促進(jìn)課程改革展示首都特色——2007年高考數(shù)學(xué)北京卷對(duì).pdfVIP

2 0 0 7 年第4 6 卷第1 2 期數(shù)學(xué)通報(bào) 促進(jìn)課程改革展示首都特色 2 0 0 7 年高考數(shù)學(xué)北京卷對(duì)高中教學(xué)的導(dǎo)向述評(píng) 連春興李振雷鄭新春 北京教育學(xué)院豐臺(tái)分院1 0 0 0 7 3 北京1 2 中1 0 0 0 7 1 豐臺(tái) 二中1 0 0 0 7 1 隨著北京市2 0 0 7 年秋季高中課程改革的實(shí) 施 許多教師都對(duì)新課程 模塊化的教學(xué)內(nèi)容 全新 的教學(xué)理念及目 標(biāo)要求 能否應(yīng)對(duì)當(dāng)前的高考 表 現(xiàn)出深深的疑慮 在巨大的高考?jí)毫γ媲?甚至有 人發(fā)出這樣的感慨 高考不改革 課程改革無異于 帶著鐐銬跳舞 高考對(duì)于中學(xué)教學(xué)具有權(quán)威的導(dǎo)向作用 這是 廣大教育界同仁不爭(zhēng)的事實(shí) 難道 高考 一定要成 為制約課程改革的鐐銬 難道 高考 必然制約著教 師教學(xué)理念與行為的轉(zhuǎn)變 難道 高考 就不能發(fā)揮 強(qiáng)有力的素質(zhì)教育導(dǎo)向作用 進(jìn)而成為課程改革深 人發(fā)展的助推劑 這一系列困惑 昭示著研究高考命題導(dǎo)向作用 的意義所在 正是基于這樣的思考 筆者對(duì) 2 0 0 7 年 全國(guó)高考北京數(shù)學(xué)理科卷 以下稱試卷 的若干導(dǎo) 向進(jìn)行了深人研究 并草擬成文 談?wù)勔豢字?不 妥之處 敬請(qǐng)同行指正 導(dǎo)向之一完整地把握中學(xué)數(shù)學(xué) 高考中出一些基本上用初中所學(xué)過的知識(shí) 方 法就可解答的題目 并注重在不同知識(shí)單元交匯處 命題 通篇試卷就會(huì)給人一種渾然一體 融會(huì)貫通 的感覺 這對(duì)中學(xué)生從知識(shí)結(jié)構(gòu)上完整地把握中學(xué) 數(shù)學(xué) 具有極強(qiáng)的導(dǎo)向作用 試題的命制者在這方 面 可謂匠心獨(dú)具 圖所示 1 2 3活動(dòng)次數(shù) 例如 1 1 在 A B C中 若t a n A 1 5 0 0 B C 1 則A B I 求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù) n 從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生 求他們參加活 動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率 lu 從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生 用z 表示這兩 人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值 求隨機(jī)變量e 的分 布列及數(shù)學(xué)期望E 本題把統(tǒng)計(jì)知識(shí)中柱狀圖表達(dá)數(shù)據(jù)的方法與 概率問題有機(jī)地結(jié)合起來 使統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)從 初中到高中一脈相承 并著意考查了學(xué)生面對(duì)嶄新 的情境 捕捉隱含信息的能力 若學(xué)生能把柱狀圖 轉(zhuǎn)化為 1 0 0 名學(xué)生中 參加1 次活動(dòng)的有1 0 人 參 加2 次活動(dòng)的有5 0 人 參加3 次活動(dòng)的有4 0 人 問 題便迎刃而解 u a s 二 1 曰 了 而 二二丫 此題若由t a n A 告得S 1 n A共芳 再由正弦 分 一 一3 一1 0 J J 月 定理得月 刀稍繁 若由初中知識(shí) 過B作A C垂線 與 A C延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D 則在 R t AB C D R t AA B D順 次求B D A B更易 又如 1 8 某中學(xué)號(hào)召學(xué)生在今年春節(jié)期間至 少參加一次社會(huì)公益活動(dòng) 以下簡(jiǎn)稱活動(dòng) 該校合 唱團(tuán)共有1 0 0 名學(xué)生 他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如 再如 1 9 如圖 有一塊 半橢圓形鋼板 其長(zhǎng)半軸長(zhǎng) 為2 r 短半軸長(zhǎng)為r 計(jì)劃將 此鋼板切割成等腰梯形的形 下底A B是半橢圓的短 上底 