(GCT)數學真題2009年 含答案解析.pdf

2009 年年 GCT 入學資格考試數學基礎能力測試試題入學資格考試數學基礎能力測試試題 1 如圖 直角坐標系 xOy 中的曲線是二次函數 y f x 的圖像 則 f x A x2 6x 5 B x2 6x 5 C x2 4x 5 D x2 4x 5 2 A 41 B 1681 C 49 D 2401 3 如圖 長方形 ABCD AB a BC b b a 若將長方形 ABCD 繞 A 點順時針旋轉 90 則線段 CD 掃過的面積 陰影部分 等于 4 若將正偶數 2 4 6 8 10 12 14 16 依次排成一行 246810121416 則從左右數的第 101 個數碼是 A 4 B 3 C 2 D 1 5 函數 y f x 是定義在 上的周期為 3 的周期函數 右圖表示的是該函數在區(qū) 間 2 1 上的圖像 則的值等于 A 2 B 0 C 2 D 4 6 若兩個正數的等差中項為 15 等比中項為 12 則這兩數之差的絕對值等于 A 18 B 10 C 9 D 7 7 甲 乙兩車分別從 A B 兩地同時相向開出 甲車的速度是 50km h 乙車的速度是 40km h 當甲車駛到 A B 兩地路程的 再前行 50km 時與乙車相遇 A B 兩地的路程 是非曲直 km A 210 B 215 C 220 D 225 8 等腰 AB 中 AB AC 底邊 BC 3 則頂角 A 的取值范圍是 9 下圖是我國古代的 楊輝三角形 按其數字構成規(guī)律 圖中第八行所有 中誤碼填 數字和等于 A 96 B 128 C 256 D 312 10 若復數 z2 2i2 5i3 則 z1 z2 11 在直角坐標系中 若直線 y kx 與函數的圖像恰有 3 個不同的交點 則眾的取值范圍是 A 0 D 2 12 在邊長為 10 的正方形 ABCD 中 若按下圖所畫嵌入 6 個邊長一樣的小正方形 使 得 P Q M 四個頂點落在大正方形的邊上 則這六具小正方形的面積之和是 13 甲盒中有 200 個螺桿 其中 A 型的有 160 個 乙盒中有 240 個螺母 其中 A 型的 有 180 個 從甲乙兩盒中任取一個零件 能配成 A 型螺栓的概率為 14 一個四面體木塊的體積是 64cm3 若過聚在每個頂點的三個棱的中點作截面 沿所 作的四個截面切下該四面體的 4 個 角 小四面體 則剩余部分的體積是 A 32cm3 B 36cm3 C 40cm3 D 44cm3 15 設雙曲線的左 右焦點分別是 F1 F2 若 P 是該雙曲線右支上異 于頂點的一點 則以線段 PF2 為直徑的圓與以該雙曲線的實軸為直徑的圓的位置關系是 A 外離 B 相交 C 外切 D 內切 16 A B 1 C 0 D 1 17 若 則函數 f x 的最小值等于 A 2 B 1 D 0 18 設函數 g x 在上連續(xù) 若在內 g x 0 則對任意的有 19 設函數 g x 在 x 0 點某領域內有定義 若成立 則 A x 0 時 g x 是 x 的高階無窮小量 B g x 在 x 0 點可導 C lim g x 存在 但 g x 在 x 0 點不連續(xù) D g x 在 x 0 點連續(xù) 但不可導 20 若連續(xù)函數 f x 滿足 21 若可導函數 f x 滿足 f x f x f2 x 且 f 0 1 則在點 x 0 的三階導數 f 0 A 6 B 4 C 4 D 6 22 乙知 A aij 為 3 階矩陣 ATA E AT的轉置矩陣 E 是單位矩陣 若 aij 1 b 1 0 0 r 則方程組 AX b 的解 X A 1 1 0 r B 1 0 1 r C 1 1 0 r D 1 0 0 r 23 不恒為零的函數 A 恰有 3 個零點 B 恰有 2 個零點 C 至多有 1 個零點 D 沒有零點 24 若矩陣 A 是 B 的相似矩陣 則矩陣 A E E 是單位矩陣 是秩的 A 3 B 1 C 2 D 0 25 設向量 a1 1 2 0 T a2 2 3 0 T a3 0 1 1 T 3 5 k T 若 可由 a1 a2 a3線 性表示 則 k A 1 B 1 C 2 D 2 2009 年年 GCT 入學資格考試數學基礎能力測試試題入學資格考試數學基礎能力測試試題 參考答案與解析參考答案與解析 1 答案 D 解析 考查的是二次函數的圖像和解析式 由二次函數的圖像開口向上 由二次項系 數大于 0 故選項 A B 錯誤 由函數圖像過 1 0 知選項 C 錯誤 