第二章+習題解答.doc

高等數(shù)學習題解答（第二章 導數(shù)與微分） 惠州學院 數(shù)學系 參考答案 習題2-11. 設，試按導數(shù)定義求.解：2. 設（，為常數(shù)），試按導數(shù)定義求.解： 3. 用定義證明解：f (x) . 即 (cos x)=-sin x . 4. 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）.解： 5. 將一個物體鉛直上拋，經過時間（單位：）后，物體上升高度為（單位：），試求：（1）物體在1到1+t這段時間內的平均速度；（2）物體在1s時的瞬時速度；（3）物體在到這段時間內的平均速度；（4）物體在時的瞬時速度.解：（1）物體在1到1+t這段時間內的平均速度為 （m/s）（2）物體在1s時的瞬時速度為 （m/s）（3）物體在到這段時間內的平均速度為 （m/s）（4）物體在時的瞬時速度為 （m/s）6. 在拋物線上取橫坐標為的兩點，作過這兩點的割線，問拋物線上哪一點的切線平行于這條割線，并寫出這條切線的方程.解：割線的斜率， 令，得從而即曲線在點(2,4)的切線平行于該割線，其切線方程為：y-4=4(x-2),即 y-4x+4=0.7. 求曲線上點(，)處的切線方程和法線方程.解：切線的斜率：，則法線的斜率 從而所求切線方程為，法線方程為8. 求曲線的通過點(0, -4)的切線方程. 解：，則過曲線上一點的切線方程為，將(0, -4)代入直線方程得，從而所求切線方程為。9. 證明：雙曲線上任一點處的切線與兩坐標軸構成的三角形的面積都等于.證明：因為，在曲線上任取一點，則過該點的切線方程為。則該切線在x，y軸的截距分別為，于是切線與兩坐標軸所圍面積10. 討論下列函數(shù)在處的連續(xù)性與可導性：（1）；（2）；（3）解：（1），所以函數(shù)在處連續(xù)。 而，所以函數(shù)在點處不可導. （2），而，所以函數(shù)在處連續(xù)而，所以函數(shù)在點處可導. （3），而，所以函數(shù)在處連續(xù)而，所以函數(shù)在點處不可導.11. 設在處可導，求，的值。解：要使函數(shù)在處連續(xù)且可導，則應滿足存在， ，又 ，要使存在，則，。12. 設 求，。解：13. 設所給函數(shù)可導，證明：(1)奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù).(2)周期函數(shù)的導數(shù)仍為周期函數(shù)證明：(1)設，且可導，則由導數(shù)定義即結論可證。(2)略.14.設函數(shù)f(x)在x=0處可導，在什么情況下函數(shù)|f(x)|在x=0處也可導.解：當時，不妨設，則在的某一鄰域中有，故，所以在處也可導；當時，由于，其中，分別在處計算左、右極限，得在處的左導數(shù)為，右導數(shù)為，所以在處也可導的充分必要條件。習題2-21. 推導余切函數(shù)與余割函數(shù)的導數(shù)公式 解：（1）（2）。2. 證明：（1） （2）解：（1）；（2）同理可證。3. 求下列函數(shù)的導數(shù):（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）解：（1） （2） （3）從而 （4） （5） （6）= （7） （8） （9） （10）4. 求下列函數(shù)的導數(shù)（其中是常數(shù)）:（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）解：（1）(2) (3) (4) (5) (6) (7) （8） （9）5. 設函數(shù)可導，求下列函數(shù)的導數(shù):（1） （2）（3），求 （4）（5） （6）解：（1） （2） （3） 6. 討論分段函數(shù)的可導性.解：時，。 時， 時，從而，函數(shù)在x=0處連續(xù)。 ，。從而f(x)在x=0處不可導。綜合上述7. 求下列函數(shù)的導數(shù)： （1） （2）解：（1） （2）8. 求下列函數(shù)的導數(shù)（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）解：（1） （2） （3） ，于是， （4） （5） （6） （7） （8） 習題231. 求下列函數(shù)的二階導數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.解：（1）， （2）， （3） （4）， （5）， （6），2. 求下列函數(shù)在指定點的二階導數(shù)：（1），求；（2），求.解：（1） （2） 3. 驗證函數(shù)滿足關系式.解：，于是將代入得，即函數(shù)滿足關系式.4. ，求.解：因為，運用萊布尼茨公式得.5. 設，求.解：6.求下列函數(shù)的n階導數(shù)：（1）； （2）；（3），求； （4）.解：（1） （2）， （3）， ，則 （4）習題2-41.