高考必做的百例導數壓軸題.doc

導數專題目錄一、導數單調性、極值、最值的直接應用 （1）二、交點與根的分布（23）三、不等式證明（31）（一）作差證明不等式（二）變形構造函數證明不等式（三）替換構造不等式證明不等式四、不等式恒成立求字母范圍（51）（一）恒成立之最值的直接應用（二）恒成立之分離常數（三）恒成立之討論字母范圍五、函數與導數性質的綜合運用（70）六、導數應用題（84）七、導數結合三角函數（85）書中常用結論，變形即為，其幾何意義為上的的點與原點連線斜率小于1.一、導數單調性、極值、最值的直接應用1. （切線）設函數.（1）當時，求函數在區(qū)間上的最小值；（2）當時，曲線在點處的切線為，與軸交于點求證：.解：(1)時，由，解得. 的變化情況如下表：01-0+0極小值0 所以當時，有最小值.(2)證明：曲線在點處的切線斜率 曲線在點P處的切線方程為. 令，得， ，即. 又， 所以.2. （2009天津理20，極值比較討論）已知函數其中當時，求曲線處的切線的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當時，求函數的單調區(qū)間與極值.解：本小題主要考查導數的幾何意義、導數的運算、利用導數研究函數的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分兩種情況討論：，則.當變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，則，當變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3. 已知函數設兩曲線有公共點，且在公共點處的切線相同，若，試建立 關于的函數關系式，并求的最大值；若在(0,4)上為單調函數，求的取值范圍。4. （最值，按區(qū)間端點討論）已知函數f(x)=lnx.(1)當a0時，判斷f(x)在定義域上的單調性；(2)若f(x)在1,e上的最小值為，求a的值.解：(1)由題得f(x)的定義域為(0,)，且 f (x).a0，f (x)0，故f(x)在(0,)上是單調遞增函數.(2)由(1)可知：f (x)，若a1，則xa0，即f (x)0在1,e上恒成立，此時f(x)在1,e上為增函數，f(x)minf(1)a，a (舍去).若ae，則xa0，即f (x)0在1,e上恒成立，此時f(x)在1,e上為減函數，f(x)minf(e)1，a(舍去).若ea1，令f (x)0，得xa.當1xa時，f (x)0，f(x)在(1,a)上為減函數；當ax0，f(x)在(a,e)上為增函數，f(x)minf(a)ln(a)1a.綜上可知：a.5. （最值直接應用）已知函數，其中.（）若是的極值點，求的值；（）求的單調區(qū)間；（）若在上的最大值是，求的取值范圍.解：（）.依題意，令，解得 . 經檢驗，時，符合題意. （）解： 當時，.故的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是. 當時，令，得，或.當時，與的情況如下：所以，的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是和.當時，的單調減區(qū)間是. 當時，與的情況如下：所以，的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是和. 當時，的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是.綜上，當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；當時，的減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和.（）由（）知 時，在上單調遞增，由，知不合題意.當時，在的最大值是，由，知不合題意.當時，在單調遞減，可得在上的最大值是，符合題意. 所以，在上的最大值是時，的取值范圍是.6. （2010北京理數18）已知函數=ln(1+)-+(0).()當=2時，求曲線=在點(1,(1)處的切線方程；()求的單調區(qū)間.解：（I）當時，由于，所以曲線在點處的切線方程為 即（II），.當時，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，. 故得單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.當時，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.