高等數學(交大)教案第一章.doc

第一章 微積分的理論基礎內容及基本要求：1、理解函數的概念2、理解復合函數的概念，了解反函數的概念3、掌握基本初等函數的性質及其圖形4、會建立簡單實際問題中的函數關系式5、理解極限的概念（對極限的N、定義可在學習過程中逐步加深理解）6、掌握極限的四則運算法則7、會用兩個重要極限求極限8、解無窮小、無窮大，以及無窮小的階的概念。會用等階無窮小求極限9、理解函數在一點連續(xù)的概念10、了解間斷點的概念，并會判斷點的類型11、了解初等函數的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（介值定理和最大、最小值定理）學習重點：函數概念；復合函數概念；極限概念；極限四則運算法則；兩個重要極限；函數連續(xù)概念。學習難點：極限概念。第一節(jié) 函數一. 函數的概念及其表示法1.函數的定義 設與是變量,是給定的一個數集.按照一定的法則總有確定的數值與之對應,則稱是的函數,記作.其中為函數的定義域, 是自變量, 是因變量.處的函數值記為,即.稱為函數的值域.單值函數與多值函數: 如果自變量在定義域內任取一個值時,對應的函數值總是只有一個,這種函數稱為單值函數,否則稱為多值函數.本書一般指單值函數.2.定義域的求法(1)實際問題由實際意義確定:如自由落體運動,則其定義域為.(2)數學式子由算式有意義的自變量的一切實數值所確定:如,其定義域為.3.函數的圖形建立直角坐標系后,點的集合:稱為函數的圖形.4.特殊函數(1)絕對值函數:.(2)符號函數:(3)取整函數:表示不超過的最大整數.如.(4)分段函數:在自變量的不同范圍中,用不同式子表示的同一個函數稱為分段函數.如絕對值函數,取整函數,符號函數都是分段函數.兩個不同式子的分界點稱為分段函數的分段點.二. 線性函數的基本屬性1.改變量 對于函數，當自變量在其定義域內從一點變?yōu)楫愑诘狞c時，相應地，函數值從變?yōu)?，我們稱為自變量在處的改變量，簡稱為自變量的改變量，記作，稱為函數在處相應的改變量，簡稱為函數的改變量，記作.2.均勻變化與非均勻變化 對線性函數，無論自變量從哪里開始變化，只要它的改變量一樣大，則函數的改變量也一樣大。換句話說，線性函數隨自變量的變化是均勻的，即.三. 復合函數與反函數1.復合函數 設函數的定義域為,函數在上有定義,而 ,且,那末,對通過函數有確定的與之對應,對于這個通過有確定的與之對應,從而得由復合而成的復合函數,記作,而為中間變量.注意 (1)不是任二個或二個以上的函數都復合成一個復合函數.如,就不能復合成一個復合函數.(2)任一復合函數都可以分解成一些簡單函數的復合.此點在求復合函數的導數時很重要.如函數可分解成:2.反函數 設函數定義域為,值域為.對,總與對應,這樣就確定了一個以為自變量的函數,稱為的反函數,記作,也記作 .相對于反函數,原來函數稱為直接函數.注意(1)單值函數的反函數不一定是單值函數;但當直接函數不僅單值且單調時,其反函數必為單值函數.(2) 和的圖形關于直線對稱.四. 初等函數與雙曲函數1.基本初等函數.冪函數:,(是常數).指數函數: ,特別地:.對數函數:,特別地:.注意:指數函數與對數函數互為反函數.三角函數:.反三角函數:.2.初等函數由常數與基本初等函數經過有限次四則運算和有限次復合所構成的并且用一個式子表示的函數,稱為初等函數.如都是初等函數.3.雙曲函數與反雙曲函數.雙曲函數雙曲正弦:,奇函數,圖形過原點且關于原點對稱.在內,當時,當時, .雙曲余弦:,偶函數,圖形關于軸對稱.