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第二章完全信息靜態(tài)博弈 本章介紹完全信息靜態(tài)博弈 完全信息靜態(tài)博弈即各博弈方同時決策 且所有博弈方對各方得益都了解的博弈 囚徒的困境 齊威王田忌賽馬 猜硬幣 石頭剪子布 古諾產(chǎn)量決策都屬于這種博弈 完全信息靜態(tài)博弈屬于非合作博弈最基本的類型 本章介紹完全信息靜態(tài)博弈的一般分析方法 納什均衡概念 各種經(jīng)典模型及其應(yīng)用等 本章分六節(jié) 2 1基本分析思路和方法2 2納什均衡2 3無限策略博弈分析和反應(yīng)函數(shù)2 4混合策略和混合策略納什均衡2 5納什均衡的存在性2 6納什均衡的選擇和分析方法擴(kuò)展 2 1基本分析思路和方法 2 1 1上策均衡2 1 2嚴(yán)格下策反復(fù)消去法2 1 3劃線法2 1 4箭頭法 2 1 1上策均衡 上策 不管其它博弈方選擇什么策略 一博弈方的某個策略給他帶來的得益始終高于其它的策略 至少不低于其他策略的策略囚徒的困境中的 坦白 雙寡頭削價中 低價 上策均衡 一個博弈的某個策略組合中的所有策略都是各個博弈方各自的上策 必然是該博弈比較穩(wěn)定的結(jié)果上策均衡不是普遍存在的 為什么上策均衡不是普遍存在的 因為博弈方的最優(yōu)策略隨其他博弈方的策略而變化正是博弈問題的根本特征 是博弈關(guān)系相互依存性的主要表現(xiàn)形式 如齊王田忌賽馬 古諾產(chǎn)量博弈 猜硬幣等 任何策略都不是絕對最優(yōu)的 每個博弈方都沒有絕對偏好的上策 上策均衡不普遍存在正是博弈理論的價值所在 如果普遍存在 與一般的個人優(yōu)化問題沒有實質(zhì)區(qū)別 博弈分析也就不會有什么新意 更不可能成為一門獨立的理論 更不可能成為一種重要的 革命的理論方法了 2 1 2嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 嚴(yán)格下策 不管其它博弈方的策略如何變化 給一個博弈方帶來的收益總是比另一種策略給他帶來的收益小的策略與上策均衡的區(qū)別與聯(lián)系 1 上策均衡是一種選擇法的思路 即從所有可選策略中選出最好一種的思路 而嚴(yán)格下策是一種排除的思路 即排除法 兩種在形式上正好相反 如囚徒困境中 不坦白 是 坦白 的嚴(yán)格下策 2 有些博弈不存在上策均衡但卻存在某些嚴(yán)格下策 因此只可以運(yùn)用嚴(yán)格下策反復(fù)消去法而不能運(yùn)用上策均衡 一般來說 嚴(yán)格下策反復(fù)消去法比上策均衡分析的適用面要廣一些 如下列博弈 嚴(yán)格下策反復(fù)消去法能否解決所有的博弈問題呢 不能 如猜硬幣 齊王田忌賽馬 石頭剪刀布等賭勝博弈 失效的原因是什么呢 仍然是在典型的博弈問題中 博弈方之間普遍存在策略依存的特征 也就是說 一個博弈方的不同策略之間 往往不存在絕對的優(yōu)劣關(guān)系 而只存在相對的 有條件的優(yōu)劣關(guān)系 因此利用策略之間的絕對優(yōu)劣關(guān)系分析篩選的嚴(yán)格下策反復(fù)消去法也無法應(yīng)用 因此也不能成為博弈分析的一般方法論 2 1 3劃線法 基于上策均衡和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法的局限性 我們必須進(jìn)一步尋找更普遍適用的博弈分析方法 那應(yīng)該向什么方向?qū)ふ疫@種方法呢 必然是以策略之間的相對優(yōu)劣關(guān)系 而不是絕對優(yōu)劣關(guān)系為基礎(chǔ)的適用性較強(qiáng)的博弈分析方法 劃線法科學(xué)的決策思路應(yīng)是 先找出自已針對其他博弈方每種策略或策略組合的最佳對策 即自己的可選策略中與其他博弈方的策略或策略組合配合 給自己帶來最大得益的策略 這種相對最佳對策總是存在的 但不一定唯一 然后在些基礎(chǔ)上 通過對其他博弈方策略選擇的判斷 包括對其他博弈方對自己策略判斷的判斷等 