還有其他約數，所以，“任何七個連續(xù)整數中一定有質數”的說法是錯誤的?！绢}313】 “華羅庚金杯”少年數學邀請賽，每隔一年舉行一次1988年是第二屆，問2000年是第幾屆？【思路或解法】 根據：“1988年是第二屆，每隔一年舉行一次”可知，“華羅庚金杯”少年數學邀請賽每逢偶數年舉行一次”1988年到2000年有7個偶數年，除去1988年，還有6個偶數年，可舉行6屆，加上原有的2屆，故而2000年將舉行第八屆“華羅庚金杯”少年數學邀請賽。【題314】 一個救生圈（如圖）虛線表示大圓半徑是33厘米，它的橫截面上的小圓半徑是9厘米兩只螞蟻同時從兩個圓交點A出發(fā)，以同樣的速度分別沿大圓和小圓爬行問小圓上的螞蟻爬幾圈以后再次碰上大圓上的螞蟻？【思路或解法】 兩只螞蟻同時從兩個圓的交點A處出發(fā)，以同樣的速度分別沿大圓和小圓爬行，兩次相遇A處，它們爬行的距離是相等的，我們知道：2R圈數= 距離當距離一定時，圓的半徑和螞蟻爬的圈數成反比例因為大圓半徑與小圓半徑的比是339，化簡后便是：113所以分別沿大小圓爬行的兩只螞蟻爬行圈數的比是311也就是說，在小圓上爬的螞蟻，要爬行11圈以后，才能再次碰上在大圓爬行3圈的螞蟻?！绢}315】 全班同學去劃船如果減少一條船，每條船正好坐9個同學，如果增加一條船，每條船上正好坐6個同學問這個班有多少同學？【思路或解法】 先把已知條件列出來：每船坐9人，則減少一只船，每船坐6人，則增加一只船。通過比較可知：這兩種情況所需要的船相差2只當每只船坐6人時比每只船坐9人時多要2只船，這兩只船上坐6212（人），把這12人分配到其余的船上去，則每船要增加9-6=3（人），所以每船坐9人時，要123=4（條船），那么這個班有學生94=36（人），據此，列綜合算式是：9（62）（9-6）= 36（人）?！绢}316】 甲、乙二人對一根3米長的木棍涂色首先，甲從木棍一端點開始涂黑5厘米，間隔5厘米不涂色，接著再涂黑5厘米，這樣交替做到底然后，乙從木棍同一端點開始留出6厘米不涂色，交替做到底最后，木棍上沒有被涂黑部分的長度總和為_厘米?！舅悸坊蚪夥ā?根據題意，甲、乙兩人從同一端點開始涂色，甲是黑、白、黑、白、黑、交替進行到底的乙是白、黑、白、黑、白、交替進行到底的根據他們每段的長度，甲黑乙白從同一端點起到再同一次甲黑乙白同時出現應是5與6的最小公倍數的2倍，也就是每周期長度為562=60（厘米）這樣可知，每一周期中沒有被涂黑部分的長度是13542=15（厘米），則這根木棍上沒有被涂黑部分的總長度是75厘米?！绢}317】 甲數是36，甲、乙兩數的最小公倍數是288，最大公約數是4，乙數應該是_?！舅悸坊蚪夥ā?根據“甲數乙數=甲乙兩數的最大公約數甲乙兩數的最小公倍數”的性質，設乙數為x：列方程：36x=4288 =32。答：乙數應是32。【題318】 有甲、乙、丙三只船，甲船每小時航行6千米，乙船每小時航行5千米，丙船每小時航行3千米三船同時同地同方向出發(fā)，環(huán)繞周圍是15千米的海島航行（ ）小時后三船再次相會在一起?！舅悸坊蚪夥ā?甲船繞海島一周要156=2.5（小時）=150（分），乙船繞海島一周155=3（小時）=180（分），丙船繞海島一周要153= 5（小時）= 300（分）150、180、300三個數的最小公倍數是900，即15小時所以，航行15小時后三船再次相會。【題319】 大雪后的一天，小明和爸爸共同步測一個圓形花圃的周長，他倆的起點和走的方向完全相同，小明的平均步長54厘米，爸爸的平均步長為72厘米，由于兩人的腳印重合，并且他們走了一圈后都回到起點，這時雪地上只留下60個腳印這個花圃的周長是（ ）米【思路或解法】 要想求出花圃的周長，只要求出小明或爸爸走一圈留下了多少個腳印就行了我們知道小明和爸爸步測時的起點和走的方向完全相同，且兩人的腳印有重合的，這說明他倆從起點出發(fā)起到第一次腳印重合止所走的路程是相同的這個路程是小明和爸爸步長的倍數，又是第一次重合，所以這個路程是他們步長的最小公倍數54和72的最小公倍數是216，從起點到第一次腳印重合時止：小明的腳印數為21654=4（個），爸爸的腳印數為21672=3（個） 因為他們倆有一個腳印是重合的，所以在216厘米長的這段路程內共有腳?。?+3-1）=6（個）。又因為606=10，21610=2160（厘米）所以這個花圃的周長為21.6米?！