第二章 第4課時.doc

2.4函數(shù)的奇偶性與周期性1奇、偶函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為A.如果對于任意的xA，都有_，那么稱函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)如果對于任意的xA，都有_，那么稱函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱2奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性_，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性_(2)在公共定義域內(nèi)，兩個奇函數(shù)的和是_，兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和、積都是_；一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積是_3周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期4對稱性若函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，則函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa對稱難點正本疑點清源1函數(shù)奇偶性的判斷判斷函數(shù)的奇偶性主要根據(jù)定義：一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(或奇函數(shù))其中包含兩個必備條件：定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域有利于準確簡捷地解決問題；判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立2函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反(2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函數(shù)f(x)定義域中含有0，則必有f(0)0.f(0)0是f(x)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件(4)定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和(或差)”(5)復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”(6)既奇又偶的函數(shù)有無窮多個(如f(x)0，定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集)1已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是_2下列函數(shù)中，所有奇函數(shù)的序號是_f(x)2x43x2；f(x)x32x；f(x)；f(x)x31.3(2011廣東)設(shè)函數(shù)f(x)x3cos x1.若f(a)11，則f(a)_.4設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當x(0，)時，f(x)lg x，則滿足f(x)0的x的取值范圍是_5定義在R上的函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)，且滿足f(1x)f(1x)當x1,1時，f(x)x3，則f(2 013)的值是_.題型一函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).探究提高判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域?qū)鉀Q問題是有利的；(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立分段函數(shù)指在定義域的不同子集有不同對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從x0或x0，回答下列問題(1)判斷f(x)在(1,1)上的奇偶性，并說明理由；(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,1)上的單調(diào)性，并說明理由；(3)若f，試求fff的值探究提高對于抽象函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷一般要緊扣定義通過賦值要出現(xiàn)：f(x1)f(x2)與0的大小關(guān)系，f(x)與f(x)的關(guān)系就本題來講要注意運用x0的條件 函數(shù)yf(x)(x0)是奇函數(shù)，且當x(0，)時是增函數(shù)，若f(1)0，求不等式fx(x)0的解集題型三函數(shù)的奇偶性與周期性例3設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當x0,2時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當x2,4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2 011)探究提高判斷函數(shù)的周期只需證明f(xT)f(x) (T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點問題 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x2)，當2x3時，f(x)x，則f(105.5)_.2.等價轉(zhuǎn)換要規(guī)范試題：(16分)函數(shù)f(x)的定義域Dx|x0，且滿足對于任意x1，x2D.有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍學生解答展示審題視角(1)從f(1)聯(lián)想自變量的值為1，進而想到賦值x1x21.(2)判斷f(x)的奇偶性，就是研究f(x)、f(x)的關(guān)系從而想到賦值x11，x2x.即f(x)f(1)f(x)(3)就是要出現(xiàn)f(M)f(N)的形式，再結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為MN的形式求解規(guī)范解答解(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.2分(2)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)為偶函數(shù)8分(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.10分由f(3x1)f(2x6)3，變形為f(3x1)(2x6)f(64)(*)f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)f(|x|)不等式(*)等價于f|(3x1)(2x6)|f(64)12分又f(x)在(0，)上是增函數(shù)，|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.解得x或x3或3x5.x的取值范圍是x|x或x3或30)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.4已知定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足條件ff(x)，且函數(shù)yf為奇函數(shù)，給出以下四個命題：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點對稱；函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)其中真命題的序號為_5(2011浙江)若函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，則實數(shù)a_.6對于函數(shù)f(x)(其中a為實數(shù)，x1)，給出下列命題：當a1時，f(x)在定義域上為單調(diào)函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于點(1，a)對稱；對任意aR，f(x)都不是奇函數(shù)；當a1時，f(x)為偶函數(shù)；當a2時，對于滿足條件2x1x2的所有x1、x2總有f(x1)f(x2)3(x2x1)其中正確命題的序號為_二、解答題7已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x1對稱(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x) (0x1)，求x5，4時，函數(shù)f(x)的解析式8函數(shù)f(x)的定義域為Dx|x0，且滿足對于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍答案要點梳理1f(x)f(x)f(x)f(x)2(1)相同相反(2)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)基礎(chǔ)自測1.2.3.94.(1,0)(1，) 51題型分類深度剖析例1解(1)由，得x3.f(x)的定義域為3,3又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)f(x)f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)(2)由，得101x1，定義域關(guān)于原點對稱又f(x)lglg1lgf(x)，故原函數(shù)是奇函數(shù)(2)由0且2x02x0時，f(x)x2x，則當x0，故f(x)x2xf(x)；當x0時，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)(4)由得定義域為(1,0)(0,1)，關(guān)于原點對稱，f(x).f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)例2解(1)令xy0f(0)0，令yx，則f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)在(1,1)上是奇函數(shù)(2)設(shè)0x1x21，則f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f，而x1x20,0x1x210，即當0x1x2f(x2)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減(3)由于ffffff，同理，fff，fff，fff2f21.變式訓練2解yf(x)為奇函數(shù)，且在(0，)上為增函數(shù)，yf(x)在(，0)上也是增函數(shù)，且由f(1)0得f(1)0.若fx(x)0f(1)，則即0x(x)1，解得x或x0.若fx(x)0f(1)，則由x(x)1，解得x.原不等式的解集是x|x或x0例3(1)證明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4(3)解f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 011)0.變式訓練32.5課時規(guī)范訓練A組132.3.14.25.1 617.38解(1)當a0時，f(x)x2，f(x)f(x) ，函數(shù)是偶函數(shù)當a0時，f(x)x2 (x0，常數(shù)aR)，取x1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)若f(1)2，即1a2，解得a1，這時f(x)x2.任取x1，x22，)，且x1x2，則f(x1)f(x2)(x)(x1x2)(x1x2)(x1x2).由于x12，x22，且x1x2，x1x2，所以f(x1)f(x2)，故f(x)在2，)上是單調(diào)遞增函數(shù)B組132. 38 45.06.7(1)證明由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，有f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)從而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)解由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)0.x1,0)時，x(0,1，f(x)f(x).故x1,0時，f(x).x5，4時，x41,0，f(x)f(x4).從而，x5，4時，函數(shù)f(x).8解(1)對于