數學人教版八年級下冊勾股定理.docx

勾股定理教學設計安福寺初級中學 易少鵬一、內容和內容解析 本節(jié)課為人教版八年級數學下冊第十八章第一節(jié)，教材64頁至66頁（不含探究1）的內容。其內容包括章前對勾股定理整章的引入：2002年北京召開的國際數學家大會的會徽及“趙爽弦圖”的簡介，反映了我國古代對勾股定理的研究成果，是對學生進行愛國主義教育的良好素材。教材正文中從畢達哥拉斯發(fā)現等腰直角三角形的邊之間的數量關系這一事實引入對勾股定理的探究，用面積法得到勾股定理的結論，而后教材又重點從“趙爽弦圖”的方法對勾股定理進行了詳細的論證；課后習題18.1的第1、2、7、11、12等題目針對勾股定理的內容適當的加以鞏固，特別是第11、12題側重對面積法運用的鞏固。勾股定理是幾何中幾個重要定理之一，揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，是對直角三角形性質的進一步學習和深入，它可以解決許多直角三角形中的計算問題，在實際生活中用途很大。它不僅在數學領域而且在其他自然科學領域中也被廣泛地應用，而說明數學是一門基礎學科，是人們生活的基本工具。學生接受勾股定理的內容“在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”這一事實從學習的角度不難，包括對它的應用也不成問題。但對勾股定理的論證，教材中介紹的面積證法即：依據圖形經過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積就不會改變。學生接受起來有障礙（是第一次接觸面積法），因此從面積的“分割”“補全”兩種方法進行演示同時學生動手親自拼接圖形構成“趙爽弦圖”并親自驗證三個正方形之間的面積關系得到勾股定理的證明。有利的讓學生經歷了“感知、猜想、驗證、概括、證明”的認知過程，感觸知識的產生、發(fā)展、形成以提高學生學習習慣和能力。本節(jié)的后續(xù)學習中，對勾股定理運用的探究和勾股定理逆命題的論證和應用，都是將圖形與數量緊密的結合，將有利的培養(yǎng)學生數形結合的意識以提高學生分析問題、解決問題的能力。同時也為后期學習四邊形、圓中的有關計算及計算物體面積奠定基礎，因此本節(jié)課無論從知識的角度還是從數學技能、數學思想方法及數學活動經驗等層面都起著舉足輕重的作用。為此，教學重點：勾股定理的內容 教學難點：勾股定理的論證二、教學目標及目標解析1、教學目標、了解勾股定理的文化背景，體驗勾股定理的探索過程，掌握勾股定理的內容。、在勾股定理的探索過程中，發(fā)展合情推理能力，體會數形結合的思想。通過觀察課件探究拼圖等活動，體驗數學思維的嚴謹性，發(fā)展形象思維，體驗解決問題方法的多樣性，并學會與人合作、與人交流，培養(yǎng)學生的合作交流意識和探索精神。、在對勾股定理歷史的了解過程中，感受數學文化，增強愛國情操，激發(fā)學習熱情，養(yǎng)成關愛生活、觀察生活、思考生活的習慣。2、目標解析、通過學生了解“趙爽弦圖”、了解“畢達哥拉斯”探究勾股定理的過程而猜想、驗證勾股定理，自愿接受這一理論事實并能簡單運用。、通過面積法探究勾股定理，讓學生感觸到直角三角形這一圖形與a2+b2=c2 數量關系建立對應關系，同時不同圖形從面積角度的論證得到面積的割補是形的變化而面積這一數量不變。更深層次的建立數形結合的方法。、通過觀察、探究的活動讓學生感觸知識的產生過程，學生從中學會合作交流，協作探究、歸納總結的學習方法，提高學生的探索能力。