绢}320】 4只同樣的瓶子內分別裝有一定數量的油每瓶和其它瓶分別合稱一次，記錄千克數如下：8、9、10、11、12、13已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質數，求最重的兩瓶內有多少油？【思路或解法】 由于每只瓶都稱了三次，因此，記錄數據之和是4瓶油（連瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（連瓶）共重：（8910111213）321（千克）又因為油重之和及瓶重之和均為質數，所以它們必為一奇一偶，而2是唯一的偶質數，故有： 矛盾，故刪去。 _?！舅悸坊蚪夥ā?設這三個質數分別是a、b、c，則 解質因數原理解答：1986=23331，且33312331+23=1661，所以這三個質數的和為：23331=336?！绢}322】 找出四個互不相同的自然數，使得對于任何兩個數，它們的總和總可以被它們的差整除如果要求這四個數中最大的數與最小的數的和盡可能的小，那么這四個數里中間兩個數的和是_。【思路或解法】 如果最小數是1，只有2、3兩數與1符合要求，因此，最小數必須大于或等于1如果我們假設最小數是2，則符合條件的四個數是：2、3、4、6，那么這四個數里中間兩個數的和是：34=7。【題323】 如果自然數有4個不同的質因數，那么這樣的自然數中最小的是_?！舅悸坊蚪夥ā?為了滿足自然數是“最小的”要求，四個不同的質因數應是4個最小的質因數除1以外，最小的質因數分別是2，3，5，7這個質因數的連乘積：2357=210所以，210就是有四個不同質因數的最小的自然數【題324】 一個小于200的自然數，它的每位數字都是奇數，并且它是兩個兩位數的乘積那么，這個自然數是_ 【思路或解法】 依題目條件，這個自然數寫成兩位數的乘積時，兩位數中不能出現11除開11，小于200的自然數能寫成兩個兩位數乘積形式的有：1010=100，1012=120，1019=190；1213=156，1214=168，1215=180，1216=192；1314=182，1315=195。在列舉的這些數中，只有195的每位數字都是奇數，又能寫成兩個兩位數的乘積形式，所以這個數是195。【題325】 有8個不同約數的自然數中，最小的一個是_。【思路或解法】 約數個數為8，而8=24=222=81，當8=24=（11）（31）時，說明所求的自然數分解質因數后，只有兩個不同的質因數，其個數分別為1和3如果兩個質因數中有一個為2，其個數為1，當另一個質因數為3，其個數為3，這個自然數為233=54，如果兩個質因數中有一個為3，其個數為1，當另一個質因數為2，其個數為3，這個自然數為：323=24。按此思路，多次試驗，分析比較，可知最小的數是24?！绢}326】 有0、1、4、7、9五個數字，從中選出四個數組成個四位數（例如：1409），把其中能被3整除的這樣的四位數，從小到大排列起來，第五個數的末尾數字是_ 【思路或解法】 根據能被3整除的數的特征，從0、1、4、7、9中可選取0、1、4、7和1、4、7、9這兩組四個數字組拼四位數，它們從小到大的順序排列是：1047、1074、1407、1470、1479、1497、1704、1740、1749、1794、1947、1974、可知第五個數（1479）的末尾數字是9?！绢}327】 有一本故事書，每2頁文字之間有3頁插圖，也就是3頁插圖前后各有一頁文字（1）假如這本書有96頁，而第一頁是插圖，這本書共有插圖多少頁？（2）假如這本書有99頁，而第一頁是插圖，這本書共有插圖多少頁？說明理由?！舅悸坊蚪夥ā?書是按文字，插圖、插圖、插圖，文字，插圖、插圖、插圖，排列的，實際上是一張文字，三張插圖交替排列。（1）因為96剛好是4的倍數，所以這本書共有插圖：396（13）=72（頁）。（2）99不是4的倍數，但我們已知96頁中有72頁是插圖，其余3頁只可能有以下幾種情況：圖、圖、文；圖、文、圖；圖、圖、圖即余下的3頁書中，可能有2頁插圖，也可能有3頁插圖因此，這本書可能共有74頁插圖，也可能共有75頁插圖?！绢}328】 寫出小于20的三個自然數，使它們的最大公約數是1，但兩兩均不互質，是否只有一組解？【思路或解法】 根據“它們的最大公約數是1，但兩兩均不互質”的條件可知：這三個自然數是合數而且是互質數，但只能是兩個偶數和一個奇數在小于20的自然數中，把所有合數分解質因數，因為最小的三個質數之積為235=30，所以這三個數中的每個數在分解質因數時，至多只有兩個不同的質因數這樣，三個數分別應是：23=6，35=15，25=10可見6、10、15是符合題意的一組解。