當時， 故得單調遞增區(qū)間是.當時，得，.所以沒在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是7. （2010山東文21，單調性）已知函數當時，求曲線在點處的切線方程；當時，討論的單調性.解：因為 ， 所以 ， 令 8. (是一道設計巧妙的好題，同時用到e底指、對數，需要構造函數，證存在且唯一時結合零點存在性定理不好想，聯(lián)系緊密)已知函數若函數 (x) = f (x)，求函數 (x)的單調區(qū)間；設直線l為函數f (x)的圖象上一點A(x0，f (x0)處的切線，證明：在區(qū)間(1,+)上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y=g(x)相切解：（） ，且，函數的單調遞增區(qū)間為 （） ， 切線的方程為, 即, 設直線與曲線相切于點，,. 直線也為， 即， 由得 ， 下證：在區(qū)間（1,+）上存在且唯一.由（）可知，在區(qū)間上遞增又，結合零點存在性定理，說明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一，故結論成立9. （最值應用，轉換變量）設函數(1)討論函數在定義域內的單調性；(2)當時，任意，恒成立，求實數的取值范圍解：當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為，當時，減區(qū)間為當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為，由知，當時，在上單調遞減，即恒成立，即，又，10. （最值應用）已知二次函數對都滿足且，設函數（，）（）求的表達式；（）若，使成立，求實數的取值范圍； （）設，求證：對于，恒有 解：（）設，于是所以 又，則所以 3分 （）當m0時，由對數函數性質，f（x）的值域為R；4分當m=0時，對，恒成立； 5分 當m0時，在區(qū)間（0，1）上的單調遞減，在區(qū)間（1，4）上單調遞增，函數在區(qū)間上的最小值為又，函數在區(qū)間0，4上的值域是，即又在區(qū)間0，4上是增函數，且它在區(qū)間0，4上的值域是.，存在使得成立只須5+ln2 x=0時在0，3上最小值=5+ln2.若在區(qū)間0，m上單調，有兩種可能令0得b2x，在0，m上恒成立 而y=2x在0，m上單調遞增，最大值為2m，b2m.令0 得b2x，而 y=2x在0，m單增，最小為y=，b.故b2m或b時在0，m上單調.23. （單調性，用到二階導數的技巧）已知函數若，求的極大值；若在定義域內單調遞減，求滿足此條件的實數k的取值范圍.解：定義域為 令 由由即上單調遞增，在上單調遞減時，F(xiàn)(x)取得極大值 的定義域為(0，+)，由G (x)在定義域內單調遞減知：在(0，+)內恒成立令，則 由當時為增函數當時，為減函數當x = e時，H(x)取最大值故只需恒成立，又當時，只有一點x = e使得不影響其單調性 二、交點與根的分布24. （2008四川22，交點個數與根的分布）已知是函數的一個極值點求；求函數的單調區(qū)間；若直線與函數的圖像有個交點，求的取值范圍解：，是函數的一個極值點，由， 令，得，和隨的變化情況如下：1300增極大值減極小值增的增區(qū)間是，；減區(qū)間是(1,3)由知，在上單調遞增，在上單調遞增，在上單調遞減，又時，；時，；可據此畫出函數的草圖（圖略），由圖可知，當直線與函數的圖像有3個交點時，的取值范圍為25. 已知函數在上是減函數，在上是增函數，函數在上有三個零點（1）求的值； （2）若1是其中一個零點，求的取值范圍；（3）若，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g(x)相切？請說明理由.=2x+lnx，設過點（2，5）與曲線g (x)的切線的切點坐標為，即 ，令h(x)=，=0，h(x)在（0，2）上單調遞減，在（2，）上單調遞增又，h(2)=ln2-10，h(x)與x軸有兩個交點，過點（2，5）可作2條曲線y=g(x)的切線.26. （交點個數與根的分布）已知函數求在區(qū)間上的最大值是否存在實數使得的圖像與的圖像有且只有三個不同的交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。解：當即時，在上單調遞增，當即時，當時，在上單調遞減，綜上函數的圖像與的圖像有且只有三個不同的交點，即函數的圖像與軸的正半軸有且只有三個不同的交點。