初三數(shù)學(xué)競賽試題含答案.doc

初三數(shù)學(xué)競賽試題(含答案)2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽天津賽區(qū)初賽試題參考答案及評分標準一、選擇題（本大題共5小題，每小題7分，滿分35分）（1）已知（），則的值為（B）（A）（B）（C）（D）【解】，又，.故選（B）（2）若關(guān)于的方程的一個根大于且小于，另一個根大于2且小于3，則m的取值范圍是（C）（A）（B）（C）（D）【解】根據(jù)題意，由根的判別式，得設(shè)，由已知，畫出該二次函數(shù)的大致圖象，觀察圖象，當時，有，即；當時，有，即；當時，有，即；當時，有，即綜上，.故選（C）（3）某段公路由上坡、平坡、下坡三個等長的路段組成，已知一輛汽車在三個路段上行駛的平均速度分別為，則此輛汽車在這段公路上行駛的平均速度為（D）（A）（B）（C）（D）【解】設(shè)這段公路長為3s，則三個不同路段的長度均為s，此輛汽車在各路段上行駛的時間分別為（），則此輛汽車在這段公路上行駛的平均速度為故選（D）（4）已知邊長為1的正方形ABCD，E為CD邊的中點，動點P在正方形ABCD邊上沿運動，設(shè)點P經(jīng)過的路程為，的面積為，則關(guān)于的函數(shù)的圖象大致為（A）【解】由已知，在邊長為1的正方形ABCD中，如圖，當點P在AB邊上運動時，（），；如圖，當點P在BC邊上運動時，即（），有，=；如圖，當點P在線段CE上運動時，有（），故選（A）（5）已知矩形ABCD中，AB=72，AD=56，若將AB邊72等分，過每個分點分別作AD的平行線；將AD邊56等分，過每個分點分別作AB的平行線，則這些平行線把整個矩形分成了邊長為1的7256個小正方形于是，被對角線AC從內(nèi)部穿過的小正方形（小正方形內(nèi)部至少有AC上的兩個點）共有（D）（A）130個（B）129個（C）121個（D）120個【解】根據(jù)題意，建立平面直角坐標系，使得，則因為AC與水平線（含AB與DC）、豎直線（含AD與BC）中的每一條都相交，所以有57+73=130個交點（含重合的交點）由表示直線AC的正比例函數(shù)為，于是重合的交點坐標為（，）（0，1，2，8）即有9個重合的交點因此共有個彼此不同的交點，它們將對角線AC分成120段，每段僅穿過1個小正方形，于是AC共穿過120個小正方形故選（D）二、填空題(本大題共5小題，每小題7分，滿分35分)（6）將一枚骰子擲兩次，若第一次出現(xiàn)的點數(shù)為，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為，則由，所確定的點在雙曲線上的概率等于.【解】1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)其中點（1，6），（6，1），（2，3），（3，2）在雙曲線上，因此所求的概率等于（7）計算（的整數(shù)）的值等于100【解】根號內(nèi)的被開方數(shù)可化為所以（8）若是質(zhì)數(shù)，且整除，則的末位數(shù)字是2.【解】當時，5能整除10；當是奇質(zhì)數(shù)時，為偶數(shù)，為奇數(shù)，而偶數(shù)不能整除奇數(shù)，此時不滿足“整除”的條件.綜上，.于是.由的末位數(shù)字是6，所以的末位數(shù)字是2.（9）如圖，四邊形ABCD中，若，則的長為2【解】如圖，過點A作與BC的延長線交于點E，則.在中，由，得，又，又在ACD中，ACECAD有而在RtABE中，.（10）如圖所示，在圓環(huán)的10個空格內(nèi)分別填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)字，將所有相鄰兩個格子（具有公共邊）內(nèi)的兩數(shù)之差的絕對值相加，若使這個和最大，則此最大值為50【解】設(shè)相鄰格子內(nèi)的兩數(shù)為，且，則，共有10個差，要使這10個差的和最大，其中10個被減數(shù)應(yīng)當盡量大，10個減數(shù)應(yīng)當盡量小，而每個數(shù)僅與兩個數(shù)相鄰，所以，將10，9，8，7，6各當作兩次被減數(shù)，5，4，3，2，1各當作兩次減數(shù)，可滿足條件，所以要求的最大值為如圖，是滿足條件的一種填數(shù)字的方法三、解答題（本大題共4小題，每小題滿分20分，共80分）（11）（本小題滿分20分）已知，求的值.【解】，同理，.10分由+-，得，解得.由+-，得，解得.由+-，得，解得.所以，.20分（12）（本小題滿分20分）從一個等邊三角形（如圖）開始，把它的各邊分成相等的三段，再在各邊中間一段上向外畫出一個小等邊三角形，形成六角星圖形（如圖）；然后在六角星各邊上，用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形，形成一個有18個尖角的圖形（如圖）；如果在其各邊上，再用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形（如圖），繼續(xù)下去，圖形的輪廓就能形成分支越來越多的曲線，這就是瑞典數(shù)學(xué)家科赫將雪花理想化得到的科赫雪花曲線如果設(shè)原等邊三角形邊長為a，不妨把每一次的作圖變化過程叫做“生長”，例如，第1次生長后，得圖，每個小等邊三角形的邊長為，所形成的圖形的周長為請?zhí)顚懴卤恚海ㄓ煤拇鷶?shù)式表示）第1次生長后第2次生長后第3次生長后.第n次生長后每個小等邊三角形的邊長所形成的圖形的周長【解】第1次生長后第2次生長后第3次生長后.第n次生長后每個小等邊三角形的邊長所形成的圖形的周長（13）（本小題滿分20分）已知，為正整數(shù)，關(guān)于的方程有正整數(shù)解，求，的值【解】設(shè)方程的兩個根為，則由，均為正整數(shù)，不妨設(shè)1，1，于是，即10分當時，有只有=3，=2，此時；當時，只有=2，=2，此時，；當時，有=1，得，所以，或或20分（14）（本小題滿分20分）已知點是銳角內(nèi)的一個點，且使最小，試確定點的位置，并證明你的結(jié)論【解】如圖，分別以為邊向外作正，正，連接交于點，則點即為所求5分證明