因為允許有相同的質因數，所以還有：22312，2510，35=15。233=18，25=10，35=15可見這兩組數12，10，15；18，10，15也是符合題意的兩組解。【題329】 給出一個數n，n的約數的個數用一個記號A（n）表示，n的約數的和用一個記號B（n）表示例如，n=8時，因為8的約數有1、2、4、8四個，所以A（8）=4，B（8）=15。（1）求A（42），B（42）；（2）使A（n）=8的最小自然數n是什么？【思路或解法】 （1）根據分解質因數，可求出A（42）和B（42）的值：42=237，即42的約數有1、2、3、6、7、14、21、42，這樣A（42）=8，B（42）=96。（2）根據上題A（n）=8，n為42是否是最小自然數呢？經驗證：30=235，A（3042）8；24=2223，A（24）=8，所以，A（n）=8的最小自然數n是24?！绢}330】 三個不同的最小真分數的分子都是質數，分母都是小于20的合數，要使這三個分數的和盡可能大，這三個分數分別是_、_、_。【思路或解法】 依據題意可知：這三個分數之和的最大值應小于3只有所取的每個分數之值盡可能接近于【題331】 一盒彈子可以平均分給2、3、4、5或6個兒童，問這盒彈子最少有多少顆？【思路或解法】 這盒彈子的數目是2、3、4、5、6的最小公倍數，即60個彈子?！绢}332】 這樣的三位數存在嗎？它可以被11整除而且它的第一位數字比第二位數字大，第二位數字又比第三位數字大。【思路或解法】 不存在這樣的三位數。假設三位數被11整除后得到了商數10a+b，如果ab10，那么 a、a+b、b將是所求的三位數的數字，而a+b不可能小于a，因為與題目要求矛盾。如果a+b大于10，那么a1、a+b-10，b將是所求的三位數的三個數字。因為a+b-10小于b，又與題目要求矛盾，所以說不存在這樣的三位數?！绢}333】 能同時被2、3、7整除的最小兩位數是什么數？【思路或解法】 根據題意可知，本題就是求出2、3和7的最小公倍數，且2、3和7互為質數，互質數的最小公倍數就是它們相乘的積，所以能同時被2、3和7整除的兩位數是237=42【題334】 有一個數，在700和800之間，用15、18和24去除，都不能整除；如果在這數上加上1，就能被15、18和24整除這個數是_?！舅悸坊蚪夥ā?根據題意可知：本題可以先求15、18、24的最小公倍數，15、18、24的最小公倍數是3603602=720，剛好在700到800之間，但題目告訴我們，這個數加上1后就能同時被15、18、24整除，那么720-1=719就是所求的數了，因此，這個數是719?！绢}335】 從寫有7、4、1、0、9的五張卡片中取出四張，組成若干個被3整除的四位數把這些數按照從小到大的順序排列起來，第三個數應該是_?！舅悸坊蚪夥ā?因為7、4、1、0、9這五個數中：1+470=12，1479=21，12和21均能被3整除，所以由這兩組數所組成的許多四位數都能被3整除，把這些數排列起來可知，第三個數是1407?！绢}336】 被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然數是_?！舅悸坊蚪夥ā?先考慮第一個條件，滿足被3除余2這一條件的數從小到大排列依次是：5、8、11、8這個數又滿足被5除余3這一個條件，而且是最小的53這個數又滿足被7除余4這一條件，而且是最小的，所以符合題意的這個數是53?！绢}337】 最小的合數除最小的質數，商是_。是有限小數，所以本題的商是有限小數【題338】 有6個學生都面向南站成一行，每次只能有5個學生向后轉，則最少要做多少次，就能使6個學生都面向北？【思路或解法】 根據6個學生向后轉的總次數能被每次向后轉的總次數整除，可知：6個學生向后轉的總次數是5和6的公倍數：30、60、90，。根據題意，要求6個學生向后轉的總次數是30次，所以至少要做305=6（次），就能使6個學生都面向北?！绢}339】 陽歷1978年1月1日是星期日，陽歷2000年的1月1日是星期幾？【思路或解法】 從陽歷1978年1月1日到陽歷2000年1月1日，共經歷了22年，在這22年中，有1980年、1984年、1988年、1992年、1996年這五年是閏年因此從1978年1月1日到2000年1月1日止，共經歷了：3652251=8036（天），因為80367=1148，所以2000年的1月1日是星期六?！