預(yù)測博弈的可能結(jié)果和確定自己的最優(yōu)策略 2 1 3劃線法 方法 對于其他博弈方每一種策略或者策略組合 找出自己的最佳策略 并在得益上劃線 應(yīng)用 由此可見 劃線法是一種非常簡便的博弈分析方法 由于它以策略之間的相對優(yōu)劣關(guān)系為基礎(chǔ) 因此在分析用得益矩陣表示的博弈問題時具有普遍適用性 但并不意味著每個用得益矩陣表示的博弈都可以用劃線法求出確定性的博弈結(jié)果 事實上 許多博弈根本不存在確定性的結(jié)果 當(dāng)然也就無法用劃線法找出這種結(jié)果 意味著猜硬幣博弈中沒有哪一個策略組合的雙方策略 相互都是對對方策略的最佳對策略 意味著博弈中有兩個策略組合都是對對方策略的最佳對策略 值得強(qiáng)調(diào)的是 雖然猜硬幣和夫妻之爭博弈中 劃線法也沒有完全解決博弈的最終結(jié)果的問題 但它至少已經(jīng)使我們對它們的博弈方策略偏好之間的一致不一致 共同利益和矛盾沖突的情況有了更加清楚的認(rèn)識 這對進(jìn)一步解析這些博弈中博弈方的行為有很重要的意義 因此 與在這些博弈問題中根本無法運(yùn)用的嚴(yán)格下策反復(fù)消去法相比 劃線法還是有優(yōu)勢的 這一點在分析更復(fù)雜的博弈模型時會表現(xiàn)的更加明顯 2 1 4箭頭法 箭頭法基本思路 對博弈中的每個策略組合進(jìn)行分析 考察在每個策略組合處各個博弈方能否通過單獨改變自己的策略而增加得益 如果能 用箭頭指示得益增加的方向 應(yīng)用 2 1 4箭頭法 2 1 4箭頭法 箭頭法與劃線法的聯(lián)系與區(qū)別 兩者都是基于相對優(yōu)劣關(guān)系進(jìn)行分析的 得到的結(jié)論也都是一致的 因此是可以相互替代的方法 但他們分析的思路和角度是不同的 2 2納什均衡 2 2 1納什均衡的定義2 2 2納什均衡的一致預(yù)測性質(zhì)2 2 3納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 劃線法或箭頭法找出的具有穩(wěn)定性的策略組合 不管是否惟一 都有一個共同的特性 就是其中每個博弈方的策略都是針對其他博弈方策略或策略組合的最佳對策 事實上 具有這種性質(zhì)的策略組合 正是非合作博弈理論中最重要的一個解概念 即博弈中的 納什均衡 2 2 1納什均衡的定義 策略空間 博弈方的第個策略 博弈方的得益 博弈 納什均衡 在博弈中 如果由各個博弈方的各一個策略組成的某個策略組合中 任一博弈方的策略 都是對其余博弈方策略的組合的最佳對策 也即對任意都成立 則稱為的一個納什均衡 2 2 2納什均衡的一致預(yù)測性質(zhì) 一致預(yù)測 如果所有博弈方都預(yù)測一個特定博弈結(jié)果會出現(xiàn) 所有博弈方都不會利用該預(yù)測或者這種預(yù)測能力選擇與預(yù)測結(jié)果不一致的策略 即沒有哪個博弈方有偏離這個預(yù)測結(jié)果的愿望 因此預(yù)測結(jié)果會成為博弈的最終結(jié)果只有納什均衡才具有一致預(yù)測的性質(zhì)一致預(yù)測性是納什均衡的本質(zhì)屬性一致預(yù)測并不意味著一定能準(zhǔn)確預(yù)測 因為有多重均衡 預(yù)測不一致的可能 值得注意的是 雖然納什均衡是博弈結(jié)果的一致預(yù)測 但納什均衡分析卻并不一定能對所有博弈的結(jié)果都卻出準(zhǔn)確的預(yù)測 因為納什均衡的一致預(yù)測性質(zhì)本身并不保證各博弈方的預(yù)測是相同的 相同的預(yù)測是一致預(yù)測性質(zhì)的前提而不是結(jié)果 有許多博弈其實根本無法準(zhǔn)確預(yù)測 因為有些博弈不存在納什均衡 而另有一些博弈又有多重納什均衡且相互無顯著的優(yōu)劣或效率差別 此外 還存在博弈方的理性 能力等與假設(shè)不符的情況 這些都會影響納什均衡在博弈分析中的預(yù)測作用 2 2 3納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 