考研數(shù)三完整版(歷年真題+答案詳解)之-2009年真題1.doc

2009年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題數(shù)學三試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請把所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）函數(shù)的可去間斷點的個數(shù)為 (A)1. (B)2. (C)3.(D)無窮多個.（2）當時，與是等價無窮小，則(A)，. （B），. (C)，. （D），.（3）使不等式成立的的范圍是(A).(B). (C).(D).（4）設函數(shù)在區(qū)間上的圖形為1-2O23-1 1則函數(shù)的圖形為(A)O231-2-11 (B)O231-2-11(C)O231-11 (D)O231-2-11（5）設均為2階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為(A). (B). (C). (D).（6）設均為3階矩陣，為的轉置矩陣，且，若，則為(A). (B). (C). (D).（7）設事件與事件B互不相容，則(A). (B). (C). (D).（8）設隨機變量與相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，的概率分布為，記為隨機變量的分布函數(shù)，則函數(shù)的間斷點個數(shù)為(A)0.(B)1. (C)2.(D)3.二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9） .（10）設，則 .（11）冪級數(shù)的收斂半徑為 .（12）設某產品的需求函數(shù)為,其對應價格的彈性，則當需求量為10000件時，價格增加1元會使產品收益增加 元.（13）設,，若矩陣相似于，則 . (14)設，,為來自二項分布總體的簡單隨機樣本，和分別為樣本均值和樣本方差，記統(tǒng)計量，則 .三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求二元函數(shù)的極值.（16）（本題滿分10 分）計算不定積分 .（17）（本題滿分10 分）計算二重積分，其中.（18）（本題滿分11 分）（）證明拉格朗日中值定理，若函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，則，得證.（）證明：若函數(shù)在處連續(xù)，在內可導，且，則存在，且.（19）（本題滿分10 分）設曲線，其中是可導函數(shù)，且.已知曲線與直線及所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周所得的立體體積值是該曲邊梯形面積值的倍，求該曲線的方程.（20）（本題滿分11 分）設,.（）求滿足，的所有向量，.（）對（）中的任意向量,，證明,線性無關.（21）（本題滿分11 分）設二次型.（）求二次型的矩陣的所有特征值.（）若二次型的規(guī)范形為，求的值.（22）（本題滿分11 分）設二維隨機變量的概率密度為（）求條件概率密度；（）求條件概率.（23）（本題滿分11分）袋中有一個紅球，兩個黑球，三個白球，現(xiàn)在放回的從袋中取兩次，每次取一個，求以、分別表示兩次取球所取得的紅、黑與白球的個數(shù).（）求；（）求二維隨機變量的概率分布.2009年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請把所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）函數(shù)的可去間斷點的個數(shù)為 (A)1. (B)2. (C)3.(D)無窮多個.【答案】C. 【解析】 則當取任何整數(shù)時，均無意義故的間斷點有無窮多個，但可去間斷點為極限存在的點，故應是的解故可去間斷點為3個，即（2）當時，與是等價無窮小，則(A)，. （B），. (C)，. （D），.【答案】A. 【解析】為等價無窮小，則 故排除(B)、(C).另外存在，蘊含了故排除(D).所以本題選(A).（3）使不等式成立的的范圍是(A).(B). (C).(D).【答案】A. 【解析】原問題可轉化為求成立時的取值范圍，由，時，知當時，.故應選(A).（4）設函數(shù)在區(qū)間上的圖形為1-2O23-1 1則函數(shù)的圖形為(A)O231-2-11 (B)O231-2-11(C)O231-11 (D)O231-2-11【答案】D.【解析】此題為定積分的應用知識考核，由的圖形可見，其圖像與軸及軸、所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù)，從而可得出幾個方面的特征：時，且單調遞減.時，單調遞增.時，為常函數(shù).時，為線性函數(shù)，單調遞增.由于F(x)為連續(xù)函數(shù)結合這些特點，可見正確選項為(D).（5）設均為2階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為(A). (B). (C). (D).【答案】B.【解析】根據，若分塊矩陣的行列式，即分塊矩陣可逆故答案為(B).（6）設均為3階矩陣，為的轉置矩陣，且，若，則為(A). (B). (C). (D).【答案】A.【解析】，即：（7）設事件與事件B互不相容，則(A). (B). (C). (D).【答案】D.【解析】因為互不相容，所以(A)，因為不一定等于1，所以(A)不正確.(B)當不為0時，(B)不成立，故排除.(C)只有當互為對立事件的時候才成立，故排除.(D)，故(D)正確.（8）設隨機變量與相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，的概率分布為，記為隨機變量的分布函數(shù)，則函數(shù)的間斷點個數(shù)為（ ）(A)0.(B)1. (C)2.(D)3.【答案】 B.【解析】獨立（1）若，則（2）當，則為間斷點，故選(B).二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9） .【答案】.【解析】.（10）設，則 .【答案】.【解析】由，故代入得，.（11）冪級數(shù)的收斂半徑為 .【答案】.【解析】由題意知，所以，該冪級數(shù)的收斂半徑為（12）設某產品的需求函數(shù)為,其對應價格的彈性，則當需求量為10000件時，價格增加1元會使產品收益增加 元.【答案】8000.【解析】所求即為因為，所以所以將代入有. （13）設,，若矩陣相似于，則 .【答案】2.【解析】相似于，根據相似矩陣有相同的特征值，得到的特征值為3，0，0.而為矩陣的對角元素之和，. (14)設，,為來自二項分布總體的簡單隨機樣本，和分別為樣本均值和樣本方差，記統(tǒng)計量，則 .【答案】 【解析】由.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求二元函數(shù)的極值.【解析】，故.則，.而二元函數(shù)存在極小值.（16）（本題滿分10 分）計算不定積分 .【解析】令得而所以（17）（本題滿分10 分）計算二重積分，其中.【解析】由得，.（18）（本題滿分11 分）（）證明拉格朗日中值定理，若函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，則，得證.（）證明：若函數(shù)在處連續(xù)，在內可導，且，則存在，且.【解析】（）作輔助函數(shù)，易驗證滿足：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，且.根據羅爾定理，可得在內至少有一點，使，即（）任取，則函數(shù)滿足：在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內可導，從而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得又由于，對上式（*式）兩邊取時的極限可得：故存在，且.（19）（本題滿分10 分）設曲線，其中是可導函數(shù)，且.已知曲線與直線及所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周所得的立體體積值是該曲邊梯形面積值的倍，求該曲線的方程.【解析】旋轉體的體積為曲邊梯形的面積為：，則由題可知兩邊對t求導可得 繼續(xù)求導可得，化簡可得，解之得在式中令，則，代入得.所以該曲線方程為：.（20）（本題滿分11 分）設,.（）求滿足，的所有向量，.（）對（）中的任意向量,，證明,線性無關.【解析】（）解方程 故有一個自由變量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中為任意常數(shù) 解方程 故有兩個自由變量，令，由得 令，由得求得特解 故 ，其中為任意常數(shù)（）證明：由于故 線性無關. （21）（本題滿分11 分）設二次型.（）求二次型的矩陣的所有特征值.（）若二次型的規(guī)范形為，求的值.【解析】（） .（） 若規(guī)范形為，說明有兩個特征值為正，一個為0.則1) 若，則 ， ，不符題意2) 若 ，即，則，符合3) 若 ，即，則 ，不符題意綜上所述，故（22）（本題滿分11 分）設二維隨機變量的概率密度為（）求條件概率密度（）求條件概率【解析】（）由得其邊緣密度函數(shù) 故 即 （）而.（23）（本題滿分11分）袋中有一個紅球，兩個黑球，三個