绢}340】 在568后面補上三個數字，組成一個六位數，使它能被3、4、5整除，并且要求這個數值盡可能小這個六位數是_。【思路或解法】 根據“數值盡可能小”的條件，可知被5整除的數的個位數字只能是0，被3整除的數的各位數字之和只能是568=19，再加上2得21根據一個數能被4整除的條件，這個數的末兩位數能被4整除，由此可知，這個六位數是568020。【題341】 有一個四位數，千位上的數字和百位上的數字都被擦掉了，知道十位數上的數字是1，個位上的數字是2，又知道這個數如果減去7就能被7整除，減去8就能被8整除，減去9就能被9整除，這個四位數是_?！舅悸坊蚪夥ā?根據“這個數減去7就能被7整除，減去8就能被8整除，減去9就能被9整除”的條件，可知這個四位數同時能被7、8和9整除，即這個四位數是7、8和9的公倍數。因為7、8和9的最小公倍數是504根據“十位數上的數字是1，個位上的數字是2”的條件，可知這個四位數的末兩位數是12，只有43才能是12，所以這個四位數是5043=1512?！绢}342】 今有語文課本42冊，數學課本112冊，自然課本70冊，平均分為若干堆每堆中這三種課本的數量分別相等，那么最多可分_堆?！舅悸坊蚪夥ā?根據“每堆中這三種課本分別相等”的條件可知：42=每堆語文課本的數量堆數112=每堆數學課本的數量堆數70=每堆自然課本的數量堆數這說明堆數是這三種課本數的公約數，由“最多可分幾堆”的條件可知：堆數是這三種課本數的最大公約數。42、112、70的最大公約數是14，所以，最多可以分成14堆?！绢}343】 桌面上原有硬紙片5張從中取出若干張來，并將每張都任意剪成7張較小的紙片，然后放回桌面像這樣取出，剪小，放回，再取出，剪小，放回，是否可能在某次放回后，桌上的紙片數剛好是1991？【思路或解法】 若先取1張，剪小放回，桌面上就有71+（5-1）=11；若先取2張，剪小放回，桌面上就有72+（5-2）=17；若先取3張剪小放回，桌面上就有73+（5-3）=23，若先取4張或5張剪小放回，桌面上就有（74）+（5-4）=29或75+（5-5）=35，。而11=62-1，17=63-1，23=64-1，29=65-1，35=66-1由此可見，每次取出剪小放回后，桌面上的紙片數一定是6的倍數減1或加5，而1991=6332-1或1991=6331+5，所以，可能在某次放回后，桌面上的紙片數剛好是1991?！绢}344】 一月份有三十一天，如果某年的1月1日是星期一，這年的2月22日是星期幾？【思路或解法】 從某年的1月1日到這年的2月22日，共有31+22=53（天）537=74，所以這年的2月22日是星期四?！绢}345】 一個自然數既能被3又能被5整除，同時它被7除的余數是4試求這樣的自然數中的最小的數是多少?！舅悸坊蚪夥ā?一個自然數既能被3整除，又能被5整除，這個自然數就是3和5的公倍數3和5的公倍數有：15、30、45、60、75、90再根據“它被7除余4”這一條件，用7分別去除這些數，余數為4的最小數是60。本題還可以從“被7除余4”這一條件想起：被7除余4的自然數有：11，18，25，32，39，46，53，60，67這些數中同時能被3和5整除的數是60?！绢}346】 在10226之間有多少個數是3的倍數？【思路或解法】 10226之間有216個數，每3個數就有一個數是3的倍數，2163=72，故10226之間有72個數是3的倍數。也可以這樣想：2263=751，而10以內有3個數是3的倍數，故10226之間的數是3的倍數的數共有75-3=72（個）?！绢}347】 30！表示從1到30的所有自然數的乘積即1234282930如果這個積被分解成質因數連乘的形式，求它所包含的因數5的個數。【思路或解法】 在123456282930中，以5作為因數的數有5，10，15，20，25，30這些數里共有7個因數5?！绢}348】 求出比1大，比100小的數用5除余2，用6除余5的所有數來。【思路或解法】 比1大，比100小的數用5除余2的數的個位數都是2或7100以內的數個位是2的自然數，用6除有兩種結果：是整除，如：12，42，72是除不盡，如：22，32，52，62，82，92所以個位數是2的數不符合用6除余5的條件。再看：在100以內個位是7的自然數，用6除余數有三種情況：是余數為1，如37，67，97是余數為3，如27，57，87是余數為5，如17，47，77由此可知：比1大，比100小的用5除余2，用6除余5的數有17，47，77。