刀的端點(diǎn)在橢圓 D I 4 2r B 記 I 2 x 梯形面積為s 狀軸上 I 求面積 其定義域 n 求面積 s以x為自 變量的函數(shù)式 并寫出 5的最大值 萬方數(shù)據(jù) 數(shù)學(xué)通報(bào)2 0 0 7 年第4 6 卷第1 2 期 該題通過 m在橢圓內(nèi)平行移動(dòng) 引發(fā)x 在 0 r 內(nèi)變化 使中學(xué)數(shù)學(xué)中兩大主干內(nèi)容 函數(shù) 與 解析幾何 結(jié)合得天衣無縫 樸實(shí)無華 毫無人為 做作之瑕 導(dǎo)向之二優(yōu)化知識(shí)的學(xué)習(xí)過程 一個(gè)中學(xué)生優(yōu)化的知識(shí)學(xué)習(xí)過程 應(yīng)該是既關(guān) 注知識(shí)的發(fā)生 又關(guān)注知識(shí)的應(yīng)用 但長(zhǎng)期以來 無 論是高考還是應(yīng)試備考 我們都非常關(guān)注公式 定 理 概念的應(yīng)用過程 而忽視其發(fā)生過程 這就造成 了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的不完整 試卷著意矯正此類 偏差 在知識(shí)發(fā)生處命題 就是對(duì)中學(xué)生優(yōu)化知識(shí) 學(xué)習(xí)過程的很好導(dǎo)向 例如考查均值定理 過去的考法通常是運(yùn)用它 求某變量的最大 最小值或取值范圍 在學(xué)生掌握 了求導(dǎo)方法后 利用均值定理求最值的作用有所降 低 但仍不失均值定理作為重要不等式模型的地 位 所以 試卷在均值不等式的知識(shí)發(fā)生處命題 考 查等號(hào)成立的條件 并兼顧知識(shí)的應(yīng)用 例如 7 如果正數(shù)a b c d 滿足a b c d 4 那么 A a b 簇c d 且等號(hào)成立時(shí)a b c d的取值唯一 B a b 十d 且等號(hào)成立時(shí)a b c d的取值唯一 C a b 簇c d 且等 號(hào) 成 立 時(shí)a b e d 的 取 值 不唯 一 D a b 十d 且等號(hào)成立時(shí)a b c d 的取值不唯一 此題由a b 4 之2 杯 麗得出a b 壓4 再由 d 之2 V c d 4 即 得a b 蘭4 二c d 當(dāng) 且僅當(dāng)a 二b 二d二2 時(shí)等號(hào)成立 故選A 又如 1 5 數(shù)列 a 中 a 2 a 二a c n c 是常數(shù) n 1 2 3 且a l a z a 成公比不為1 的 等比數(shù)列 I 求 的值 II 求 a 的通項(xiàng)公式 該題的 II 考查了推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的 基本方法 疊加 若在教學(xué)中只關(guān)注等差數(shù)列通項(xiàng) 公式的應(yīng)用 此題將變得束手無策 導(dǎo)向之三強(qiáng)化理解性學(xué)習(xí) 美籍華人數(shù)學(xué)大師陳省身教授有一句名言 數(shù) 學(xué)就是理解 真正意義的學(xué)習(xí)要把 理解 放在第一 位 而不是表面的 模仿 并在不斷學(xué)習(xí)的過程中 持續(xù)提高理解的層次 但遺憾的是 許多學(xué)生學(xué)不好數(shù)學(xué)的原因 恰 恰在于忽視對(duì)數(shù)學(xué)本原意義的理解 長(zhǎng)期在機(jī)械記 憶與模仿層面上徘徊 就大的方面而言 這類學(xué)生 的思維缺陷 往往表現(xiàn)為把常量數(shù)學(xué)中孤立 靜止 看問題的 思維習(xí)慣遷移到高中學(xué)習(xí)變量數(shù)學(xué)中來 所以高考試題如能引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到運(yùn)動(dòng) 變化是變 量數(shù)學(xué)的靈魂 認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)中的運(yùn)動(dòng) 變化比比皆 是 函數(shù)的定義域 值域 某個(gè)量的取值范圍 無不 與運(yùn)動(dòng) 變化有關(guān) 最后形成連續(xù) 變化看問題的思 維方式 并認(rèn)識(shí)到事物發(fā)展從量變到質(zhì)變的辯證規(guī) 律 以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)的理解性學(xué)習(xí) 這對(duì)中學(xué)教學(xué) 而言 可謂功莫大焉 試卷中 6 1 2 1 6 1 9 就是此類題目 例如 6 若不等式組 x 一y 0 2 x y 鎮(zhèn) 2 y 0 x