在內,在內.時,當時, .雙曲正切:.奇函數,圖形過原點且關于原點對稱.在內,且,當時,; 當時, .即為的兩條水平漸進線.性質:.反雙曲函數反雙曲正弦:,(單值).反雙曲余弦:,(主值.反雙曲正切:.函數舉例:例1 設,求.解 ;.例2 設,求.解 ,即.例3 設,且,求及其定義域.解 ,所以.又,所以由(1)得;由(2)得,即的定義域為.例4 設的圖形關于直線與對稱,則為周期函數.證明 (關于對稱) (關于對稱),即為周期函數.五.函數的參數表示與極坐標表示1.函數的參數表示 把與的函數關系通過變量間接地表示為上式稱為與函數關系的參數表示式，也稱為此曲線的參數方程，稱為參變量，也稱為參數。2.函數的極坐標表示 在平面上選取一條具有起始點（稱為極點）和長度單位的半直線，稱為極軸，這樣在此平面上就建立了極坐標系。對平面上任一點，將線段的長度記為，成為極徑，極軸到射線的轉角記作，稱為極角。如果限制，那么平面上除極點外任一點便有唯一的有序數組與其對應；反之，任給一數組，以為極角，為極角，必有唯一的點與之對應。因此，我們把稱為點的極坐標。點的直角坐標與極坐標之間有如下關系第二節(jié) 數列的極限一. 數列1.數列無限多個數有次序地排成一列稱為數列,記為.數列中的每一個數稱為數列的項,第項稱為數列的一般項.數列也可看作自然數的函數:.在幾何上,數列也可看作數軸上的一系列點.2.子數列設數列.在中第一次抽取,第二次抽取第次抽取得新數列,稱為數列的子(數)列.二. 數列的極限:1.引例:劉徽的割圓術.2.數列極限的定義設數列.觀察當無限增大時,數列的項的變化趨勢.具體寫出來是:當無限增大(即要多大就有多大)時,一般項無限接近(要多近就有多近)于常數,此時稱數列的極限為零,或數列收斂于零.由此有定義(描述性定義)當無限增大時, 數列與常數無限接近,稱數為數列的極限,或稱數列收斂于.記作,或.下面我們對數列來具體分析:要使與的距離小于,即.則,取,當時,即從第11項開始,所有項與的距離小于.取,要使,則.取,則當時, ,即從第101項開始,所有項與的距離小于.,要使.取則當時, .即從項開始, 所有項與的距離小于.用精確的數學語言,有定義 給定數列和常數:,當時,有成立,則稱常數為數列的極限,或稱數列收斂于常數,記為,或.如果數列沒有極限,則稱數列是發(fā)散的.注意 (1)反映了數列中項與常數的接近程度.由于可以任意小,此時反映了與常數無限接近(要多近就有多近),不是越來越近.(2)反映了數列中與常數接近的項的范圍,即從項開始,所有項與的距離小于.因此是的函數.一般地, 越小,則越大.(3) 主要是對于給定的,能夠找到一個,使得與的距離小于,而前項是否與的距離小于沒有任何影響.(4) 是否存在才是關鍵,不必找最小的.(5) 的幾何意義:由定義: ,當時,有,即全部落在的鄰域內.例1 證明.分析:由注(3)的思路:從不等式解出,從而確定.證明 ,要使則.取,則當時,有所以.有時,由解出是非常麻煩.由注(4)可知,此時可將不等式適當放大(不能太大),即由解出,從而確定.則當時,有故注:這里的適當放大意思是放大后還可小于.例2 證明.證明 ,要使此時直接解出很難.將適當放大,所以,取即可.或如下放大:則.取即可.三. 收斂數列的性質定理1(極限唯一性定理) 如果數列,則其極限必唯一.證明 設.取.由則,當時,有.由,則,當時,有.取,則當時,有解得 矛盾.定理2（有界性） 收斂數列必有界.但有界數列不一定收斂.證明 設則給定,當時,有.則,取.則對任意的,有即數列必有界.反之,數列是有界的(因為),但不存在(為什么?