【題349】 把16個石頭子排列著，并記上從1到16的記號從第1個石頭子，往前進3個，就到了第4個石頭子如這樣，從第1個石頭子向右旋轉前進328個，從那里向左旋轉前進485個，又向右旋轉前進了136個，就到了第_個石頭子?！舅悸坊蚪夥ā?485-328=157看作向左旋轉；157-136=21看作向左旋轉；2116=15看作向左旋轉一周又回到了第一個石頭后，又向左旋轉了5個，所以這時到了第6號石頭子的位置上?！绢}350】 用1、2、3、4、5這5個數兩兩相乘，可以得到10個不同的乘積問乘積中偶數多還是奇數多？【思路或解法】 判斷乘積是偶數還是奇數的依據是奇偶數乘積運算性質：奇奇=奇，奇偶=偶，偶偶=偶1、2、3、4、5這五個數中，只有1、3、5三個數是奇數，這三個數兩兩相乘的算式只有13、15、35三個，乘積也就只有3個了這三個乘積是奇數，所以，10個乘積中奇數只有3個，偶數就有10-3=7個了故本題的答案是乘積中偶數多，奇數少?！绢}351】 2310的約數的個數為_個?！舅悸坊蚪夥ā?2310=235711（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）=22222=32（個）共有約數32個?！绢}352】 小張在計算有余數的除法時，把被除數113錯寫成131，結果商比原來多了3，但余數恰巧相同那么，該題的余數是_?！舅悸坊蚪夥ā?根據小張在計算時因錯寫使被除數增加（131-113）=18，除數不變，商比原來多3，且余數恰好相同的條件可知除數是6。113（131-113）3=1136=18余5。所以，該題的余數是5?！绢}353】 A、B兩數都恰含有質因數3和5它們的最大公約數是75，已知A數有12個約數，B數有10個約數，那么A、B兩數的和等于_。【思路或解法】 最大公約數75=352因為A數有12個約數，所以A數為3352=675。因為B有10個約數，所以B數為354=1875因此，A、B兩數的和為675+1875=2550。【題354】 1100中的哪個自然數被3或5除余1，且能被7整除？【思路或解法】 被3或5除余1的數為3和5的公倍數+1，在1100中，這樣的數有15+1=16，30+1=31，45+1=46，60+1=61，75+1=76，90+1=91這些數中能被7整除的只有91所以91符合題設條件?！绢}355】 如圖1是一個66的方格棋盤，現將部分11的小方格涂成紅色如果隨意劃掉3行3列，都要使得剩下的小方格中一定有一個是紅色的，那么至少要涂_個小方格。【思路或解法】 根據網絡交叉點可知隨意劃掉3行3列，總有9個交叉點這樣不管怎樣劃掉3行3列共劃去11的小方格數是27個，還乘9個小方格，因此，要保證剩下的方格中一定有一個紅色的，必須至少涂9+1=10（個）小方格如圖2所示： 圖1 圖2【題356】 一只集裝箱，它的尺寸是181818現在有一批貨箱，它的外尺寸是149問這只集裝箱能裝多少只貨箱？無法再裝所以一共可裝144+16=160（只）?！绢}357】 一張長14厘米，寬11厘米的長方形紙片，最多能裁出多少個長4厘數，寬1厘米的紙條？怎樣裁？請畫圖說明?！舅悸坊蚪夥ā?根據題意，用大長方形紙片的面積除以小長方形紙片的面積就可得到最多能裁多少個小長方形紙條：1411（41）=38（條）2（平方厘米）裁法如圖。（第357題） （第358題）【題358】 一個55的方格紙，每個方格已編了號碼（見圖）在挖去一個方格后，可以剪成8個13的長方形，那么應該挖去的方格的編號是_?！舅悸坊蚪夥ā?如挖去正中間一格（13），恰好是四個23的長方形拼成，而每個長方形可分為2個13的小長方形因此，為滿足題目條件的需要，必須挖出圖中編號為13的小方格。【題359】 把一塊長90厘米，寬42厘米的長方形鐵板剪成邊長都是整厘米數，面積都相等的小正方形鐵片，恰無剩余，至少要剪_塊?！舅悸坊蚪夥ā?要剪成正方形的小鐵片，而又要剪的塊數最少，那就使正方形的小鐵片的邊長盡量的大這個邊長就是原長方形的長和寬的最大公約數，用長和寬除以它們的最大公約數，兩個商的乘積就是剪得正方形的塊數90和42的最大公約數是6。906=15，426=7剪成的正方形塊數至少為157=105?！绢}360】 一張白紙，裁成邊長是4厘米的正方形，正好裁20塊；裁成面積是4平方厘米的直角三角形，可裁_塊?！舅悸坊蚪夥ā?一張白紙，如果裁成邊長是4厘米的正方形，可以正好裁20塊，那么這一張白紙的長為20厘米，寬16厘米，這張白紙的面積為2016=320平方厘米。