y簇 a 表示的平 面區(qū)域是一個(gè)三角形 則a 的取值范圍是 A 音 C 鎮(zhèn) 音 在線性規(guī)劃的問題中 頂點(diǎn)逐個(gè)帶人目標(biāo)函數(shù) a0 a 1 二 4 D 1 或 言 確有學(xué)生只關(guān)注把區(qū)域 再篩選其解的程序性操 作 而忽視目 標(biāo)函數(shù)所確定的直線在可行域的約束 下平移 視其y 軸上截距變化獲最優(yōu)解的過程 本題 對(duì)癥下藥 突顯斜率為一1 的直線x y a 在第一 象限從左至右的連續(xù)平移變化 帶來平面區(qū)域形狀 變化的考查方式 這使單純依靠機(jī)械記憶 模仿操 作的同學(xué)不得分 使重視意義理解的同學(xué)能迅速判 知直線A B x y a 平移至點(diǎn)C 點(diǎn)D之間時(shí)不合 題意 得到答案D而不失分 這是絕好的教學(xué)導(dǎo)向 又 如 1 6 如 圖 在 R tA O 1 B 中 Z Q 4 B 一 晉 斜邊A B 4 R t AA O C可以通過R t AA O B以直線 A O為軸旋轉(zhuǎn)得到 且二面角 角 動(dòng)點(diǎn)D在斜邊A B上 B 一A 一C是直二面 血 B A l eeeeee卜叼Vl 工 求證 平面C o l 土平面 II 當(dāng)D為A B的中點(diǎn) 時(shí) 求異面直線A C 與C D所 成角的大小 m 求 刀與平面A O B 所成角的最大值 此題在題干中有運(yùn)動(dòng) 說 明R t AA O C L R t AA O B 在 題 F 0 因而函數(shù) 對(duì)命題丙不成立 故選 D 又如 1 4 已知函數(shù)f x g x 分別由下表給 歸納 操作確認(rèn)提供了機(jī)會(huì) 學(xué)生只要列出f 1 1 f 2 3 f 3 l g D 3 g 2 2 g 3 1 一切迎刃而解 再如 2 0 已知集合A a i a 2 a k k 之 2 其中a E Z i 1 2 k 由A中的元素構(gòu)成 兩個(gè)相應(yīng)的集合 S a b I a E A b E A a 十b EA T a b aEA b EA a 一b EAl x123 f x 131 x123 g x 321 則兀g 1 的值為 滿足兀g x g l f x J 的x 的值是 此題一反解析式表達(dá)函數(shù)的習(xí)慣 用表格列出 對(duì)應(yīng)值的方法確定兩函數(shù)f x g x 給學(xué)生枚舉 其中 a b 是有序數(shù)對(duì) 集合S 和T中的元素個(gè) 數(shù)分別為m和n 若對(duì)于任意的a EA 總有一a 諾A 則稱集合 A具有性質(zhì)尸 I 檢驗(yàn)集合 0 1 2 3 與 一1 2 3 是否具 有性質(zhì)尸 并對(duì)其中具有性質(zhì)尸的集合 寫出相應(yīng)的 集 合S 和T II 對(duì)任何具有性質(zhì) P的集合A 證明n S k k 一 1 2 班 判斷m和n的大小關(guān)系 并證明你的結(jié) 論 該題的 I 根據(jù)題干信息 不難判定集合 一1 2 3 具有性質(zhì)P 進(jìn)而可用枚舉的方法 寫出 相應(yīng)的 集 合S 和T 該題的 II 只 要弄 懂 具 有性質(zhì) P的集合A 一定有 a a 任T故而n叢嶸 k k 一1 2 一 題 m 則是把基礎(chǔ)知識(shí)與創(chuàng)新思維有機(jī)融合 的典范 而創(chuàng)新思維的表現(xiàn)就在于運(yùn)用歸納推理的 方法 建立兩有限集S T之間的映射 來判斷其元 素的多寡 我們可以試想 m n 是兩個(gè)抽象集合S T 元素的個(gè)數(shù) 無從 數(shù) 起 如何解決 萬般無奈之 際 從集合S T的定義所提供的信息出發(fā) 作探索 性分析又成解題的關(guān)鍵 如設(shè) a b E S 則由aE A b EA a b EA 立得 a 十b 一b EA 于是 a 十 b b T 即得S中任意元素 a b 在T中有唯一 的像 a b b 與之對(duì)應(yīng) 這就有歸納的意味了 進(jìn) 一步 映射 f a b 卜 a b b 會(huì)不會(huì) 多對(duì)一 呢 這還離不開枚舉的方法 如設(shè) a b 1 C a t 乓 是S 中兩個(gè)不同的元素 易知T 中的像 a b l b a 2 b 2 b 2 也不同 反過來 T 中的元素在S中都有 原像嗎 類比 上述推證 可得肯定的 結(jié)論 于是 f 為 一一映射 即 有m二n 導(dǎo)向之五 關(guān)注基礎(chǔ) 回歸課本 試卷選擇題 填空題關(guān)注基礎(chǔ) 回歸課本 平和 清新 絕大部分題目 都能在大綱教材 人教社版 中 萬方數(shù)據(jù) 數(shù)學(xué)通報(bào)2 0 0 7 年第4 