當時，是增函數；當時，是減函數；當時，是增函數；當或時，當充分接近0時，當充分大時，要使的圖像與軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須即存在實數，使得函數與的圖像有且只有三個不同的交點，的取值范圍為27. （交點個數與根的分布）已知函數求f(x)在0,1上的極值；若對任意成立，求實數a的取值范圍；若關于x的方程在0，1上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍.解：，令（舍去）單調遞增；當遞減. 上的極大值.由得設，依題意知上恒成立， 上單增，要使不等式成立，當且僅當 由令，當上遞增；上遞減，而，恰有兩個不同實根等價于 28. (2009寧夏，利用根的分布)已知函數如，求的單調區(qū)間；若在單調增加，在單調減少，證明：6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：時，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當當從而單調減少.由條件得從而因為所以將右邊展開，與左邊比較系數得，故又由此可得于是 w.w 29. （2009天津文，利用根的分布討論）設函數，其中當時，求曲線在點處的切線的斜率求函數的單調區(qū)間與極值已知函數有三個互不相同的零點，且，若對任意的恒成立，求的取值范圍.解：當所以曲線在點處的切線斜率為1.，令，得到因為，當x變化時，的變化情況如下表：+00+極小值極大值在和內減函數，在內增函數。函數在處取得極大值，且=函數在處取得極小值，且=由題設所以方程=0由兩個相異的實根，故，且，解得因為（難點）若，而，不合題意；若則對任意的有則，又，所以函數在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是,解得，綜上，m的取值范圍是30. （2007全國II理22，轉換變量后為根的分布）已知函數（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：解：（1）在點處的切線方程為，即（2）如果有一條切線過點，則存在，使若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數根記，則當變化時，變化情況如下表：000極大值極小值如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數根，則即31. 已知函數在點處的切線方程為求函數的解析式；若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，求實數的最小值；若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍解：2分根據題意，得即解得3分所以4分令，即得12+增極大值減極小值增2因為，所以當時，6分則對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有，所以所以的最小值為48分因為點不在曲線上，所以可設切點為則因為，所以切線的斜率為9分則=，11分即因為過點可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的實數解所以函數有三個不同的零點則令，則或02+增極大值減極小值增則 ，即，解得32. （2011省模，利用的結論，轉化成根的分布分題）已知，函數（其中）（I）求函數在區(qū)間上的最小值；（II）是否存在實數，使曲線在點處的切線與y軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。33. 已知函數，函數是區(qū)間-1，1上的減函數. （I）求的最大值； （II）若上恒成立，求t的取值范圍； （）討論關于x的方程的根的個數解：（I），上單調遞減，在-1，1上恒成立，故的最大值為（II）由題意（其中），恒成立，令，則，恒成立，（）由令當來源上為增函數；當時，為減函數；當來源:學*科*網而方程無解；當時，方程有一個根；當時，方程有兩個根.三、不等式證明作差證明不等式34. （2010湖南，最值、作差構造函數）已知函數(1)求函數的單調遞減區(qū)間；(2)若，求證：x解：(1)函數f (x)的定義域為(1，+),，由 得：，x0,f (x)的單調遞減區(qū)間為(0，+).