所以正確答案是 D 選項 2 答案 B 解析 考查的知識點是平方差公式和等差數列求和公式 由題可知 分子為 2010 2008 1 2009 1 2009 1 1 20092 1 1 20092 分母等于 故原式等于 所以正確的答案是 B 選項 3 答案 B 解析 面積計算題目 由題可知 陰影部分面積為所 以正確的答案為 B 選項 4 答案 D 解析 從 2 到 100 的偶數列共有 6 10 8 11 97 位數碼 后面緊接著的偶數是分別是 102 104 所以第 101 位數碼是 104 的百位數字 1 所以正確答案是 D 選項 5 答案 C 解析 周期函數題 由于函數 f x 的周期是 3 所以 f 2009 f 1 f 3 f 0 1 f 4 f 1 2 故原式等于 所以正確答案是 C 選項 6 答案 A 解析 設這兩個整數分別為 a b 由題可知 a b 15 2 30 a b 122 144 所以 所以正確的答案是 A 選 項 7 答案 D 解析 設A B兩地的距離是xkm 由題可列出方程 易解出x 225 故正確答案是 D 選項 8 答案 D 解析 三角函數題目 由題知 顯然正確的結果為 D 選項 9 答案 B 解析 由二項式系數和公式知 楊輝三角第 8 行的數 字和等于 n 7 時的二項式系數和 故結果為 27 128 選則 B 選項 10 答案 B 解 析 復 數 的 代 數 運 算 由 題 知 z2 2i2 5i3 2 5i 可 得 11 答案 C 解析 由題知 當時 直線 y kx 過點 3 2 與分段函數剛好有兩個交點 當 時 直線 y kx 僅與函數的 y 2x 8 分支有一個交點 當時 直線 y kx 與分段函數 剛好有三個交點 符合題意 當 k 2 時 直線 y kx 與分段函數的 y 2x 8 分支和 y 2 個有 一個交點 共兩個交點 綜上可知 正確的結果是選項 C 此時直線 y kx 與函數圖像剛好 有三個交點 12 答案 D 解析 平面幾何計算題目 過 Q 作線段 QR 垂直 DA 交 DA 于 R 設 DM b DN b 設 MN c 則 由圖易知 DMN RNQ 故 又 MN c NQ 5c 所以 RQ 5b 10 RN 5a 容易解得 b 2 又 5a 2b 10 所以 從而可得六個 小正方形的面積為 故正確的答案是 D 選項 13 答案 A 解析 概率計算題目 由題知 能配成 A 型螺栓意味著從甲盒和乙盒中均取出的為 A 型 所以概率為 故正確的答案是 A 選項 14 答案 A 解析 由于每個小角與原四面體相似 且相似比為 故小角的體積為整個四面體的 故剩余部分的體積為 正確的答案是 A 選項 15 答案 C 解析 圓錐曲線問題 設點 P 的坐標為 P x y PF2的中點為 M 根據雙曲線的焦半徑 公式可得 PF2 ex a 故兩個圓的半徑和為 又兩個圓的圓心 距離 利用容易計算可得 d2 s2 0 由此可以推出 d s 所以兩個圓外切 故正確的答案是 C 選項 16 答案 B 解析 極限運算 利用羅必達法則 易得 所以正確答案是 B 選項 17 答案 B 解析 函數極值問題 令 易得 x 1 或者 x 4 當 0 x 1 時 當 1 x 2 時 當 x 2 時 所以函數 f x 的最小值是在 x 1 處取 得的 且 f 1 1 故正確的答案是 B 選項 18 答案 C 解析 積分題目 易知 當時 sinx x 又由題已知在內 g x 0 故時 g sinx g x 由定積分的比較性質 不難得到對與任意的 有 故正確答案是 C 選項 19 答案 A 解析 極限的性質 由題知 故1 1 0 由高階無窮小的定義 易知 x 0 時 g x 是 x 的高階無窮小量 故正確答案是 A 選項 20 答案 C 解析 積分題目 令t x u 則 故原方程兩邊對 x 求導 得 令 x 1 得 故 正確答案是 C 選項 21 答案 A 解析 導數計算題目 由題知 f x f x 2 故 f x 2f x f x 2f3 x 進而可得 f x 6f2 x f x 6f4 x 所以 f 0 6f4 0 6 正確的答案是 A 選項 22 答案 D 解析 線性方程組問題 由題知 ATA E 故矩陣 A 滿秩 方程組 AX b 必然有唯一的 解 方程組兩邊同乘以 AT 得 ATAX EX X ATb AT 1 0 0 T 而 AT 1 0 0 T a11 0 0 T 1 0 0 T 所以正確的答案是 D 選項 23 答案 C 解析 行列式問題 由題知 又函數 f x