見下面的解釋).定理3（保號性），則，使得，恒有其中為某一正常數。例3解三. 數列極限的有理運算法則定理4：推論1 常數因子可以提到極限記號外面.推論2 四. 數列極限的判定法則1.夾逼準則準則 如果數列及滿足下列條件:那末數列的極限存在, 且.證： 上兩式同時成立, 例4：解： 由夾逼定理得2.單調有界準則 則稱此數列單調增加；或者稱此數列單調減少準則 單調有界數列必有極限.幾何解釋:例5：證： (舍去)五.子數列及其與數列的關系定理5(數列與子數列關于收斂的關系) 如果則其任一子數列必收斂,且注(1)逆否命題:如果數列的某一子數列發(fā)散或某兩個(或兩個以上)子數列收斂,但極限不同,則數列必發(fā)散.例6 證明數列是發(fā)散的.證明 取兩個子列:奇子列:,顯然.又偶子列: ,顯然.因為,所以不存在.(2)如果數列的奇子列與偶子列均收斂于同一極限,則數列必收斂.第三節(jié) 函數的極限主要討論:在自變量的某一變化過程中,函數是否與一常數無限接近,即(1);(2).一.自變量趨于變大時函數極限的概念 .即自變量無限接近時,無限接近于.包括和.定義 (1)設當時有定義.,當時,有成立,則稱為當的極限,記為或.(2)設當時有定義. ,當時,有成立, 則稱為當時的極限,記為或.(3) 設當時有定義. ,當時,有成立, 則稱為當時的極限,記為或.注:(1) 的幾何意義:(2) .(3) ,則為曲線的水平漸進線.例1 證明.證明 ,要使則.取,則當時,有即.例2 求.解 ,所以不存在.同理,所以不存在.記住:均不存在.二. 自變量趨于有限值時函數的極限,即自變量無限接近時,無限接近于.定義定義 設在內有定義.,當時,有成立,則稱為當時的極限,記作 或 .注(1)由極限的定義知,當時是否有極限與在處是否有定義無關.(2)反映了與的接近程度.由于可以任意小,故與可無限接近.(3)反映了自變量與的接近程度.(4)給定,問題是是否存在.如果存在,則當時以為極限;否則, 的極限不存在.因此,只要確定一個,而不必找出最大的.一般地,如果越小,則也越小.(5) 的求法是由不等式接出(不是解,取即可.同數列極限,如果解較困難,可將適當放大,即再解出.(6)幾何意義:當,即時, 有.(7)顯然有.例3 證明.證明 在處無意義,但極限存在.,要使取,當時,有即.例4 證明.證明 ,要使 (解出幾乎不可能)將適當放大,怎么放呢?因為時,不妨設,即,.從而解得.取,則當時,有,即.左、右極限: ,.(1)左極限: (或)當時,有成立.(2)右極限: (或)當時,有成立.(3)左、右極限與函數極限的關系:.注:如果在處的左、右極限至少有一個不存在或都存在但不相等,則不存在.該結論經常用來討論分段函數在分段點的極限是否存在.例5 求符號函數當時的極限.解 為的分段點.因為,所以不存在.三. 函數極限的性質與運算法則1.性質. 唯一性定理 若存在,則極限唯一. 局部有界性定理 若在某個過程下,有極限,則存在過程的一個時刻,在此時刻以后有界. 局部保號性定理 如果,且(或),則存在,當時,有 (或)證明 設,取,則,當時,有.注:如果取,則,當時,有.保序性推論：.夾逼準則如果當(或)時,有那末存在, 且等于.2.運算法則定理1 設,則.注意:(1)運用該公式時與的極限必須同時存在,否則出現錯誤.如,但是錯誤的,雖然結論是正確的.(2)該結論可推廣到有限個函數的情形.即.定理2 設,則.注意:(1)也必須注意定理的條件.如是錯誤的,雖然結論是正確的.是錯誤的.結論為.(2)該結論也可推廣到有限個函數的情形.即.