3204=80（個）故可裁80塊面積是4平方厘米的直角三角形?！绢}361】 把一塊長78厘米，寬20厘米，高16厘米的長方體木塊，鋸成一些長、寬、高的比為532的同樣小長方體木塊，并且要使每個小長方體木塊的體積盡可能大，鋸后無木料剩余求小長方體木塊的長、寬、高各是多少？可以鋸幾塊？如果大長方體木塊的長、寬、高分別為28厘米、14厘米、10.5厘米，其余條件和問題不改變，怎樣解？【思路或解法】 根據小長方體長、寬、高的比為532，可設其長、寬、高分別為5厘米、3厘米、2厘米要使鋸后無剩余，就要找大木塊三度中分別能被5、3、2整除的數205=4，783=26，162=8，為使小木塊的體積盡可能大，從（4、26、8）=2，可得小木塊的長、寬、高分別是52=10（厘米），32=6（厘米），22=4（厘米）小木塊的塊數為（786）（2010）（164）=104（塊）當大木塊的長、寬、高分別為28厘米，14厘米，10.5厘米時，只要把它們化成毫米，就可以跟前面一樣計算即小木塊的長、寬、高分別是35毫米，21毫米，14毫米，可鋸成這樣的小木塊400塊?！绢}362】 從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數字中選出五個不同的數字組成一個五位數，使它能夠被3、5、7和13整除，這個數最大是_?！舅悸坊蚪夥ā?因為這個數能同時被3、5、7和13整除，因此這個最大五位數是3、5、7和13的公倍數因為3、5、7和13的最小公倍數是35713=1365，在五位數中，1365的最大倍數是136573=99645，但這個數的數字重復，不符合題設條件的要求，因此，從這個數99645中逐次減去1365，依次得98280、96915、94185、其中數字不重復的最大數是：94185?！绢}363】 1至9九個數字，按下頁圖所示的次序排成一個圓圈請你在某兩個數字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數（例如，在1和7之間剪開，得到兩個數是193426857和758624391）如果要求剪開后所得到的兩個九位數的差能被396整除，那么剪開處左右兩個數字的乘積是_【思路或解法】 因為396=4911，而4、9、11兩兩互質，根據整除的有關性質，考慮被396整除，只要分別考慮被4、9、11整除就得了。因為如果一個數的各個數位上的數字和是9的倍數，那么這個數就能被9整除，所以現在無論從哪兩個數字之間剪開，按順時針或按逆時針次序所得到的兩個九位數，其各個數位上的數字和，都是1至9個數字之和45，45能被9整除，因此兩個九位數一定能被9整除，那么這個兩個九位數之差當然也能被9整除。再考慮除以11的情況一個數是否能被11整除，只要看這個數奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差除以11的余數它們數字的順序恰好是互相顛倒的，因此這兩個九位數的偶數位上的數字之和與奇數位上的數字之和的差是完全一樣的，也就是說，這兩個九位數除以11的余數相同，從而它們的差一定能被11整除。最后考慮所得兩個九位數之差能否被4整除只要這兩個九位數的末兩位數字組成的兩位數之差能被4整除，那么這兩個九位數的差也一定能被4整除，所以只需考慮，剪開處左面兩個數字組成的兩位數與右面兩個數字顛倒順序后組成的兩位數之差能否被4整除只要這個差能被4整除，所得兩個九位數之差也就能被9整除故可設：在1與9之間剪開：71-39=32，32能被4整除。在9與3之間剪開：43-19=24，24能被4整除。在3與4之間剪開：93-29=69，69不能被4整除。在2與6之間剪開：86-42=44，44能被4整除。在4與2之間剪開：62-36=28，28能被4整除。在6與8之間剪開：58-26=32，32能被4整除。在8與5之間剪開：75-68=7，7不能被4整除。在5與7之間剪開：85-17=68，68能被4整除。在7與1之間剪開：91-57=34，34不能被4整除。因此，本題共有6個答案：19=9； 93=27 42=826=12 68=48 57=35。【題364】 將自然數1、2、3依次寫下來組成一個數：12345678910111213如果寫到某個自然數時，所組成的數恰好第一次能被72整除，那么這個自然數是_?！舅悸坊蚪夥ā?