探究應(yīng)用新思維_數(shù)學(xué)7年級(jí)1_

1 數(shù)形結(jié)合話數(shù)軸 解讀課標(biāo) 數(shù)學(xué)是研究 數(shù) 和 形 的一門學(xué)科 從古希臘時(shí)期起 人們就已試圖把它們統(tǒng)一 起來(lái) 在日常生活中我們通常對(duì)有形的東西認(rèn)識(shí)比較快 而對(duì)抽象的東西認(rèn)識(shí)比較慢 這正 是現(xiàn)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn) 以形助數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要方法 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系 現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形聯(lián)系的有 力工具 主要反映在 1 利用數(shù)軸形象地表示有理數(shù) 2 利用數(shù)軸直觀地解釋相反數(shù) 3 利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題 4 利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小 問(wèn)題解決 例 1 1 已知 為有理數(shù) 且 將四個(gè)數(shù) ab0a 0b 0ab aba 按由小到大的順序排列是 b 時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào) 數(shù)學(xué)文化節(jié)試題 2 已知數(shù)軸上有 兩點(diǎn) A B 之間的距離為 點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為 那AB1AO3 么點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是 B 廣西競(jìng)賽題 試一試 對(duì)于 1 賦值或借助數(shù)軸比較大小 對(duì)于 2 確定 兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位AB 置 充分考慮 兩點(diǎn)的多種位置關(guān)系 AB 例 2 如圖 數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn) 每相鄰兩點(diǎn)相距個(gè)單位 1 點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù) 且 那么數(shù)軸的原ABCDabcd210da 點(diǎn)應(yīng)是 A 點(diǎn)B 點(diǎn)C 點(diǎn)D 點(diǎn)ABCD 江蘇省競(jìng)賽題 試一試 從尋找與的另一關(guān)系式入手 da 例 3 已知兩數(shù) 如果比大 試判斷與的大小 abab a b 試一試 因 符號(hào)未定 故比大有多種情形 借助數(shù)軸可直觀全面比較與abab a 的大小 b 例 4 電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn) 第一步從向左跳 個(gè)單位到 第二步由 0 K 0 K1 1 K 向右跳個(gè)單位到 第三步由向左跳個(gè)單位到 第四步由向右跳個(gè)單 1 K2 2 K 2 K3 3 K 3 K4 位到 按以上規(guī)律跳了步時(shí) 電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)恰 4 K100 100 K 是 試求電子跳蚤的初始位置點(diǎn)所表示的數(shù) 19 94 0 K 希望杯 邀請(qǐng)賽試題 試一試 設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為 把 點(diǎn)所表示的數(shù)用的式子表 0 Kx 1 K 2 K 100 Kx 示 例 5 已知數(shù)軸上的點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度 點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊 AB28A 距離原點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度 點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊 8B 1 求 兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù) AB 2 數(shù)軸上點(diǎn)以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度出發(fā)問(wèn)左運(yùn)動(dòng) 同時(shí)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速A1B3 度向左運(yùn)動(dòng) 在點(diǎn)處追上了點(diǎn) 求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù) CAC 3 已知在數(shù)軸上點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng) 速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度 