(3)特殊情形:,.定理3 設,則.注意:定理的條件,否則出現錯誤.如是錯誤的.事實上.是錯誤的.事實上,當時,是無界函數,而不是無窮大.由于數列極限是函數極限的特殊情形,故以上的運算法則對數列極限也是成立的.推論1常數因子可以提到極限記號外面.推論2四.例題現在運用極限的運算法則可求一些簡單函數的極限.1.有理函數的極限(1)有理整函數的極限設,(),則.(2)有理分函數的極限.則由于,由商的極限知() 當時, .() 當時, .() 當時,先分解因式,約去極限為零的公因子,再根據()、()兩種情形求極限.例6 例7 , (因為)(3) .(a)當時.(b)當時.(c)當時,由(2)有.綜上有例8 .2.雜例例9 .例10 例11 .例12 .例13 .例14 .由以上知不存在.例15 .例16 .五. 復合函數的極限定理 設,且,又,則.(在定理中,將換成或,而把換成,結論仍成立).例17 .例18 .因為,且,所以原式=0.例19 .六. 兩個重要極限1.(型)注意 (1)與的區(qū)別,(另一個);(2)令,則該極限變形為 .(3)一般地,有(常用情形),其中.例20 例21 例22例23 2.,型.注意 (1)等價形式:令,則.所以.(2),型.(3)一般形式:例24 求.解:方法一 方法二例25 注意 對型,可用下面簡便方法計算:設,則.例26 例27 第四節(jié) 無窮小量與無窮大量一. 無窮小量及其階的概念1.無窮小量的概念如果在自變量的某一變化過程中,的極限為零,則稱在自變量的變化過程中為無窮小量.由此定義 設在(或)時有定義.(或),當(或)時,有,則稱當(或)時為無窮小量,記作(或.如,則當時為無窮小量.,則當時為無窮小量.注意:區(qū)別無窮小量與很小的數:無窮小量是函數當(或)時與數0無限接近, 的函數值可能等于0也可能不等于0;很小的數是一個確定的數,它不能小于任意給定的正數.2.無窮小量與極限的關系定理 其中.3.無窮小量的性質性質1 有限個無窮小量的和還是無窮小量.證明 設,即,當時,有;,當時,有.取,則當時,有.#性質2 有界函數與無窮小量的乘積還是無窮小量.如,則.證明 設在內有界,即.,則,當時,有.取,則當時,有.#由性質2可得(1)常數與無窮小量的乘積還是無窮小量.(2)有限個無窮小量的乘積還是無窮小量.但請注意:(1)無限個無窮小量的和不一定是無窮小量.(2)無限個無窮小量的乘積不一定是無窮小量.4.無窮小量的比較定義: 例1解：例2解：常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數的近似表達式:例如二.無窮小的等價代換定理(等價無窮小替換定理)：證：例3解: = 8注意: 不能濫用等價無窮小代換. 對于代數和中各無窮小不能分別替換.例4錯解: =0解: 例5解: 三.無窮大量1. 定義如果當(或)時,可以無限增大,則稱當(或)時為無窮大量.即定義 設在(或)時有定義. (或),當(或)時,有,則稱當(或)時為無窮大量,記作.注:(1)區(qū)別無窮大量和很大的數.(2)無窮大量并不表示函數的極限存在,僅表示函數的性態(tài)(或變化趨勢).(3)若改為,則稱當(或)時為正無窮大量,記作.若改為則稱當(或)為負無窮大量,記作.(4) ,則在(或)時為無界函數;但反之不然.如在內無界(取則),但當時不是無窮大量.(取,則).(5)幾何上,表示直線是曲線的鉛直漸進線.(6),令,則.2.無窮大量與無窮小量的關系當時,.即無窮大量的倒數是無窮小量,無窮小量的倒數是無窮大量.