求下列隱函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1）方程兩邊對x求導得： 解得： （2）方程兩邊對x求導得：，解得： （3）方程兩邊對x求導得：，解得： （4）方程兩邊對x求導得：，解得： （5）方程兩邊對x求導得： 解得：2用對數(shù)求導法求下列函數(shù)的導函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1） 等號兩邊分別對x求導：（2）,等號兩邊分別對x求導： 即（3）等號兩邊分別對x求導：，即（4），等號兩邊分別對x求導： ，即（5），等號兩邊分別對x求導： ，即3、求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）方程兩邊對x求導：，即， 于是，即， （2）方程兩邊對x求導：，即， 于是 （3）應用隱函數(shù)的求導方法，得解得：，對此式再對求導。 （4）應用隱函數(shù)的求導方法，得，解得：，對此式再對求導 4求下列參數(shù)方程的導數(shù)：（1）；（2）；解：（1），于是 -2 （2）5、求由下列參數(shù)方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù)：（1）求 （2）求解：（1）， 由方程得，t=0時，y=,，=0 （2），6設（1）求；（2）證明曲線的切線被坐標軸所截的長度為一個常數(shù)解：（1） （2）過曲線上一任點（x, y）的切線方程為 ，則該切線在兩坐標軸的截距分別為： 7證明：曲線上任一點的法線到原點的距離恒等于證明：，過曲線上一任點（x, y）的法線方程為，即，于是，該法線到原點的距離為：8溶液從深15cm，頂直徑12cm的正圓錐形漏斗漏入一直徑為10cm的圓柱形容器中，開始時漏斗中盛滿了溶液。已知當溶液在漏斗中深為12cm時，其液面下降的速率為。問這時圓柱形容器中液面上升的速率是多少？解：設在時刻t漏斗中溶液的深度為，液面半徑為r，圓柱形容器中溶液的深度 為。由，得，依題意 ， 即， 從而， 又當時，得。 答：圓柱形容器中液面上升的速率為。習題 2-51單項選擇題：（1）設可微，則=（ ）； A、； B、； C、； D、.（2）函數(shù)在點處可微，則當很小時，（ ）； A、； B、； C、； D、.（3）設為自變量，當，時，=（ ）； A、0.3； B、0； C、0.01； D、0.03.（4）=（ ）； A、； B、； C、； D、.（5）將半徑為的球體加熱，如果球半徑增加，則球體積的增量（ ）. A、； B、； C、； D、.解：（1）（C ）；（2）（D ）；（3）（A）；（4）（D）；（5）（B）；2已知，在時，計算當分別等于0.1，0.01時的和.解：=0.1，時=1.161，=1.1；= 0.01時，=0.110601，=0.11.3函數(shù)在點處有增量，對應的函數(shù)增量的線性主部等于0.8，求在點處的導數(shù).解：依題意：4求下列函數(shù)的微分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； (8) ；（9）； （10）.解：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； (8) ；（9）； （10）5將適當?shù)暮瘮?shù)填入下列括號內，使等式成立：（1）( )=； （2）( )=；（3）( )=； （4）( )=；（5）( )=； （6）( )= .解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）.6當很小時，證明：（1）； （2）.證明：略。7利用微分求近似值：（1）； （2）； （3）； 解：（1）；（2）；（3）8某工廠每周生產件產品所獲得利潤為萬元，已知，當每周產量由100件增至102件時，試用微分求其利潤增加的近似值.解： 由題知，求因為（萬元）.即每周產量由100件增至102件可增加利潤約16萬元本章復習題A一.選擇題1.設，則在點可導的充要條件為( )(A) 存在. (B) 存在.(C) 存在. (D) 存在2.設，則使存在的最高階數(shù)為( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.3.設函數(shù)，則在內 ( )(A)處處可導 (B)恰有一個不可導點.(C) 恰有兩個不可導點 (D)至少有三個不可導點.4.函數(shù)不可導點的個數(shù)是( )(A)3 (B) 2 (C)1 . (D) 05.若函數(shù)有，則當時,該函數(shù)在處的微分是 ( )(A) (B) (C) . (D)6.在處存在左、右導數(shù)，則在點( )(A) 可導 ( B ) 連續(xù). ( C ) 不可導. ( D ) 不連續(xù). 7.設,則(A)在處必可導且 (B) 在處必連續(xù),但未必可導.(C) 在處必E有極限但未必連續(xù). (D) 以上結論都不對.8.設可導，且滿足則曲線在處的切線斜率為：(A)2. (B). (C). (D) 參考答案1. 