三角形的邊角之間的關(guān)系.doc

學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考三角形的邊角之間關(guān)系（1）三角形三內(nèi)角和等于180（在球面上，三角形內(nèi)角之和大于180）； （2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和； （3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角； （4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； （5）在同一個三角形內(nèi)，大邊對大角，大角對大邊. （6）三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線. （7）三角形的角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等. （8）三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等. （9）三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等于它到對邊中點的距離的2倍。 （10）三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。 （11）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的1/2。 （12）三角形的一邊與另一邊延長線的夾角叫做三角形的外角。注意: 三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部 . 鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。 直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。（直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊中點。）銳角三角形垂心、外心在三角形內(nèi)部。三角形相關(guān)定理重心定理 三角形的三條中線交于一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍上述交點叫做三角形的重心.外心定理 三角形的三邊的垂直平分線交于一點這點叫做三角形的外心.垂心定理 三角形的三條高交于一點這點叫做三角形的垂心.內(nèi)心定理 三角形的三內(nèi)角平分線交于一點這點叫做三角形的內(nèi)心.旁心定理 三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點這點叫做三角形的旁心三角形有三個旁心三角形的重心、外心、垂心、內(nèi)心、旁心稱為三角形的五心它們都是三角形的重要相關(guān)點 中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半三邊關(guān)系定理 三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊勾股定理在Rt三角形ABC中，A90度，則ABAB+ACAC=BCBC梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。證明：過點A作AGBC交DF的延長線于G,則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。三式相乘得：AF/FBBD/DCCE/EA=AG/BDBD/DCDC/AG=1它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。塞瓦定理設(shè)O是ABC內(nèi)任意一點，AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1證法簡介（）本題可利用梅涅勞斯定理證明：ADC被直線BOE所截， CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 而由ABD被直線COF所截， BC/CD*DO/OA*AF/BF=1:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1（）也可以利用面積關(guān)系證明BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC 得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1，所以三條高CD、A