九年級數(shù)學上冊 24.2 相似三角形的判定教案 滬科版

用心 愛心 專心 1 24 224 2 相似三角形的判定相似三角形的判定 學習目標要求學習目標要求 1 掌握相似三角形的概念 2 掌握兩個三角形相似的條件 3 能用兩個三角形相似的條件解決問題 教材內(nèi)容點撥教材內(nèi)容點撥 知識點 1 相似三角形 1 兩個三角形 如果各邊對應(yīng)成比例 各角對應(yīng)相等 則這兩個三角形相似 2 各邊對應(yīng)成比例 各角對應(yīng)相等是指三組對應(yīng)角分別相等 三組對應(yīng)邊分別成比例 3 ABC 與 A B C 相似記作 ABC A B C 書寫時同三角形全等一樣 要 注意對應(yīng)字母放在對應(yīng)位置 例如 ABC 與 DEF 中 A 點與 E 點對應(yīng) B 點與 D 點對應(yīng) C 點與 F 點對應(yīng) 則應(yīng)記作 ABC EDF 4 相似三角形的定義揭示了相似三角形的本質(zhì)特性 即如果兩個三角形相似 則各邊對應(yīng) 成比例 各角對應(yīng)相等 相似三角形的定義即是性質(zhì) 又是判定 5 全等三角形是相似比為 1 的相似三角形 知識點 2 相似三角形判定方法 相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可記為 AA SAS SSS 和 HL 只是這里對邊要求是對應(yīng)成比例 對角的要求是對應(yīng)角相等 1 AA 如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等 那么這兩個 三角形相似 可簡單的說成 兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似 2 SAS 如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例 并且夾角相等 那么這兩個三角形相似 可簡單的說成 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似 3 SSS 如果一個三角形的三條邊為另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例 那么這兩個三 角形相似 可以簡單的說成 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似 4 HL 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直 角邊對應(yīng)成比例 那么這兩個直角三外形相似 典型例題點撥典型例題點撥 用心 愛心 專心 2 例 1 已知 如圖 ABC 中 AD DB 1 2 求證 ABC EAD 點撥 題中提供了兩個條件 一個是關(guān)于邊的 一個是關(guān)于角的 而關(guān)于邊的條件可轉(zhuǎn)換 為角之間的關(guān)系 從而可得兩個角之間的關(guān)系 聯(lián)系到要求證的結(jié)論 可聯(lián)想到用 AA 來證 解答 AD DB 3 B 又 1 2 4 B 2 BAC 4 BAC 在 ABC 和 EAD 中 3 B 4 BAC ABC EAD 例 2 已知 如圖 在正方形 ABCD 中 P 是 BC 上的點 且 BP 3PC Q 是 CD 的 中點 ADQ 與 QCP 是否相似 為什么 點撥 根據(jù)條件 BP 3PC Q 是 CD 的中點 可知 結(jié)合 1 2 QDPC ADCQ C D 90 可用 SAS 求證 解答 BP 3PC Q 是 CD 的中點 又 四邊形 ABCD 是正方形 1 2 QDPC ADCQ C D 90 在 ADQ 與 QCP 中 1 2 PC CQ C D 1 2 QD AD ADQ QCP 例 3 如圖 點 C D 在線段 AB 上 PCD 是等邊三角形 1 當 AC CD DB 滿足怎樣的關(guān)系時 ACP PDB 2 當 ACP PDB 時 求 APB 的度數(shù) 解答 1 ACP PDB 120 當 即 也就是 PD AC DB PC CD AC DB CD CD2 AC DB 時 ACP PDB 2 ACP PDB A DPB APB APC CPD DPB 用心 愛心 專心 3 APC A CPD PCD CPD 120 例 4 2006 年福建省南平市 如圖 正方形 ABCD 的邊長為 1 點 E 是 AD 邊上的動點 從 點 A 沿 AD 向 D 運動 以 BE 為邊 在 BE 的上方作正方形 BEFG 連接 CG 請?zhí)骄?1 線段 AE 與 CG 是否相等 請說明理由 2 若設(shè) 當取何值時 最大 xAE yDH xy 3 連接 BH 當點 E 運動到 AD 的何位置時 BEH BAE 點撥 本題主要考察對全等三角形和相似三角形的理解與應(yīng)用 根據(jù)條件注意到 ABE DEH 并由此得到 從而得到關(guān)于 x y 的一個條件式 進而得到 y