解法一：當時，關于( A )： 由此可知若在點可導成立，反之若(A)成立成立，不能成立，如滿足(A)但不存在關于(D)：若在點可導成立，反之(D)成立，不能在連續(xù)，因而不能在處可導，如滿足(D)，但不存在再看( C )：(當它們都時)注意：易求得因此，若成立反之若( C )成立不能(即)，因為只要有界，仍有( C )成立如滿足(C)但不存在因此只能選( B )解法二：直接考慮( B )因此 應選取( B ) 2. 解因為處處任意階可導，只需考查，它是分段函數(shù)，是連接點又 即 同理可得 ，即；因在處不可導不存在.應選 ( C ) 3. 解討論函數(shù)的不可導點，應分兩步走，(1)由求得的(分段)表達式，(2)討論的不可導點.應選 ( C )當時，命取極限，得當時，命取極限，得于是再討論的不可導點按導數(shù)定義，易知處，不可導，故選( C ) 4. 解當函數(shù)中出現(xiàn)絕對值號時,就有可能出現(xiàn)不可導的”尖點”.因為這時的函數(shù)是分段函數(shù). ,當時可導,因而只須對考察是否可導.在這些點我們分別考察其左、右導數(shù)。因 即在處可導，又所以在處不可導.類似,函數(shù)在處亦不可導,因此只有2個不可導點,故應選 ( B ).（5）解：依題意： 故，選（A）（6）解：選（B）（7）解：選（D）（8）解：選（B）二. 填空題1.設函數(shù)處處可導，且有，并對任何實數(shù)和，恒有，則_2.設在處可導，則 .3.已知函數(shù)由方程確定，由 . 4.曲線上與直線垂直的切線方程為 5.設函數(shù)由方程所確定,則 6.設,則 . 7.若，則 參考答案：1解：令h=0得f(0)=0, 2解：=3解： 方程兩邊對兩次求導得以代入原方程得，以代入前方程得，再以代入后方程得 4解：依題意得，x=1, y=0,于是所求法線方程為：y=x+1. 5解：對x求導得：則 于是6解：，對x求導得： ， 從而 7解：，則， 三. 解答題試從導出：(1) ； (2) 證明 (1) ；(2) =.求下列函數(shù)所指定的階的導數(shù)：(1) 求 ； (2) 求；(3) 求 解 (1) (2)(3) 3用對數(shù)求導法求下列函數(shù)的導數(shù)：(1) 解：（1）等號兩邊取對數(shù)得：，再對x求導得： ，整理得： （2）等號兩邊取對數(shù)得：，再對x求導得：，整理得：4設其中三階可導且，求，. 解：由參數(shù)方程求導法則，得 ，從而 ， 5設，求復合函數(shù)的導數(shù)，并討論的連續(xù)性解：解 當時，,故；當時，,故當時, 故在處可導,且綜上所述有 顯然，因此，在處連續(xù)，進而易知在上連續(xù)本章復習題B一、單選題1. 函數(shù)在x=1處 （ ）不連續(xù) 連續(xù)但不可導 可導，但導函數(shù)不連續(xù) 導函數(shù)不連續(xù)2. 設函數(shù)由所確定， （ ） 3. 設在內有定義，且，則必是的（ ） 間斷點 連續(xù)而不可導點 可導點，且 可導點，且4. 函數(shù)在處 （ ） 左導數(shù)存在，右導數(shù)存在 左導數(shù)存在，右導數(shù)不存在 左導數(shù)不存在，右導數(shù)不存在 左導數(shù)不存在，右導數(shù)存在5. 曲線上點（1，0）處的切線與軸的交角為 （ ） /2 /3 /4 /66. 設周期為4的函數(shù)在內可導，則曲線在點處的切線的斜率為 （ ） 7. 設 滿足，且，其中為非零常數(shù)，則= （ ） 8. 設其中在處可導，則（ ）（A）連續(xù)點； （B）第一類間斷點；（C）第二類間斷點；（D）連續(xù)點或間斷點不能由此確定。9. 其中是有界函數(shù)，則在處（ ）（A）極限不存在；（B）極限存在但不連續(xù)；（C）連續(xù)但不可導；（D）可導。10. 設，則（ ）（A）處處不可導； （B）處處可導； （C）有且僅有一個不可導點； （D）有且僅有兩個不可導點。11. 設函數(shù)可導，當自變量x在處取得增量時，相應的函數(shù)增量的線性主部為，則（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。12. 設，則使存在的最高階導數(shù)的階數(shù)n為（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3。 13. 函數(shù)在處（ ）。不連續(xù)，不可導 不連續(xù)，可導 連續(xù)，不可導 連續(xù)，可導14. 設在點的某個鄰域內有定義，則在點處可導的一個充要條件是（ ）存在。(A) (B) (C) (D) 15. 若f(x)的導函數(shù)在處連續(xù)，且，則（ ）。(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3參考答案：一、選擇題 1、(B)； 2、(C)；3、(C)；4 (B)；5 (C)；6 (D)； 7 (C); 8、(B) 9、（D）;10 、（C）;11、(D) ；12、(C); 13、（C）；14、（D）；15、（B）;二、填空題1. 設函數(shù)，則= 2