、勾股定理知識是我國數學領域的璀璨明珠，代表著歷代人民智慧和探索精神的結晶。通過學生親身再次重溫它的得來的過程從中感觸我國數學知識源遠流長和數學價值的偉大從中得到良好的思想的熏陶。三、教學問題診斷分析學生對勾股定理的形式容易接受甚至利用結論進行有關的計算難度也不大，但究其緣由有難度，這正是數學學習活動中學生要具備的基本的學習品質和學習技能。所以，在學習勾股定理由來的教學時，應有針對性地設計圖形形式的多樣呈現，讓學生親自動手拼接圖形來揭示概念的由來及正確性。對于圖形面積的計算學生有基本的技能，但如何最合理的進行分割或補全一時是不易理解，這屬于思想方法層面的問題，學生往往只停留在能聽懂，但不能內化的層面，需要我進行精心的設計，充分展示“分割、補全、拼湊”以發(fā)揮教師的引導作用，為學生探究一般的直角三角形的三邊關系做好鋪墊，為數學多渠道多方法的探究證明做好引導。四、教學支持條件分析根據本節(jié)課的教材內容特點，為了更直觀、形象地突出重點，突破難點，提高課堂效率，采用以觀察發(fā)現、動手操練、演算探究為主，多媒體演示為輔的教學組織方式在教學過程中，給學生提供充足的活動時間和空間，以我設計探究實驗和帶有啟發(fā)性及思考性的問題串，創(chuàng)設問題情景，啟發(fā)學生思維，學生親自動手操作、測量、演算，讓學生親身體驗知識的產生、發(fā)展和形成的過程五、教學過程設計（一）創(chuàng)設情境，導入新課。問題1：請同學們欣賞2002年國際數學家大會會場情景的的圖片，重點抽取會徽圖案，你能發(fā)現它是有什么圖形構成的？（材料附后）教師展示ppt課件，介紹數學家大會及會徽“趙爽弦圖”，學生觀察、發(fā)表意見、聆聽介紹。 【設計意圖】以國際數學家大會-“趙爽弦圖”為背景導入新課，提出問題，首先可以激發(fā)學生強烈的好奇心和求知欲，感受我國古代數學知識的偉大，進行愛國教育，增強學好數學的信心；其次讓學生在觀察、思考、交流的過程中，對勾股定理先有初步的感性認識問題2：教師板書課題，介紹直角三角形各邊的名稱。提問：你知道哪些勾股定理的知識？ 視學生回答情況確定下步的教學方案1：如果學生能夠說出勾股定理的相關知識，則直接 進入下一環(huán)節(jié)的學習。方案2：如果學生有困難，則安排學生自學教材，再發(fā)表意見。學生發(fā)言，教師傾聽。視學生回答的重點 板書 ：勾三股四弦五 等【設計意圖】教師獲得學生的知識儲備以便以后的教學定位。再次讓學生感觸勾股定理的存在、作用即勾股定理是研究直角三角形邊之間的關系的定理，明確學習目標。（二）觀察演算，合作探究，初具概念 問題3：介紹畢達哥拉斯發(fā)現勾股定理的故事。利用ppt課件展示畢達哥拉斯的發(fā)現和他的探究的過程。提問：這三個正方形之間的面積有什么關系？從中可以轉化得到等腰直角三角形三邊在數量上有什么關系？ （故事附后）教師口述故事，ppt課件同步演示；學生借助直觀的課件，學生個體或學生間觀察交流探究得到結論?！驹O計意圖】首先，故事中代出問題既激發(fā)學生的興趣又降低了學生探究的難度，讓每個學生都可做，可得；其次得到三個正方形面積間的關系而得到等腰直角三角形三邊之間的關系，由特殊的圖形為研究定理的一般性做好鋪墊；再者學生初步具有了勾股定理的雛形，即在等腰直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。