DHDE AEAB 與 x 的一個函數(shù) 這是解決第 2 小題的關(guān)鍵 在第 3 小題中 則要從果溯源 要使 BEH BAE 則必須 由此得到關(guān)于 x 的一個方程 解這個方程即可 EHEB AEAB 解答 1 AE CG 四邊形 ABCD EBGF 都是正方形 1 2 且 AB AC BE BG ABE CBG AE CG 全等三角形的對應(yīng)邊相等 2 在 ABE 和 DEH 中 D A 90 1 3 90 AEB ABE DEH 即 得 當時 DHDE AEAB 1 1 yx x 2 yxx 1 2 x 1 4 max y 3 若 BEH BAE 則 即 解得 當 EHEB AEAB 22 1 11 1 xxx x 1 2 x E 點運動到中點時 BEH BAE 考點考題點撥考點考題點撥 1 中考導航 中考中對相似三角形的考察往往結(jié)合其他內(nèi)容例如平行線 平行四邊形來進行 要熟練掌 握相似三角形的四種判定方法 特別是 AA 2 經(jīng)典考題追蹤 例 1 06 天門 點 E 是 ABCD 的邊 BC 延長線上的一點 AE 與 CD 相交于 G 則圖中相似 三角形共有 A 2 對 B 3 對 C 4 對 D 5 對 點撥 將 BCG ADG ABC ACD 分別標為 則有 1 2 3 用心 愛心 專心 4 和 和 和 和 和 五對相似三角形 解答 選 D 例 2 06 蘇州 如圖 梯形 ABCD 中 AB CD 且 AB 2CD E F 分別是 AB BC 的中點 EF 與 BD 相交于點 M 1 求證 EDM FBM 2 若 DB 9 求 BM 點撥 由條件 AB 2CD E 是 AB 的中點 可得 BE CD 從而可知四邊形 DEBC 是平行四邊形 由此可證 1 在 1 中結(jié)論成立的前提下 利用 相似三角形 對應(yīng)邊成比例 的性質(zhì) 可求 BM 解答 1 AB 2CD 且 E 是 AB 的中點 BE CD 又 BE CD 四邊形 DEBC 是平行四邊形 DE BC 1 2 3 4 EDM FBM 2 EDM FBM 相似三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)成比例 F 是 CD 的 BFBM DEDM 中點 令 BM x 則 1 2 BF DE 1 2 BM DM DM 2x BD 3x 9 x 3 BM 3 例 3 06 年錦州 點 D 是 ABC 中 AB 邊上的一點 過點 D 作直線 不與直線 AB 重合 截 ABC 使截得的三角形與 ABC 相似 滿足這樣條件的直線最多有 條 點撥 要使所截得的三角形與 ABC 相似 則所截三角形的三個內(nèi)角與 ABC 的三個角對應(yīng) 相等 如果所截三角形與 ABC 以 A 為公共角 則以有一個角已經(jīng)相等 只要另一個角對 應(yīng)相等即可 由此有 1 B 2 C 或 3 B ADF C 兩種情況 如果所截三 角形與 ABC 以 B 為公共角 則同理也有兩種情況 所以經(jīng)過 D 點共有 4 種不同直線可截 三角形與 ABC 相似 解答 4 易錯點點撥易錯點點撥 易錯點 1 相似三角形識別不準確 易錯點導析 兩個相似三角形中對應(yīng)角相等 對應(yīng)邊對應(yīng)成比例 然而不對應(yīng)的角和不對 應(yīng)的邊之間并沒有特別的關(guān)系 在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時要特別注意邊 角的對應(yīng) 不 1 2 3 4 用心 愛心 專心 5 能隨便得出角相等 邊成比例 例 1 如圖 ABC 是等邊三角形 AB 3cm 分別延長 BC CB 至 E D 使得 CE 2cm EAC D 求 BD 的長 錯解 BD 2cm 錯解點撥 由題中條件可知 ABD ECA 其中 A 點與 E 點對應(yīng) D 點與 A 點對應(yīng) B 點與 C 點對應(yīng) 而不是 ABBD CEAC ABBD ACCE 解答 ABC 是等邊三角形 ABC ACB ABD ACE 又 EAC D ABD ECA 即 解得 BD 4 5cm ABBD CEAC 3 23 BD 例 2 如圖 在 ABC 中 BAC 90 D 是 BC 中點 AE AD 交 CB 延長線于點 E 則 BAE 相似于 錯解 DAC 錯解點撥 由題中條件可知 EAB DAC 容易使人設(shè)想 AEB 與 ACD 相 似 但是 E 與 C 不一定相等 AEB 與 ACD 不一定相似 實際上 由于 E 是 AEB 與 CEA 的公共角 應(yīng)該有 AEB CEA 正解 CEA 易錯點 2 考慮問題不全面 思維不謹慎 例 如圖 Rt ABC 中 AD 是斜邊 BC 上的高 則與 ABD 相似的三角形有幾個 分別是哪 幾個 錯解 ADC 錯解點撥 通過圖形觀察 容易得到 ABD CAD 但是還有 ABD CBA 應(yīng)引起我們的 注意 正解 與 ABD 相似的三角形有 2 個 分別是 CAD 和 CBA 易錯點 3 