同時(shí)點(diǎn)從MA1N 點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng) 速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度 設(shè)線段的中點(diǎn)為 為原點(diǎn) 在B2NOPO 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線段的值是否變化 若不變 求其值 若變化 請(qǐng)說(shuō)明理由 POAM 分析與解 對(duì)于 3 設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 秒 把用的式子表示 MtPOAM 2 1 兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為 AB8 20 2 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為 C22 3 為什么 則 即 202 10 2 t AMt OPt 1010POAMtt 的值不變 POAM 生活啟示 例 6 李老師從油條的制作中受到啟發(fā) 設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題 如圖 在數(shù)軸上截取 從原點(diǎn)到 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段 對(duì)折后 點(diǎn)與點(diǎn)重合 固定左端向右均勻地拉成1ABAB 個(gè)單位長(zhǎng)度的線段 這一過(guò)程稱為一次操作 例如 在第一次操作后 原線段上的1AB 均變成 變成 等等 那么在線段上 除點(diǎn) 點(diǎn)外 的點(diǎn)中 在 1 4 3 4 1 2 1 2 1ABAB 第二次操作后 求恰好被拉到與 重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字之和 1 浙江省紹興市中考題 分析 捕捉問(wèn)題所蘊(yùn)含的信息 閱讀理解 一次操作 的意義 將線段沿中點(diǎn)翻折 中點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)不動(dòng) 中點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)翻折到左側(cè)的對(duì)應(yīng)位置上 由原來(lái)的一個(gè)等分點(diǎn)變?yōu)閮?個(gè)等分點(diǎn) 解 故在第二次操作后 恰好被拉到與 重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字之和是 1 13 1 44 數(shù)學(xué)沖浪 知識(shí)技能廣場(chǎng) 1 數(shù)軸上有 兩點(diǎn) 若點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是 且 兩點(diǎn)的距離為 則點(diǎn)對(duì) ABA2 AB3B 應(yīng)的數(shù)是 2 電影 哈利 波特 中 小哈利 波特穿墻進(jìn)入 站臺(tái) 的鏡頭 如示意圖中的 3 9 4 站臺(tái) 構(gòu)思奇妙 能給觀眾留下深刻的印象 若 站臺(tái)分別位于 處 MAB2 1 則站臺(tái)用類似電影中的方法可稱為 站臺(tái) 2ANNB N 時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào) 數(shù)學(xué)文化節(jié) 試題 3 已知點(diǎn) 在數(shù)軸上 點(diǎn)表示的數(shù)為 那么點(diǎn)表示ABPB68AB 5AP P 的數(shù)是 4 如圖所示 按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞 在一個(gè)圓 該圓周長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng) 且在圓周3 的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字 012 上 先讓原點(diǎn)與圓周上數(shù)字所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合 再將正半軸按順時(shí)針?lè)较蚶@在該圓周上 0 使數(shù)軸上 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合 1234 1201 這樣 正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系 1 圓周上的數(shù)字與數(shù)軸上的數(shù)對(duì)應(yīng) 則 a5a 2 數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過(guò)圓周圈 為正整數(shù) 后 并落在圓周上數(shù)字 所nn1 對(duì)應(yīng)的位置 這個(gè)整數(shù)是 用含的代數(shù)式表示 n 江西省中考題 5 有理數(shù) 在數(shù)軸上的位置如圖所示 則下列各式正ab 確的是 A B C D 0ab 0ab 0ab 0ab 2012 年湖南省常德市中考題 6 文具店 書店 玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上 文具店在書店西米 