(2)證明：由(1)得x(1，0)時，當x(0，+)時，且x1時，f (x)f (0)，0，x 令，則，1x0時，x0時，且x1時，g (x)g (0)，即0，x1時，x35. （2007湖北20，轉換變量，作差構造函數，較容易）已知定義在正實數集上的函數，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同用表示，并求的最大值；求證：當時，解：設與在公共點處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當，即時，；當，即時，故在為增函數，在為減函數，于是在的最大值為設，則故在為減函數，在為增函數，于是函數在上的最小值是故當時，有，即當時，36. （2009全國II理21，字母替換，構造函數）設函數有兩個極值點，且求的取值范圍，并討論的單調性；證明：.解: 令，其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根，其充要條件為，得當時，在內為增函數；當時，在內為減函數；當時，在內為增函數；由知，由得，設，則當時，在單調遞增；當時，在單調遞減。所以，故 變形構造函數證明不等式37. （變形構造新函數，一次）已知函數試討論在定義域內的單調性；當1時，證明：，求實數的取值范圍解：函數的定義域為，當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當0時，增區(qū)間為；當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為當0時，在區(qū)間(0,1)上單調遞增，不妨設，則，等價于，即構造，則0在上是增函數，當時，即，即又當0時，在區(qū)間(0,1)上單調遞增，即38. （2011遼寧理21，變形構造函數，二次）已知函數.討論函數的單調性；設，如果對任意，求的取值范圍.解：的定義域為（0，+）. .當時，0，故在（0，+）單調增加；當時，0，故在（0，+）單調減少；當10時，令=0，解得.則當時，0；時，0.故在單調增加，在單調減少.不妨假設，而1，由知在（0，+）單調減少，從而 ，等價于， 令，則等價于在（0，+）單調減少，即.從而,設并設，故a的取值范圍為（，2.39. （2010遼寧文21，構造變形，二次）已知函數.討論函數的單調性； KS*5U.C#設，證明：對任意，.解： f(x)的定義域為(0,+)，.當a0時，0，故f(x)在(0,+)單調增加；當a1時，0, 故f(x)在(0,+)單調減少；當1a0時，令0,解得x=.當x(0, )時, 0；x(，+)時，0, 故f(x)在（0, ）單調增加，在（，+）單調減少.不妨假設x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調減少.所以等價于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4.設，1，對稱軸為，結合圖象知0，于是0.從而g(x)在（0,+）單調減少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2(0,+) ，40. （遼寧，變形構造，二次）已知函數f(x)=x2ax+(a1)，.（1）討論函數的單調性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）證明：若，則對任意x,x，xx，有.解：(1)的定義域為.若即,則，故在單調增加。若,而,故,則當時，;當及時，故在單調減少，在單調增加。若,即,同理在單調減少，在單調增加.考慮函數 則（另一種處理）由于1a5,故，即g(x)在(4, +)單調增加，從而當時有，即，故，當時，有.（另一種處理），結合二次函數圖象設041. 已知函數（1）確定函數的單調性；（2）若對任意，且，都有，求實數a的取值范圍。42. （變形構造）已知二次函數和“偽二次函數”（、），(I)證明：只要，無論取何值，函數在定義域內不可能總為增函數；(II)在二次函數圖象上任意取不同兩點，線段中點的橫坐標為，記直線的斜率為， (i)求證：；(ii)對于“偽二次函數”，是否有同樣的性質?證明你的結論. 解：（I）如果為增函數,則(1)恒成立, 當時恒成立, (2) 由二次函數的性質, (2)不可能恒成立.則函數不可能總為增函數. 3分（II）（i） =.由, 則-5分（ii）不妨設,對于“偽二次函數”: =, (3) 7分由()中(1),如果有()的性質，則 , (4) 比較(3)( 4)兩式得，即：，(4) -10分不妨令， (5)設，則， 在上遞增， . (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,. “偽二次函數”不具有()的性質. -12分43. (變形構造，第2問用到均值不等式)已知定義在正實數集上的函數f(x)x24ax1，g(x)6a2lnx2b1，其中a0.