被72整除，一定被4、8、9整除因為要被4整除，末兩位數只能是56，12，16，20，24，28，32，36，123456，雖能被4整除，但不能被9整除，這是因它的各位數字之和不是9的倍數。1231112，各位數字之和是51，也不能被9整除。11516，12324，13132因為這些數的末三位數不能被8整除，所以這些數也不能被8整除。當寫到36時，末三位數536能被8整除，各位數字之和是：45+10+45+20+45+73+（1+2+3+4+5+6）=163能被9整除，因此，寫到36時，恰好是第一次能被72整除?！绢}365】 如果時鐘現在表示的時間是18點整，那么分針旋轉1990圈之后是_點鐘?！舅悸坊蚪夥ā?鐘表上的分針旋轉一圈是1小時，現旋轉1990圈，就是1990小時，每24小時一天，199024=82（天）余22小時。原來的時鐘表示的時間是18點鐘，加上余下的22小時得40小時，4024=1（天）16小時，這個16小時就是分針旋轉1990圈之后所表示的時間。【題366】 只有一個約數的自然數叫做單位數，就是“1”有且只有兩個約數的自然數叫質數（也叫素數），如2，3，5，7有兩個以上的約數的自然數叫做合數有且只有3個約數的自然數有什么特點？請你寫出小于300的所有且只有3個約數的合數，并求出這些數的平均數?！舅悸坊蚪夥ā?通過枚舉選篩得，小于300的有且只有3個約數的全部合數是：4，9，25，49，121，169，289通過找這些數的約數時發(fā)現，這些數不僅有且只有三個約數，而且還具有一個重要的特點：即這三個約數除1和它本身以外，還有一個約數是一個質數，這個質數的平方就是它所對應的合數本身其平均值為：【題367】 選5個不同的自然數，使得其中任意3個數的和都是3的倍數，這5個數的和最小是多少？【思路或解法】 任意自然數被3除，余數有0、1、2三種情況如果5個自然數被3除的余數不全相同，則至少有1個余數與其他余數相異，且至少有兩個余數相同（0、1或2）這樣從中總能找到3個數，它們的和不是3的倍數所以，符合題目要求的5個自然數被3除的余數必須相同并且在余數完全相同的條件下（全部是0、1或2），能夠保證其中任意3個數的和能被3整除要使這5個自然數的和盡可能小，就必須取自然數列中靠前的被3除余1的數即取：1、4、7、10、13這五個數的和是1+4+7+10+13=35?！绢}368】 自然數123456789101112198919901991被9除，余數是幾？【思路或解法】 根據“一個數被9除的余數，等于它各位數字之和被9除的余數”這一“棄九法”的原理，考慮本題的答案，只須考慮：A=1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+9+8+9+1+9+9+0+1+9+9+1被9的余數，并將它與如下的B作比較：B=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+1989+1990+1991。由于B中的每個數，都對應A中若干個數字之和（即該數的各位數字之和，如B中的+10就與A中的+1+0對應；B中的1991就與A中的+1+9+9+1對應）而兩者對9來說，余數都是一樣的如B中19919=2212；A中的（1+9+9+1）9=209=22也就是說，它們可以互相替換，被9除時，不會影響余數根據這個道理：A9與B9的余數是相等的而后者是前1991個自然數的和，可以每9個數作為一段，即：B=（1+2+3+8+9）+（10+11+18+19）+（1981+1989）+1990+1991。而每一段都能被9整除，最后剩下兩個數，它除以9余數為3所以本題答案應是：余數是3?！绢}369】 有一批文章共15篇，各篇文章的頁數分別是1頁、2頁、3頁、14頁和15頁的稿紙，如果將這些文章按某種次序裝訂成冊后，統一編上頁碼那么每篇文章的第一頁是奇數頁碼的文章最多有_篇。【思路或解法】 根據偶+偶=偶，先將偶數頁碼的文章（2頁、4頁、6頁、14頁）編排，這樣7篇文章的第一頁都是奇數頁碼根據奇+奇=偶，再將奇數頁碼的文章（1頁、2頁、3頁、5頁、7頁、9頁、11頁、13頁、15頁）編排，這樣編排次數是奇數的（1頁、5頁、9頁和13頁）4篇文章的第一頁是奇數頁碼因此，每篇文章的第一頁是奇數頁碼的文章最多是7+4=11（篇）?！绢}370】 我們把像3和5、33和35這樣的兩個數都叫做兩個連續(xù)的奇數已知自然數1111155555是兩個連續(xù)奇數的乘積那么這兩個連續(xù)奇數的和是_。