玩具20 店位于書店?yáng)|米處 小明從書店沿街向東走了米 接著又向東走了米 此時(shí)小1004060 明的位置在 A 文具店B 玩具店C 文具店西邊米D 玩具店?yáng)|米4060 7 將一刻度尺如圖所示放在數(shù)軸上 數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是 刻度尺上的 1cm0cm 分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的和 則 15cm3 6 x A B C D 910 x 1011x 1112x 1213x 浙江省紹興市中考題 8 在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為的線段 則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的 1 1999 9 個(gè)數(shù)是 A B C D 1998199920002001 重慶市競(jìng)賽題 9 一個(gè)跳蚤在一條直線上 從點(diǎn)開(kāi)始 第 次向右跳 個(gè)單位 緊接著第次晾左跳個(gè)O1122 單位 第次向右跳個(gè)單位 第次向左跳個(gè)單位 依此規(guī)律劇下去 當(dāng)它跳第3344 次落下時(shí) 求落點(diǎn)處離點(diǎn)的距離 用單位表示 100O 江蘇省無(wú)錫市中考題 10 已知數(shù)軸上有 兩點(diǎn) 之間的距離為 點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為 求所ABAB1AO3 有滿足條件的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的和 BO 北京市 迎春杯 競(jìng)賽題 思維方法天地 11 在數(shù)軸上 點(diǎn) 分別表示和 則線段的中點(diǎn)所表示的數(shù)是 AB 1 3 1 5 AB 12 在數(shù)軸上 表示數(shù) 的點(diǎn)與表示數(shù) 的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 則的 2 2 a M 3 3 a Na 值為 13 數(shù)形相伴 1 如圖所示 點(diǎn) 所代表的數(shù)分別為AB 在數(shù)軸上畫出與 兩點(diǎn)的距離和為的點(diǎn) 并標(biāo)上字母 1 2AB5 2 若數(shù)軸上點(diǎn) 所代表的數(shù)分別為 則 兩點(diǎn)之間的距離可表示為ABabAB 那么 當(dāng)時(shí) 當(dāng) ABab 1 2 7xx x 時(shí) 數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置是在 1 2 5xx x 時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào) 數(shù)學(xué)文化節(jié)試題 14 點(diǎn) 分別是數(shù) 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 使線段沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)為 AB3 1 2 ABA B 且線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是 則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是 點(diǎn)移動(dòng)的距離是A B 3A A 江蘇省競(jìng)賽題 15 點(diǎn) 為正整數(shù) 都在數(shù)軸上 點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊 且 1 A 2 A 3 A n An 1 AO 點(diǎn)在點(diǎn)的右邊 且 點(diǎn)在點(diǎn)的左邊 且 點(diǎn)在 1 1AO 2 A 1 A 21 2A A 3 A 2 A 32 3A A 4 A 點(diǎn)的右邊 且 依照上述規(guī)律 點(diǎn) 所表示的數(shù)分別為 3 A 43 4A A 2008 A 2009 A A B 20082009 2008 2009 C D 10041005 10041004 福建省泉州市中考題 16 如圖 數(shù)軸 上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn) 每相鄰兩點(diǎn)相距 個(gè)單1 位 點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù) 且 那么數(shù)軸的ABCDabcd29ba 原點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 A 點(diǎn)B 點(diǎn)C 點(diǎn)D 點(diǎn)ABCD 17 有理數(shù) 在數(shù)軸上的位置如圖 式子abc ab 化簡(jiǎn)結(jié)果為 abbc A B C D 23abc 3bc bc cb 18 不相等的有理數(shù) 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 若abcABC 那么點(diǎn) abbcac B A 在 點(diǎn)右邊B 在 點(diǎn)左邊ACAC C 在 點(diǎn)之間D 以上均有可能AC 希望杯 邀請(qǐng)賽題 19 在數(shù)軸上 