6 卷第1 2 期 找到出處 見下表 題號(hào)大綱教材 人教版 中的位置 備注 1 第一冊(cè) 下 P 2 2 習(xí)題4 3 第 9 題 相同 2 第一冊(cè) 上 第6 2 頁表格改編 3 第二冊(cè) 下A 習(xí)題9 5 的第 8 題 改編 4 第一冊(cè) 下 第1 6 1 頁復(fù)習(xí)參 考題五的B組第6 題 改編 5 第二冊(cè) 下A 第1 2 4 頁參考 例題 簡(jiǎn)單改編 6 第二冊(cè) 上 第8 7 頁復(fù)習(xí)參 考題七B組第1 1 題 簡(jiǎn)單改編 7 第二冊(cè) 上 第2 6 頁小結(jié)與 復(fù)習(xí)中的參考例題1 極為類似 9 是對(duì)學(xué)生復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的 基本要求 教材中比比皆是 1 0 第一冊(cè) 上 第1 3 5 頁復(fù)習(xí)參 考題三中B組第2 題 簡(jiǎn)化 1 1 是解斜三角形的基本題目 教材中俯拾可見 1 2 第一冊(cè) 上 第4 3 頁復(fù)習(xí)參 考題一B組第3 題 簡(jiǎn)化 如此導(dǎo)向 對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中事實(shí)存在的 重 教輔 輕教材 的傾向 無疑是絕好的矯正 導(dǎo)向之六z a 氏 難度 規(guī)避題型 遏制 題海戰(zhàn)術(shù) 試卷解答題簡(jiǎn)潔明快 難度降低 淡化技巧 規(guī) 避題型 它首先破除了三角題作為解答題之首的慣 例 而把長(zhǎng)期以來經(jīng)常放置壓軸地位的數(shù)列題降低 難度后作為解答題的第一題 1 5 解析幾何一反涉 及直線與圓錐曲線關(guān)系一道大題的慣例 出了兩道 較為簡(jiǎn)單的題 其中一道以直線型題干 1 7 為基 礎(chǔ) 另一道則是 前面提及的 1 9 利用導(dǎo)數(shù)求半個(gè) 橢圓的內(nèi)接等腰梯形面積最大值的題目 而對(duì)大家 關(guān)注的也是過去?？嫉睦脤?dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)圖 像與性質(zhì)的題目 予以回避 也許正是因?yàn)榘讶ツ旮?考中六大知識(shí)板塊匹配六道綜合題的模式破的無 影無蹤 才被多數(shù)考生詼諧地稱之為 不按套路出 牌 筆者曾走訪過部分考生 他們有人甚至談到考 前幾個(gè)月的解題訓(xùn)練 對(duì)提高成績(jī)作用不大 這是 一個(gè)很有意思的話題 試想我們最后的幾個(gè)月 所 有的高三學(xué)生都在進(jìn)行解題的強(qiáng)化訓(xùn)練 它的作用 竟受到質(zhì)疑 難道我們長(zhǎng)期青睞的 題海戰(zhàn)術(shù) 真的 受到遏制 就 題海 戰(zhàn) 禾 的 本質(zhì)而言 它追求對(duì)知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn)的全面覆蓋 追求對(duì)各種題型的解題技巧 方法乃至從中總結(jié)出來的各種解題原則 能夠準(zhǔn)確 記憶與熟練應(yīng)用 這些對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)固然重要 但它容易導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中 重視技能 的熟練應(yīng)用 而忽視學(xué)科思想的全面掌握 重視結(jié) 論的運(yùn)用過程 而忽視知識(shí)的發(fā)生與意義的理解過 程 就試卷的風(fēng)格而言 它不追求對(duì)知識(shí)的全面覆 蓋 而追求重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考查 如函數(shù)與解析幾 何 它不追求對(duì)已形成套路的人為技巧的熟練運(yùn) 用 如根系關(guān)系 而加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí) 通性通法的 考查 追求嶄新的題干情境 靈活的表述方式 如理 1 4 1 8 著意考查學(xué)生面對(duì)現(xiàn)實(shí)的問題 捕捉 隱含信息 并以研究者的心態(tài)分析 解決問題的能 力 如理 2 0 這些考風(fēng)的變化無疑遏制了 題海 戰(zhàn)術(shù) 優(yōu)長(zhǎng)之處的發(fā)揮 造成部分考生面對(duì) 生面孔 的容易題 束手無策的尷尬 這一點(diǎn)從今年考題大 大易于去年 但市平均分僅比去年高 2 分的事實(shí)可 以佐證 難怪學(xué)生發(fā)出 考前幾個(gè)月的解題訓(xùn)練 對(duì)提高成績(jī)作用不大