【思路或解法】 根據兩個連數奇數的乘積1111155555的個位上的數字是5，可知這兩個奇數的個位上的數分別是3和5或5和7。1111155555=35111116667（分解）=（311111）（56667）（組合）=3333333335可見：這樣的兩個連續(xù)奇數的和為：33333+33335=66668?！绢}371】 找出滿足下面三個條件的三位數：（1）是奇數；（2）三個數字都是這個數的因數；（3）數字不能重復。【思路或解法】 根據條件可知，三位數中不能有0，因為0不能作這個數的因數；5不可能出現在百位或十位上，因為如果有5，那么5應是這個三位數的因數，從而在個位上也要出現5，而條件是數字不能重復，所以可在下列數中尋找：135，137，139，173，175，179，193，195，197，315，317，319，371，375，379，391，395，397，713，715，719，731，735，739，791，793，795，913，915，917，931，935，937，971，973，975。在這些數中，只有135，175，315，735滿足題目的要求。【題372】 下面的三角形數陣從上到下1991排，如果分別求每一排所有數的和，可以得到1991個數在這1991個數中有多少個偶數？【思路或解法】 第一排是1個奇數，第二排兩個數中也有1個奇數，第三排三個數中有兩個奇數，第四排四個數中也只有兩個奇數，第五排、六排各有三個奇數，第七排，八排各有4個奇數，所以從第一排到第1991排分別求得的和，奇奇偶偶奇奇偶偶出現周期性變化19914=4973，最后3個數中有一個偶數，所以1991個和中的偶數個數為：2497+1=995（個）?！绢}373】 把1988表示成28個連續(xù)偶數的和，那么其中最大的偶數是_?！舅悸坊蚪夥ā?根據題意可知：中間兩個數之和為平均數：1988（282）=142這樣第十三個數是（142-2）2=70因此可知：70后面還有14個數，最大偶數是：70+214=98?！绢}374】 將圖1中64個小方格染上黑白兩色，使得各行、各列都是一種顏色的方格6個，另一種顏色的方格2個，且黑白方格的總數相等（畫出一種情況即可）【思路或解法】 可以有許多種畫法，現列舉如下：畫法一（見圖2）畫法二（見圖3）【題375】 從起點起，每隔1米種一棵樹（如下圖）如果把三塊“愛護樹木”的小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的距離是偶數（以米為單位）這是為什么？【思路或解法】 根據種植要求，可知每棵樹與起點的距離數為1米，2米，3米，這樣按它們各自與起點的距離編號為1，2，3，（如下圖）于是，兩棵樹的距離數就是這兩棵樹的號碼之差，由此可知，掛牌的三棵樹的編號碼數只有：三個數都是奇數；兩個奇數，一個偶數；三個數都是偶數；兩個偶數，一個奇數根據數的奇偶數：奇-奇=偶；偶-偶=偶；偶-偶=偶這樣上述四種情況，都至少有兩棵掛牌樹之間的距離數（以米為單位）是偶數【題376】 有四個互不相等的自然數，最大數與最小數的差等于4，最大數與最小數的積是一個奇數，而這四個數的和是最小的兩位奇數，那么這四個數的乘積是_。【思路或解法】 因為這四個數的和是11，根據數的奇偶性可知，這四個數中必定是三個奇數，一個偶數又因為奇數奇數=奇數，可知最小數和最大數都是奇數，且它們之差為4，11=1+2+3+5因此，這四個數的乘積是：1235=30。只須考慮73B的B是什么數時就能被8整除就行了因而經試驗得B=6再根據能被9整除的數的特征：A+4+2+7+3+6能被9整除，推得A=5。所以本題的A值為5，B值為6這個六位數是547236?！舅悸坊蚪夥ā?根據能被9整除的數的特征可知：3+A+A+1=2A+4能被9整除而A是0-9的整數，因此2A+4只能等于9故A=7?！绢}379】 各位數字都是1的一個13位數，被7除，余數是（ ）。【思路或解法】 根據371337=10101，可知10101與10101的倍數能被7整除，運用數的組成知識可求出系數：11111111111117=（1010100000000+101010000000+1010100+101010+1）7=10101000000007+1010100000007+10101007+1010107+17=158730158730余1故本題答案余數為1?！绢}380】 甲數除以13余7，乙數除以13余9，現將甲、乙兩數相乘，其積除以13應該余_。【思路或解法】 根據題意，甲數可用13