點(diǎn)與點(diǎn)的距離是點(diǎn)與所對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離的倍 那么點(diǎn)表NON304N 示的數(shù)是多少 CASIO 杯 河南省競(jìng)賽題 20 已知數(shù)軸上有 三點(diǎn) 分別代表 兩只電子螞蟻甲 乙分別ABC24 10 10 從 兩點(diǎn)同時(shí)相向而行 甲的速度為個(gè)單位 秒 AC4 1 問(wèn)多少秒后甲到 的距離和為個(gè)單位 ABC40 2 若乙的速度為個(gè)單位 秒 兩只電子螞蟻甲 乙分別從 兩點(diǎn)同時(shí)相向 而6AC1 行 問(wèn)甲 乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇 3 在 1 2 的條件下 當(dāng)甲到 的距離和為個(gè)單位時(shí) 甲調(diào)頭返回 ABC40 問(wèn)甲 乙還能在數(shù)軸上相遇嗎 若能 求出相遇點(diǎn) 若不能 請(qǐng)說(shuō)明理由 21 操作與探究 對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)進(jìn)行如下操作 先把點(diǎn)表示的數(shù)乘以再把所得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平PP 1 3 移 個(gè)單位 得到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 1PP 點(diǎn) 在數(shù)軸上 對(duì)線段上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段 其中 點(diǎn)A BABA B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 如圖所示 若點(diǎn)表示的數(shù)是 則點(diǎn)表示的數(shù)是A BA B A3 A 若點(diǎn)表示的數(shù)是 則點(diǎn)表示的數(shù)是 已知線段上的點(diǎn)B 2B AB 經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)重合 則點(diǎn)表示的數(shù)是 E E EE 2012 年北京市中考題 22 動(dòng)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā) 沿?cái)?shù)軸的正方向以每前進(jìn)個(gè)單位 后退個(gè)單位的程P53 序運(yùn)動(dòng) 已知點(diǎn)每秒前進(jìn)或后退 個(gè)單位 設(shè)表示第秒點(diǎn)在數(shù)軸上的位置所對(duì)應(yīng)P1 n xnP 的數(shù) 如 求所對(duì)應(yīng)的數(shù) 4 4x 5 5x 6 4x 2011 x 2 聚焦絕對(duì)值 絕對(duì)值是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念 這一概念是學(xué)習(xí)相反數(shù) 有理數(shù)運(yùn)算 算術(shù)根的基礎(chǔ) 絕對(duì)值又是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念 絕對(duì)值與其他知識(shí)融合形成絕對(duì)值 方程 絕對(duì)值不等 式 絕對(duì)值函數(shù)等 在代數(shù)式化簡(jiǎn)求值 解方程 解不等式等方面有廣泛的應(yīng)用 理解 掌握絕對(duì)值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面 1 脫去絕對(duì)值符號(hào)是解絕對(duì)值問(wèn)題的切入點(diǎn) 脫去絕對(duì)值符號(hào)常用到相關(guān)法則 分類討論 數(shù)形結(jié)合等知識(shí)方法 2 恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義 從數(shù)軸上看表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 表示數(shù) 數(shù)的兩點(diǎn)間的距離 aa ab ab 3 靈活運(yùn)用絕對(duì)值的基本性質(zhì) 0a 222 aaa abab aa ba bb 例 1 已知 其中 那么 20 20 yxbxxb 020b 20bx 的最小值為 y CASIO 杯 河南省競(jìng)賽題 試一試 結(jié)合已知條件判斷出每一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)式子的正負(fù)性 再去掉絕對(duì)值符號(hào) 例 2 式子的所有可能的值有 abab abab A 個(gè)B 個(gè)C 個(gè)D 無(wú)數(shù)個(gè)234 試一試根據(jù) 的符號(hào)所有可能情況 去掉絕對(duì)值符號(hào) 這是解本例的關(guān)鍵 ab 例 3 1 已知 求 2 2 0aba 111 1 1 2 2 ababab 的值 1 2005 2006 ab 華羅庚杯 香港中學(xué)競(jìng)賽題 2 設(shè) 為整數(shù) 且 求的值 abc 1abca caabbc 希望杯 邀請(qǐng)賽試題 試一試 對(duì)于 1 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先導(dǎo)出 