兩個無窮小的商不一定是無窮小,可以是無窮小,無窮大,常數,由此產生了無窮小的比較.第五節(jié) 連續(xù)函數一. 函數的連續(xù)性概念與間斷點的分類1.函數的連續(xù)性概念(1)定義 設在內有定義.如果,則稱在處連續(xù).由于,故,當時,則.所以,從而由此有定義 設在內有定義.如果(即當時的極限等于該點的函數值)則稱在處連續(xù).定義(語言) 設在內有定義.,當時,有則稱在處連續(xù).(2)左連續(xù)、右連續(xù)定義 (1)設在上有定義.如果 (或)則稱在處右連續(xù).(2)設在上有定義.如果 (或)則稱在處左連續(xù).注意 在處連續(xù)在處既左連續(xù)又連續(xù).該結論主要用于討論分段函數在分段點處的連續(xù)性.2.連續(xù)函數如果在開區(qū)間內每一點均連續(xù),則稱在內連續(xù). 稱為的連續(xù)區(qū)間.如果在開區(qū)間內連續(xù),且在處右連續(xù),處左連續(xù),則稱在上連續(xù). 稱為的連續(xù)區(qū)間.幾何上,連續(xù)函數的圖形是一條連綿不斷的曲線.例1 設,求使得在處連續(xù).解 在處連續(xù),則,且 .所以 解得例2 證明在內連續(xù).證明 ,則,所以,因為,所以.又,所以即在內連續(xù).3. 間斷點及其分類設在內有定義.如果滿足下列三種條件之一:(1)在處無定義;(2)在處有定義,但不存在;(3) 在處有定義,且存在,但.則稱在處不連續(xù),點稱為的不連續(xù)點或間斷點.根據在間斷點函數的不同性質狀態(tài),可將間斷點分成以下兩大類:.第一類間斷點左、右極限都存在的間斷點,稱為第一類間斷點.(1)可去間斷點如果是的間斷點,且,則是的可去間斷點.顯然,如果定義,則在處連續(xù).例3 在處無定義,點為的間斷點.但.如果補充定義,即則在處連續(xù).(2)跳躍間斷點如果是的間斷點,且,則是的跳躍間斷點.例4 討論在處的連續(xù)性.解 為的分段點,從而因為,所以為的間斷點,且為第一類的跳躍間斷點.第二類間斷點函數的不是第一類間斷點的任何間斷點,稱為函數的第二類間斷點.例5 ,是其間斷點,且所以是的第二類間斷點,也稱是的無窮間斷點.例6 ,是其間斷點,且時,不存在, 在內無限振蕩,故為的第二類間斷點,也稱為的振蕩間斷點.例7 設.求(1)的間斷點,并指出間斷點的類型；(2) 的連續(xù)區(qū)間.解 (1)顯然為的間斷點.又,所以為的第一類跳躍間斷點.(2) 的連續(xù)區(qū)間為例8 討論的連續(xù)性,若有間斷點,并指出間斷點的類型.解 ,當時,.當時,顯然所以顯然在內連續(xù).又所以為的第一類可去間斷點.如果重新定義則在處連續(xù).二. 連續(xù)函數的運算法則與初等函數的連續(xù)性1. 連續(xù)函數的運算法則由極限的運算法則,有定理 如果在處連續(xù),則函數也在處連續(xù).定理 (反函數的連續(xù)性)如果在區(qū)間上單調且連續(xù),則其反函數在對應的區(qū)間上單調且連續(xù).定理 (復合函數的連續(xù)性)設在處連續(xù),且,在處連續(xù),則復合函數在處連續(xù).2. 基本初等函數的連續(xù)性結論1 基本初等函數在其定義域內都是連續(xù)的.3.初等函數的連續(xù)性結論2 初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.例9 的定義域為是一個離散點集,對這樣的點不談連續(xù)性.注意在處連續(xù)的必要條件