2 2 3納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 命題2 1 在n個博弈方的博弈中 如果嚴(yán)格下策反復(fù)消去法排除了除之外的所有策略組合 那么一定是該博弈的唯一的納什均衡命題2 2 在n個博弈方的博弈中 如果是的一個納什均衡 那么嚴(yán)格下策反復(fù)消去法一定不會將它消去上述兩個命題保證在進(jìn)行納什均衡分析之前先通過嚴(yán)格下策反復(fù)消去法簡化博弈是可行的 嚴(yán)格下策 對于某一策略 若則稱為的嚴(yán)格下策 2 3無限策略分析和反應(yīng)函數(shù) 2 3 1古諾的寡頭模型2 3 2反應(yīng)函數(shù)2 3 3伯特蘭德寡頭模型2 3 4公共資源問題2 3 5反應(yīng)函數(shù)的問題和局限性 2 3 1古諾的寡頭模型 寡頭產(chǎn)量競爭 以兩廠商產(chǎn)量競爭為例 以自身最大利益為目標(biāo) 各生產(chǎn)2單位產(chǎn)量 各自得益為4以兩廠商總體利益最大 各生產(chǎn)1 5單位產(chǎn)量 各自得益為4 5 兩寡頭間的囚徒困境博弈 2 3 2反應(yīng)函數(shù) 古諾模型的反應(yīng)函數(shù) 理性局限和古諾調(diào)整 2 3 3伯特蘭德寡頭模型 價格競爭寡頭的博弈模型產(chǎn)品無差別 消費者對價格不十分敏感 2 3 4公共資源問題 公共草地養(yǎng)羊問題 以三農(nóng)戶為例n 3 c 4 合作 總體利益最大化 競爭 個體利益最大化 2 3 5反應(yīng)函數(shù)的問題和局限性 在許多博弈中 博弈方的策略是有限且非連續(xù)時 其得益函數(shù)不是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) 無法求得反應(yīng)函數(shù) 從而不能通過解方程組的方法求得納什均衡 即使得益函數(shù)可以求導(dǎo) 也可能各博弈方的得益函數(shù)比較復(fù)雜 因此各自的反應(yīng)函數(shù)也比較復(fù)雜 并不總能保證各博弈方的反應(yīng)函數(shù)有交點 特別不能保證有唯一的交點 2 4混合策略和混合策略納什均衡 2 4 1嚴(yán)格競爭博弈和混合策略的引進(jìn)2 4 2多重均衡博弈和混合策略2 4 3混合策略和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法2 4 4混合策略反應(yīng)函數(shù) 2 4 1嚴(yán)格競爭博弈和混合策略的引進(jìn) 一 猜硬幣博弈 1 不存在前面定義的納什均衡策略組合 2 關(guān)鍵是不能讓對方猜到自己策略這類博弈很多 引出混合策略納什均衡概念 二 混合策略 混合策略博弈和混合策略納什均衡 混合策略 在博弈中 博弈方的策略空間為 則博弈方以概率分布隨機(jī)在其個可選策略中選擇的 策略 稱為一個 混合策略 其中對都成立 且混合策略擴(kuò)展博弈 博弈方在混合策略的策略空間 概率分布空間 的選擇看作一個博弈 就是原博弈的 混合策略擴(kuò)展博弈 混合策略納什均衡 包含混合策略的策略組合 構(gòu)成納什均衡 三 一個例子 該博弈無純策略納什均衡 可用混合策略納什均衡分析 策略得益博弈方1 0 8 0 2 2 6博弈方2 0 8 0 2 2 6 四 齊威王田忌賽馬 五 小偷和守衛(wèi)的博弈 加重對首位的處罰 短期中的效果是使守衛(wèi)真正盡職在長期中并不能使守衛(wèi)更盡職 但會降低盜竊發(fā)生的概率 加重對小偷的處罰 短期內(nèi)能抑制盜竊發(fā)生率長期并不能降低盜竊發(fā)生率 但會是的守衛(wèi)更多的偷懶 2 4 2多重均衡博弈和混合策略 一 夫妻之爭的混合策略納什均衡 夫妻之爭博弈的混合策略納什均衡策略得益博弈方1 0 75 0 25 0 67博弈方2 1 3 2 3 0 75 二 制式問題 制式問題混合策略納什均衡AB得益廠商1 0 40 60 664廠商2 0 670 331 296 