設兩曲線yf(x)，yg(x)有公共點，且在該點處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值；設h(x)f(x)g(x)8x，證明：若a1，則h(x)在(0,)上單調遞增；設F(x)f(x)g(x)，求證：對任意x1,x2(0,)，x1x2有8.解：設f(x)與g(x)交于點P(x0，y0)，則有f(x0)g(x0)，即x4ax016a2lnx02b1.又由題意知f(x0)g(x0)，即2x04a.由解得x0a或x03a(舍去)將x0a代入整理得ba23a2lna.令s(a)a23a2lna，則s(a)2a(13lna)，a(0,)時，s(a)遞增，a(,)時，s(a)遞減，所以s(a)s()，即b，b的最大值為.h(x)f(x)g(x)8x，h(x)2x4a8，因為a1，所以h(x)2x4a84a4a84(1)(1)80，即h(x)在(0,)內單調遞增由知x1x2時，h(x1)h(x2)，即F(x1)8x1F(x2)8x2.因為x1x2，所以8.44. 已知函數，a為正常數若，且a，求函數的單調增區(qū)間；在中當時，函數的圖象上任意不同的兩點，線段的中點為，記直線的斜率為，試證明：若，且對任意的，都有，求a的取值范圍解：a，令得或,函數的單調增區(qū)間為.證明：當時, ,又不妨設 ， 要比較與的大小，即比較與的大小，又， 即比較與的大小 令,則,在上位增函數又， ，即 ， 由題意得在區(qū)間上是減函數 當， 由在恒成立設，則在上為增函數，. 當， 由在恒成立設，為增函數,綜上：a的取值范圍為.45. 已知函數（）（）求函數的單調區(qū)間；（）記函數的圖象為曲線設點,是曲線上的不同兩點如果在曲線上存在點，使得：；曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數存在“中值相依切線”試問：函數是否存在“中值相依切線”，請說明理由解：（）易知函數的定義域是，1分 當時，即時, 令,解得或;令,解得2分 所以，函數在和上單調遞增,在上單調遞減 當時，即時, 顯然，函數在上單調遞增；3分 當時，即時, 令,解得或; 令,解得4分 所以，函數在和上單調遞增,在上單調遞減綜上所述，當時,函數在和上單調遞增,在上單調遞減；當時,函數在上單調遞增；當時,函數在和上單調遞增,在上單調遞減5分（）假設函數存在“中值相依切線”設,是曲線上的不同兩點，且，則 7分曲線在點處的切線斜率，8分依題意得：化簡可得： ，即= 10分 設 （），上式化為：, 即 12分 令, 因為,顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立 所以在內不存在,使得成立綜上所述，假設不成立所以，函數不存在“中值相依切線”14分46. 已知函數.（1）若對任意的恒成立，求實數的取值范圍；（2）當時，設函數，若，求證解：（1）,，即在上恒成立設,，時，單調減，單調增，所以時，有最大值.，所以.（2）當時，,所以在上是增函數，上是減函數.因為，所以即,同理.所以又因為當且僅當“”時，取等號.又，,所以,所以，所以：.47. 已知(1) 求函數在上的最小值；(2) 對一切，恒成立，求實數a的取值范圍；(3) 證明: 對一切，都有成立解： (1) ，當，單調遞減，當，單調遞增 ，t無解； ，即時，； ，即時，在上單調遞增，；所以 (2)，則，設，則，單調遞減，單調遞增，所以.因為對一切，恒成立，所以；（3） 問題等價于證明，由可知的最小值是，當且僅當時取到，設，則，易得，當且僅當時取到，從而對一切，都有成立48. （2011陜西21，變形構造，反比例）設函數定義在上，導函數，（1）求的單調區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關系；（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由解：（1），（為常數），又，所以，即，；，令，即，解得，當時，是減函數，故是函數的減區(qū)間；當時，是增函數，故是函數的增區(qū)間；所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以的最小值是（2），設，則，當時，即，當時，因此函數在內遞減，當時，=0，；當時，=0， （3）滿足條件的不存在證明如下：證法一 假設存在，使對任意成立，即對任意有 但對上述的，取時，有，這與左邊的不等式矛盾，因此不存在，使對任意成立證法二 假設存在，使對任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而時，的值域為，當時，的值域為，從而可以取一個值，使，即,，這與假設矛盾不存在，使對任意成立49. 