問題4：畢達哥拉斯想到：這一結論是不是所有的直角三角形都具備呢？于是展開了進一步的探索。教師利用ppt課件展示，提出問題；學生利用學習案中第1題自己進一步探究，交流；猜測驗證。（學習案附后）【設計意圖】問題更深一層次，調動學生高漲的探究熱情，同時有效的滲透了由特殊到一般的數學思想。 A問題5：你是怎樣演算的？ 教師關注學生之間的交流，關注學生借助面積法探究問題的不同解法，選取代表性的方法演示。學生個體或小組探究、交流。視學生的學習情況確定下步的教學：方案1：學生能夠用面積分割法如圖一或用面積補全法如圖二的方法驗證了結論，則直接進行下一步的教學。方案2：學生不能夠得到，探究學習有困難，則教師借助ppt課件演示，精講點撥面積的割補法，對命題進行驗證?！驹O計意圖】教無定法，視學定教；學生是學習的主人，教師是學生學習的合作者。學生親自畫圖，演算，利于對結論的理解。親身感受知識的產生、形成，初步體會面積法；再次了解勾股定理。問題6：通過我們大家一起的實驗，你得到任意直角三角形的三邊之間有什么關系嗎？試用語言描述。學生描述，教師板書。 【設計意圖】加深對勾股定理內容的敘述、理解，達成目標。體會數學觀察-探究-整理-歸納的數學方法，體驗學習的成功。（三）引導實驗，探究論證，形成體系。問題7：我們已經對直角三角形三邊之間關系有了充分的認識。但它的正確性需要數學理論做基礎，我國古代數學家趙爽就對該命題進行了嚴謹的論證。我們剛才欣賞的會徽就是他的論證方法。下面我們一起進行論證。教師用ppt課件演示拼湊過程，精講強調面積的無縫、不重疊拼接得到面積相等?！驹O計意圖】上一環(huán)節(jié)是從數字上的驗證，本環(huán)節(jié)上升到理論層面，以加強數學學習的嚴謹性。讓學生學懂面積法，再次加深對勾股定理的理解。感受我國數學知識的悠久歷史，喚起愛國精神，啟發(fā)學習數學的興趣。問題8：學生用4個全等的直角三角形重新拼湊圖形并根據排放 畫出圖形并用面積法進行論證。學生或小組間進行合作實驗，共同協作探究；教師巡視指導。【設計意圖】學生自主探究，再次理解勾股定理，學會面積法論證勾股定理。培養(yǎng)學生的動手探究能力，養(yǎng)成嚴謹的學習習慣；學會交流，達到知識、方法共享，體驗合作的樂趣、合作的成功。問題9：教師選取代表性的拼接方法，全班展示。【設計意圖】共享知識，拓展思路，體會一題多解，更深層次的了解掌握勾股定理。（四）歸納提高，鞏固運用，形成能力。問題10：我們這節(jié)課研究的勾股定理是對什么的研究？它側重是研究直角三角形的什么關系？以前學習直角三角形的哪些知識？學生回憶，發(fā)言。教師強調：勾股定理的前提條件是直角三角形，也就是說其他的三角形是不具備的，但要解決其他三角形的計算問題，我們要借助輔助線（特別是高線）把它轉化為直角三角形。教師板書?！驹O計意圖】更新知識系統，逐漸完善知識脈絡，提高分析問題解決問題的能力。問題11：完成以下練習題教材69頁第1題、學生獨立完成；教師巡視指導，板書得數，介紹勾股數?！驹O計意圖】第1題針對勾股定理的直接運用。提高學生對新知識的理解、運用。鞏固目標。（五）歸納小結，反思提高問題12：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？學生談本節(jié)課的學習感受，教師梳理、概括本節(jié)課主要的學習內容，并揭示蘊涵的數學思想方法及評價學生在課堂上的表現對學生進行思想教育?！驹O計意圖】教師引導學生歸納本節(jié)課的知識要點和思想方法，使學生對直角三角形有一個整體全面認識，同時感受數形結合的數學思想。