三 市場機(jī)會博弈 進(jìn)不進(jìn)得益廠商1 2 31 30廠商2 2 31 30 2 4 3混合策略和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 2 4 4混合策略反應(yīng)函數(shù) 猜硬幣博弈 夫妻之爭博弈 2 5納什均衡的存在性 納什定理 在一個由n個博弈方的博弈中 如果n是有限的 且都是有限集 對 則該博弈至少存在一個納什均衡 但可能包含混合策略 教材證明 主要根據(jù)是布魯威爾和角谷的不動點定理 納什均衡的普遍存在性正是納什均衡成為非合作博弈分析核心概念的根本原因之一 2 6納什均衡的選擇和分析方法擴(kuò)展 2 6 1多重納什均衡博弈的分析2 6 2共謀和防共謀均衡 2 6納什均衡的選擇和分析方法擴(kuò)展 既然納什均衡具有普遍性 那么能否可以徹底解決所有的博弈問題 回答是否定的 納什均衡分析同樣并不一定能徹底解決一個博弈問題 因為納什均衡的存在性并不等于惟一性 在許多博弈中納什均衡是不惟一的 而且不同的納什均衡相互之間也沒有明顯的優(yōu)劣關(guān)系 從而博弈方的選擇會遇到困難 2 6 1多重納什均衡博弈的分析 帕累托上策均衡風(fēng)險上策均衡聚點均衡相關(guān)均衡 一 帕累托上策均衡事實上 并不是所有多重納什均衡都會導(dǎo)致分析的困難 因為雖然有些博弈中存在多個納什均衡 但很可能這些納什均衡有明顯的優(yōu)劣差異 所有博弈方都偏好其中同一個納什均衡 換句話說 可能有這些納什均衡中的某一個 給所有博弈方帶來的利益 都大于其他所有納什均衡會帶來的利益 實際上就是帕累托效率意義上的優(yōu)劣關(guān)系 因此用這種方法選擇出來的納什均衡 也稱為 帕累托上策均衡 對大多數(shù)多重納什均衡博弈來說 引進(jìn)混合策略并沒有解決問題 因為混合策略本身不一定比純策略更好 而且對于確定哪個純策略更好也沒有作用 戰(zhàn)爭與和平博弈 這個博弈中有兩個純策略納什均衡 戰(zhàn)爭 戰(zhàn)爭 和 和平 和平 顯然后者帕累托優(yōu)于前者 所以 和平 和平 是本博弈的一個帕累托上策均衡 寡頭市場的價格競爭博弈也類似 戰(zhàn)爭與和平博弈 二 風(fēng)險上策均衡 存在帕累托效率意義上優(yōu)劣關(guān)系的情況下 帕累托上策均衡選擇的基本法則是容易理解的 不過帕累上策均衡并不是有強(qiáng)制力的法則 更重要的是有時候其他某種同樣是合理的選擇邏輯的作用超過帕累托效率的選擇邏輯 因此完全理性的決策者也不一定選帕累托上策均衡 因此 考慮 顧忌博弈方 其他博弈方可能發(fā)生錯誤等時 帕累托上策均衡并不一定是最優(yōu)選擇 需要考慮 風(fēng)險上策均衡 下面就是兩個例子 二 風(fēng)險上策均衡 二 風(fēng)險上策均衡 二 風(fēng)險上策均衡 值得注意的是 博弈方對風(fēng)險上策均衡的選擇傾向 有一種自我強(qiáng)化的機(jī)制 當(dāng)部分或所有博弈方選擇風(fēng)險上策均衡的可能性增強(qiáng)的時候 任一博弈方選擇帕累托上策均衡的期望得益都會進(jìn)一步變小 這就使得各博弈方更傾向于選擇風(fēng)險上策均衡 而這又進(jìn)一步使選擇帕累托上策均衡策略的得益更小 從而形成一種選擇風(fēng)險上策均衡的正反饋機(jī)制 使其出現(xiàn)的機(jī)會越來越大 三 聚點均衡 利用博弈設(shè)定以外的信息和依據(jù)選擇的均衡文化 習(xí)慣或者其他各種特征都可能是聚點均衡的依據(jù)城市博弈 城市分組相同 時間博弈 報出相同的時間 是聚點均衡的典型例子 四 相關(guān)均衡 三個納什均衡 U L D R 和混合策略均衡 1 2 1 2 1 2 1 2 結(jié)果都不理想 不如 D L 可利用聚點均衡 天氣 拋硬幣 但仍不理想 相關(guān)裝置 1 各1 3概率A B C2 博弈方1看到是否A 博弈方2看到是否C3 博弈方1見A采用U 否則D 博弈方2見C采用R 否則L 相關(guān)均衡要點 1 構(gòu)成納什均衡2 有人忽略不造成問