二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法.doc

二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法從微分方程學(xué)中知道，在滿足某些條件下，可以用冪級數(shù)來表示一個函數(shù)。因此，自然想到，能否用冪級數(shù)來表示微分方程的解呢？例1、求方程的通解解：設(shè)為方程的解，這里是待定常系數(shù)，將它對微分兩次，有將，的表達式代入方程，并比較的同次冪的系數(shù)，得到， 或一般的可推得，其中，是任意的，因而代入設(shè)的解中可得：這個冪級數(shù)的收斂半徑是無限大的，因而級數(shù)的和（其中包括兩個任意常數(shù)及）便是所要求的通解。例6 求方程的滿足初值條件及的解。解 設(shè)級數(shù)為方程的解。首先，利用初值條件，可以得到， ，因而將，的表達式帶入原方程，合并的各同次冪的項，并令各項系數(shù)等于零，得到因而最后得 , ,對一切正整數(shù)成立。將的值代回就得到 這就是方程的滿足所給初值條件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其冪級數(shù)解？或者說究竟方程應(yīng)該滿足什么條件才能保證它的解可用冪級數(shù)來表示呢？級數(shù)的形式怎樣？其收斂區(qū)間又如何?這些問題，在微分方程解析理論中有完滿的解答，但因討論時需要涉及解析函數(shù)等較專門的知識，在此我們僅敘述有關(guān)結(jié)果而不加證明，若要了解定理的證明過程，可參考有關(guān)書籍?？紤]二階齊次線性微分方程及初值條件及的情況。 不失一般性，可設(shè) ，否則，我們引進新變量，經(jīng)此變換，方程的形狀不變，在這時對應(yīng)于的就是了，因此，今后我們總認為。定理10 若方程中系數(shù)和都能展成的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為，則方程有形如的特解，也以為級數(shù)的收斂區(qū)間。在上兩例中方程顯然滿足定理的條件，系數(shù)，和可看作是在全數(shù)軸上收斂的冪級數(shù)，故方程的解也在全數(shù)軸上收斂。但有些方程，例如階貝賽爾方程這里為非負常數(shù)，不一定是正整數(shù)，（）在此，顯然它不滿足定理10 的條件，因而不能肯定有形如的特解。但它滿足下述定理11的條件，從而具有別種形狀的冪級數(shù)解。定理11 若方程中系數(shù)，具有這樣的性質(zhì)，即和均能展成的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為，若，則方程有形如即的特解，是一個特定的常數(shù)，級數(shù)也以為收斂區(qū)間。若，或更一般的，但，則引入記號，則，這里，而仍為待定常數(shù)。例7 求解階貝賽爾方程。解 將方程改寫成，易見，它滿足定理11的條件（和均能展成的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為），且，按展成的冪級數(shù)收斂區(qū)間為，由定理11，方程有形如的解，這里，而和是待定常數(shù)，將代入：中，得，把同冪次項歸在一起，上式變?yōu)榱罡黜椀南禂?shù)等于0，得一系列的代數(shù)方程因為，故從解得的兩個值和先考慮時方程的一個特解，這時我們總可以從以上方程組中逐個地確定所有的系數(shù)。把代入以上方程組，得到，或按下標為奇數(shù)或偶數(shù)，我們分別有 從而求得 一般地 將各代入得到方程的一個解既然是求的特解，我們不妨令其中函數(shù)定義如下：當0時，；當0且非整數(shù)時，由遞推公式定義。具有性質(zhì); 為正整數(shù)而變?yōu)樽⒁獾胶瘮?shù)的性質(zhì)，即有是由貝塞爾方程定義的特殊函數(shù)，稱為階貝賽爾函數(shù)。因此，對于階貝塞爾方程，它總有一個特解。為了求得另一個與線性無關(guān)的特解，我們自然想到，求時方程的形如的解，我們注意到只要不為非負整數(shù)，像以上對于時的求解過程一樣，我們總可以求得 使之滿足中的一系列方程，因而是的一個特解。此時，若令則變?yōu)榉Q為階貝賽爾函數(shù)。 利用達朗貝爾判別法不難驗證級數(shù)和（在中）都是收斂的，因此，當不為非負整數(shù)時，和都是方程的解，而且是線性無關(guān)的，因為它們可展為由的不同冪次開始的級數(shù)，從而它們的比不可能是常數(shù)。于是方程的通解可寫為這里，是任意常數(shù)。此情形的和稱為第一類貝塞爾函數(shù)。 例8 求方程的通解。解 引入新變量，我們有 ，將上述關(guān)系代入院方程，得到，這是，的貝塞爾方程，由例7可知，方程的通解可表為，代回原來變量，就得到原方程的通解其中是任意常數(shù)。 第二宇宙速度計算 作為這一節(jié)的應(yīng)用，我們計算發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，即所謂第二宇宙速度。在這個速度你下,物體將擺脫地球的引力,向地球一樣繞著太陽運行,成為人造衛(wèi)星.讓我們首先建立物體垂直上拋運動的微分方程.以和分別表示地球和物體的質(zhì)量.按牛頓萬有引力定律,作用于物體的引力(空氣阻力忽略不計)為這里表示地球的中心和物理體重心之間的距離，為萬有引力常數(shù)。因為，物體運動規(guī)律應(yīng)滿足下面的微分方程 或這里的負號表示物體的加速度是負的。 設(shè)地球半徑為，物理發(fā)射速度為，因此，當物體剛剛離開地球表面時，我們有，即應(yīng)取初值條件為方程不顯含自變量,應(yīng)用4.3.1（可降階的一些方程類型）的方法，把方程降階成為一階方程 解得注意到這時初值條件為因而 因為物體運動速度必須始終保持是正的，即，而隨著的不斷增大，量變得任意小。因此，由看到