的值 對(duì)于 2 寫成兩個(gè)非負(fù)整數(shù)的和ab1 的形式又有幾種可能 這是解 2 的突破口 例 4 閱讀下列材料并解決有關(guān)問(wèn)題 我們知道現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式 如 0 0 0 0 x x xx x x 化簡(jiǎn)代數(shù)式 時(shí) 可令 和 分別求得 1 2 xx 10 x 20 x 1x 2x 稱 分別為與的零點(diǎn)值 在有理數(shù)范圍內(nèi) 零點(diǎn)值和可將1 2 1 x 2 x 1x 2x 全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下種情況 3 1 2 3 從而化簡(jiǎn)代數(shù)式可分以下1x 12x 2x 1 2 xx 種情況 3 1 當(dāng) 時(shí) 原式 1x 1 2 21xxx 2 當(dāng)時(shí) 原式 12x 1 2 3xx 3 當(dāng)時(shí) 原式 2x 1221xxx 綜上討論 原式 21 1 3 12 21 2 xx x xx 通過(guò)以上閱讀 請(qǐng)你解決以下問(wèn)題 1 分別求出和的零點(diǎn)值 2 x 4 x 2 化簡(jiǎn)代數(shù)式 2 4 xx 云南省中考題 試一試 在閱讀理解的基礎(chǔ)上化簡(jiǎn)求值 例 5 1 當(dāng)取何值時(shí) 有最小值 這個(gè)最小值是多少 x 3 x 2 當(dāng)取何值時(shí) 有最大值 這個(gè)最大值是多少 x5 2 x 3 求的最小值 4 5 xx 4 求的最小值 7 8 9 xxx 分析對(duì)于 3 4 可先運(yùn)用零點(diǎn)分段討論法去掉絕對(duì)值符號(hào) 再求最小值 也可利用 絕對(duì)值的幾何意義 即在數(shù)軸上找一表示的點(diǎn) 使之到表示 的點(diǎn) 或表示 x457 的點(diǎn) 的距離和最小 89 解 1 當(dāng)時(shí) 原式有最小值 最小值為 3x 0 2 當(dāng)時(shí) 原式有最大值 最大值為 2x 5 3 當(dāng)時(shí) 原式有最小值 最小值為 45x 1 4 當(dāng)時(shí) 原式有最小值 最小值為 8x 2 對(duì)于 3 給出另一種解法 當(dāng)時(shí) 原式 最小值為 4x 4 5 92xxx 1 當(dāng)時(shí) 原式 最小值為 45x 4 5 1xx 1 當(dāng)時(shí) 原式 最小值為 5x 4529xxx 1 綜上所述 原式有最小值等于 1 以退求進(jìn) 例 6 少年科技組制成一臺(tái)單項(xiàng)功能計(jì)算器 對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后 再取絕對(duì) 值的運(yùn)算 其運(yùn)算過(guò)程是 輸人第一個(gè)整數(shù) 只顯示不運(yùn)算 接著再輸人整數(shù)心后則 1 x 2 x 顯示的結(jié)果 此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差取絕對(duì)值的運(yùn) 12 xx 算 現(xiàn)小明將從 到這個(gè)整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)地輸人 全部輸入完畢之后顯示的最119911991 后結(jié)果設(shè)為 試求出的最大值 并說(shuō)明理由 PP 分析 先考慮輸入個(gè)數(shù)較少的情形 并結(jié)合奇偶分析調(diào)整估值 一步步求出的最大P 值 解 由于輸入的數(shù)都是非負(fù)數(shù) 當(dāng) 時(shí) 不超過(guò) 中最大 1 0 x 2 0 x 12 xx 1 x 2 x 的數(shù) 對(duì) 則不超過(guò)工 中最大的數(shù) 設(shè) 1 0 x 2 0 x 3 0 x 123 xxx 1 x 2 x 3 x 小明輸入這個(gè)數(shù)的次序是 相當(dāng)于計(jì)算 1991 1 x 2 x 1991 x 因此的值 12319901991 xxxxxP P 1991 x 另外從運(yùn)算奇偶性分析 為整數(shù) 與奇偶性相同 因此與 1 x 2 x 12 xx 12 xx P 的奇偶性相同 121991 xxx 但偶數(shù) 于是斷定 我們證明可以 121991 121991xxx 1990 Px P 取到 1990 對(duì) 按如下次序 1234 1 3 4 2 0 對(duì)于均成立 因此 41 43 44 42 0kkkk 0 1 2 k 可按上述辦法依次輸入最后顯示結(jié)果為 而后 1 19880 1989 1990 1991 1990 故的最大值為 P1990 數(shù)學(xué)沖浪 知識(shí)技能廣場(chǎng) 1 數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示 且 則 a 1 2a 37 a 2 已知 且 那么 5a 3b abba ab 3 化簡(jiǎn) 11111111 20032003200220022001202004200401 北京市競(jìng)賽題 4 已知有理數(shù) 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示 則abc 化簡(jiǎn)后的結(jié)果是 1 cacab 5 已知整數(shù) 滿足下列條件 1 a 2 a 3 a 4 a 1 0a 21 1 aa 依次類推 則的值為