布置作業(yè)教材70頁2、8題。六、目標檢測設計1在等邊三角形中邊長為10，則該三角形的面積是多少？【設計意圖】綜合題，考查等邊三角形的三線合一、30度角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、三角形面積知識；培養(yǎng)學生的轉化意識。2在一個直角三角形中兩邊的長為3、4，則第三條邊長度是多少？【設計意圖】分類討論?？疾橹苯侨切蔚男边呑铋L及勾股定理。3、湖中直立一荷花，花朵高水1m整，忽然一陣風吹來，荷花吹離2m處，斜于水面齊，問湖水幾許深？【設計意圖】詩情畫意的情景呈現數學問題增強美的感受，在愉悅、放松的氛圍中感受數學在生活中的作用，體驗數學是一門基礎學科，增強學好學生的決心。培養(yǎng)學生的數學建模意識，提高解決問題的能力。七、板書設計附：勾股定理學習案1、 觀察下圖，直角三角形的三邊a、b、c做了正方形A、B、C的什么？認真把右邊的表填寫完成。想一想、議一議，你有什么結論？2、自主探究“趙爽弦圖”用4個全等的直角三角形、一個小的正方形拼接成一個大的正方形后用面積的方法證明了勾股定理?，F在你能用4個全等的直角三角形拼接 出現一大一小的兩個正方形來重新驗證勾股定理嗎？擺一擺、拼一拼、算一算。把你拼的圖形畫下來，把的方法展示給大家。（不同于“趙爽弦圖”）畫圖證明3、練習：不抄題，寫過程教材69頁習題18.1中第1題、70頁7題。4、中考鏈接（1）在等邊三角形中邊長為10，則該三角形的面積是多少？（2）在一個直角三角形中兩邊的長為3、4，則第三條邊長度是多少？（3）湖中直立一荷花，花朵高水1m整，忽然一陣風吹來，荷花吹離2m處，斜于水面齊，問湖水幾許深？5、作業(yè)教材69頁習題18.1中第2題、第7題。附：（材料由本人適當做了虛構，只為教學服務）材料一：這是2002年在我國北京召開的國際數學家大會的會場。國際數學家大會是全球性數學學術研究大會，被人們視為數學界的奧林匹克盛會，具有最高的學術權威。在我國召開顯示了我國數學領域的成就，也顯示了我國雄厚的國力。本屆大會的會徽精美漂亮，你能發(fā)現它是由什么圖形構成的嗎？這個會徽的圖案源于我國古代數學家趙爽在論證直角三角形三邊關系時用的圖形。它不僅美觀而且蘊含了偉大的數學知識，更彰顯了我華夏民族的聰明才智。材料二：早在2500多年前，古希臘的畢達哥拉斯就發(fā)現了直角三角形三邊間的數量關系。一天，畢達哥拉斯應邀到朋友家做客。在眾多朋友交談過程中，他無意間發(fā)現主人家地面上鋪著一塊塊漂亮的正方形地磚。地磚的圖案深深吸引著他，他在沒有心思聽別人的閑聊，時而走動、時而俯身、時而緊鎖眉頭，全神貫注的觀察起這些圖案。（同學們，你們看看這些圖案有什么圖形構成的？）你們的發(fā)現和當時的這位偉大的科學家的發(fā)現是一樣的。隨著他觀察的深入，發(fā)現這些大小如一的地磚排列是有規(guī)律的，彼此間產生著某種數量關系。他越想越興奮，完全被自己的思考迷住，以至無視朋友間的說笑。他索性拿出筆在地磚上畫起圖形。（結合課件演示）以等腰直角三角形的斜邊長為邊長向外做正方形，它的面積為4個小三角形的面積，然后再分別以兩條直角邊長為邊長分別向外做兩個正方形，它們的面積分別是2個小三角形的面積，從數量關系上得到：大正方形的面積等于兩個小正方形的面積和。當他把這一發(fā)現告訴朋友時，朋友說：“這是偶然的，不代表什么?！边@時畢達哥拉斯以全身心的