常微分方程習題(3).doc

常微分方程期終試卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)1. 2xylnydx+dy=02. 2. =6-x3. 3. =24. x=+y5. tgydx-ctydy=06. y-x(+)dx-xdy=07. 7一質(zhì)量為m質(zhì)點作直線運動，從速度為零的時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為）。試求此質(zhì)點的速度與時間的關(guān)系。8. 已知f(x)=1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達式。二 證明題(10%*2=20%)9. 試證：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N試同齊次函數(shù)，且xM+yN0,則是該方程的一個積分因子。10. 證明：如果已知黎卡提方程的一個特解，則可用初等方法求得它的通解。試題答案：02412-281. 解：=2xlny+2x , =2x,則 =,故方程有積分因子=，原方程兩邊同乘以得dx+dy=0是恰當方程. d(lny)+ydy=0,兩邊積分得方程的解為lny+=C。2. 解：1）y=0是方程的特解。2）當y0時，令z=得=z+x. 這是線性方程，解得它的通解為z=代回原來的變量y得方程解為=；y=0.3. 解：令x=u+3, y=v2, 可將原方程變?yōu)?，再令z=，得到z+=，即=，分離變量并兩端積分得=+lnC即ln+2arctgz=+lnC，ln=2arctgz+lnC 代回原變量得v=C所以，原方程的解為y+2=C.4. 解：將方程改寫為 =+ （*） 令u= ,得到x=x+ u,則(*)變?yōu)閤 = , 變量分離并兩邊積分得 arcsinu=ln +lnC, 故方程的解為arcsin=lnCx。5. 解：變量分離 ctgxdy=tgydx, 兩邊積分得 ln(siny)= ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1) ，x=t+(t=0、1)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)當C=0時的特殊情況，故原方程的解為sinycosx=C。6. 解：ydx-xdy-x(+)dx=0,兩邊同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解為arctg=C。 7 解：因為F=ma=m，又F=，即m= (v(0)=0)，即= (v(0)=0)，解得v=+(t).8 解：令f(x)=y，=，兩邊求導得=y，即=y，即=dx，兩邊求積得=2x+C，從而y=，故f(x)= .9. 證明：如M、N都是n次齊次函數(shù)，則因為x+y=nM，x+y=nN，故有=0.故命題成立。10. 解：1）先找到一個特解y=。2）令y=+z，化為n=2的伯努利方程。證明：因為y=為方程的解，所以=P(x)+Q(x)+R(x) (1)令y=+z，則有+= P(x)+Q