考慮問題時思維無序 方法混亂 例 如圖 平行四邊形 ABCD 中 C 是 BC 延長線上一點 AG 與 BD 交于點 E 與 DC 交于點 F 則圖中相似三角形 不包括全等 共有 A 3 對 B 4 對 C 5 對 D 6 對 錯解 B 錯解點撥 在做這類題時 如果不按照一定的方法 思維很容易混亂 用心 愛心 專心 6 造成少解或重復計數(shù) 可以先去掉 BD 考慮較簡單的情況 如圖所示 此時有 CFG DFA CFG BAG BAG DFA 三對 添加了 BD 后 又增加了 ADE GBE 和 ABE FDE 兩對 所以共有 5 對 正解 5 拓展與創(chuàng)新拓展與創(chuàng)新 1 將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺放成如圖所示的樣子 假設(shè)圖中的 所有點 線都在同一平面內(nèi) 回答下列問題 1 圖中共有 個三角形 2 圖中有相似 不包括全等 三角形嗎 如果有 就把它們一一寫出來 點撥 1 中三角形的個數(shù)可以按照單個三角形和復合三角形兩類來分開 數(shù) 2 中注意到 DAE 45 有 ADE BAE ADE DAC 兩對 解答 1 圖中有 ABD ADE AEC ABE ADC ABC AFG 共 7 個三角形 2 圖中共有兩對相似三角形 分別是 ADE BAE ADE DAC 2 如圖 在直角坐標系中有兩點 A 4 0 B 0 2 如果點 C 在x軸上 C 與 A 不重合 當點 C 的坐標為 或 時 使得由點 B O C 組成的三角形與 AOB 相似 至 少寫出兩個滿足條件的點的坐標 點撥 要使 BOC AOB 因為 O 是公共角 根據(jù) SAS 只要即可 由此 OCOB OBOA 可得 解得 OC 1 C 點的橫坐標可為 1 2 24 OC 解答 1 0 1 0 3 如圖 在正方形 ABCD 中 M 為 AB 上一點 BP CM 于 P N 在 BC 上且 BN BM 連結(jié) PD 求證 DP NP 點撥 要證 DP NP 只要能證明 BPN CPD 即可 可考慮證明 BPN CPD 利用 Rt BPM Rt CPB 得比例式 等量代換后得 再完 BPCP BMBC BPCP BNDC 成 PCD PBN 的證明 即可得證 證明 BP CM 于 P BPM CPB 90 又 CBM 90 PBM BCP 90 用心 愛心 專心 7 CBP Rt BPM Rt CPB BC CD PCD PBN 90 BCP BPCP BMBC BPCP BNDC BPN CPD DPC NBP DPN CPB 90 DP NP 學習方法點撥學習方法點撥 注意相似三角形的對應(yīng)頂點及對應(yīng)邊 即兩個相似三角形是通過什么樣的變換對應(yīng)在一起 的 在學習的初始階段 可以制作一些模型 幫助形成相應(yīng)的幾何直觀 隨堂演練隨堂演練 1 如圖 D 是的邊 AB 上一點 若 則 若ABC 1 ADC ACB 則 2 ADC ACB 第 1 題 第 2 題 第 3 題 第 4 題 2 如圖 cm 則cm 3 2 BCDBADABCAEBAD DE 3 如圖 在中 AC 是 BC DC 的比例中項 則 ABC ADC 4 如圖 在四邊形 ABCD 中 cm cm cm 15 ABCBDA20 AD18 BD cm 則 CD 的長為 cm 24 BC 5 如圖 在正方形網(wǎng)格上有 6 個三角形 ABC BCD 其中 BDE BFG FGH EFK 中與 相似的是 第 5 題 6 在 ABC 中 AB 8 AC 6 點 D 在 AC 上 且 AD 2 若要在 AB 上找一點 E 使 ADE 與原三角形相似 那么 AE 7 如圖 BD CE 是的高 圖中相似三角形有 對 ABC 用心 愛心 專心 8 8 如圖 AB CD EF 則圖中相似三角形的對數(shù)為 A 1 對 B 2 對 C 3 對 D 4 對 9 如圖 D E 分別是 AB AC 上兩點 CD 與 BE 相交于點 O 下列條件中不能使 ABE 和 ACD 相似的是 A B C B ADC AEB C BE CD AB AC D AD AC AE AB 第 7 題 第 8 題 第 9 題 10 如圖 D 是 ABC 的邊 AB 上一點 在條件 1 ACD B 2 AC2 AD AB 3 AB 邊上與點 C 距離相等的點 D 有兩個 4 B ACB 中 一定使 ABC ACD 的個數(shù) 是 A 1 B 2 C 3 D 4 11 如圖 E 是平行四邊形 ABCD 邊 BC 延長線上的一點 連接 AE 交 CD 于點 F 則圖中共有 相似三角形 A 1 對 B 2 對 C 3 對 D 4 對 第 10 題 第 11 題 第 13 題 12 有一個銳角相等的兩個直角三角形的關(guān)系是 A 全等 B 相似 C 既不全等與也不相似 D 無法確定 13 已知 ACB 為等腰直角三角形 ACB 90 延長 BA 至 E 延長 AB 至 F ECF 135 求證 EAC CBF 14 如圖 在中 在中 ABC 47Acm5 1 ABcm2 A