已知函數，（）求的極值（）若在上恒成立，求的取值范圍（）已知，且，求證解：（1），令得 ，為增函數，為減函數有極大值 4分（2）欲使在上恒成立， 只需 在上恒成立設，為增函數,，為減函數時，是最大值 只需，即8分 （3）由（2）可知在上單調增， ，那，同理相加得 ， 得： .變式. 【黑龍江省大慶實驗中學2013-2014學年度上學期期中考試高三理科數學試題】（本小題滿分12分）已知函數（1）試求函數的單調區(qū)間和極值（2）若 直線與曲線相交于不同兩點，若 試證明.50. 已知函數的圖象為曲線, 函數的圖象為直線.() 當時, 求的最大值;() 設直線與曲線的交點的橫坐標分別為, 且, 求證: .解：（1） 單調遞增，單調遞減， （2）不妨設，要證只需證 ，即，令，只需證， 令 在單調遞增。 ，在單調遞增。，所以51. 已知函數，其中常數若處取得極值，求a的值；求的單調遞增區(qū)間；已知若，且滿足，試比較的大小，并加以證明。替換構造不等式證明不等式52. （第3問用第2問）已知，直線與函數的圖像都相切，且與函數的圖像的切點的橫坐標為1。 （I）求直線的方程及m的值； （II）若，求函數的最大值。 （III）當時，求證：解：（I）的斜率為1，且與函數的圖像的切點坐標為（1，0），的方程為又與函數的圖象相切，有一解。由上述方程消去y，并整理得依題意，方程有兩個相等的實數根，解之，得m=4或m=-2， （II）由（I）可知，單調，當時，單減。，取最大值，其最大值為2。 （III）證明，當時，53. 已知函數、（）求函數的單調區(qū)間；（）若為正常數，設，求函數的最小值；（）若，證明：、解:（），解，得；解，得.的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是. 3（），定義域是.5由，得，由，得 函數在上單調遞減；在上單調遞增7故函數的最小值是：. 8（）， 在（）中取，可得，即.10，.即.1254. （替換構造不等式）已知函數在點的切線方程為.求函數的解析式；設，求證：在上恒成立；（反比例，變形構造）已知，求證：.（替換構造）解：將代入切線方程得.，化簡得.，解得. .由已知得在上恒成立化簡，即在上恒成立設，. ，即在上單調遞增，在上恒成立 .，由知有， 整理得當時，.55. （替換證明）已知函數（1）試判斷函數的單調性； （2）設，求在上的最大值；（3）試證明：對任意，不等式都成立（其中是自然對數的底數）解：（1）函數的定義域是由已知令，得因為當時，；當時，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減（2）由（1）可知當，即時，在上單調遞增，所以當時，在上單調遞減，所以當，即時，綜上所述，（3）由（1）知當時所以在時恒有，即，當且僅當時等號成立因此對任意恒有因為，所以，即因此對任意，不等式56. （2010湖北，利用結論構造）已知函數的圖象在點處的切線方程為.（反比例，作差構造）.（替換構造）解：本題主要考察函數、導數、不等式的證明等基礎知識，同事考察綜合運用數學知識進行推理論證的能力和分類討論的思想。，則有，解得.由知，令， 則 ，當 ， 若 ，則，是減函數，所以 ，故在上恒不成立。時， 若，故當時，。 綜上所述，所求的取值范圍為由知：當時，有.令，有當時，令，有 即 ，將上述個不等式依次相加得,整理得.57. 已知的圖像在點處的切線與直線平行.（1）求a，b滿足的關系式；（2）若上恒成立，求a的取值范圍；（3）證明： （nN*）解：（），根據題意，即.（）由（）知，令，則，=當時， ，若，則，在減函數，所以，即在上恒不成立時，當時，在增函數，又，所以綜上所述，所求的取值范圍是.（）由（）知當時，在上恒成立取得令，得，即,所以上式中n=1，2，3，n，然后n個不等式相加得58. 已知函數（1）求函數的極值點。（2）若恒成立，試確定實數的取值范圍。（3）證明：.解：(1)的定義域為（1，+），.當時，則在（1，+）上是增函數。在（1，+）上無極值點.當時，令，則.所以當時，在上是增函數， 當時，在上是減函數。時，取得極大值。綜上可知，當時，無極值點；當時，有唯一極值點.(2)由(1)可知，當時，不成立.故只需考慮.由(1)知，若恒成立，只需即可，化簡得：,所以的取值范圍是1，+）.(3)由(2)知，. 59. (替換構造)已知函數求函數的單調區(qū)間；若0恒成立，試確定實數的取值范圍；（一次，作差構造）證明：當時，；.解：函數的定義域為中，.當0時，則在上是增函數.當時，在上是增函數，在上是減函數.由知，當0時，在上是增函數.而，0不成立.當時，由知，要使0恒成立，則0，解得1.由知當時，有在上恒成立，且在是減函數.又，當時，即.令則即，從而.成立.60. （2011浙江