高三數(shù)學(xué)抽屜原理教案.doc

抽屜原理把八個(gè)蘋果任意地放進(jìn)七個(gè)抽屜里，不論怎樣放，至少有一個(gè)抽屜放有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果抽屜原則有時(shí)也被稱為鴿巢原理，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來(lái)并用以證明一些數(shù)論中的問(wèn)題，因此，也稱為狄利克雷原則它是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式形式一：證明：設(shè)把n1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)ai大于或等于2（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對(duì)每一個(gè)ai都有ai2，則因?yàn)閍i是整數(shù)，應(yīng)有ai1，于是有：a1a2an111nn1這與題設(shè)矛盾所以，至少有一個(gè)ai2，即必有一個(gè)集合中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素形式二：設(shè)把nm1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)ai大于或等于m1（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對(duì)每一個(gè)ai都有aim1，則因?yàn)閍i是整數(shù)，應(yīng)有aim，于是有：a1a2anmmmnm n個(gè)mnm1這與題設(shè)相矛盾 所以，至少有存在一個(gè)aim1高斯函數(shù)：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，x表示“不大于x的最大整數(shù)”例如：353，292，253，77，一般地，我們有：xxx1形式三：證明：設(shè)把n個(gè)元素分為k個(gè)集合A1，A2，Ak，用a1，a2，ak表示這k個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)ai大于或等于n/k（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對(duì)每一個(gè)ai都有ain/k，于是有：a1a2akn/k+n/k+n/k k個(gè)n/kkn/kk(n/k)n a1a2akn這與題設(shè)相矛盾 所以，必有一個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)大于或等于n/k形式四：證明：設(shè)把q1q2qnn1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)i，使得ai大于或等于qi（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對(duì)每一個(gè)ai都有aiqi，因?yàn)閍i為整數(shù)，應(yīng)有aiqi1，于是有：a1a2anq1q2qnn q1q2qnn1這與題設(shè)矛盾所以，假設(shè)不成立，故必有一個(gè)i，在第i個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)aiqi形式五： 證明：（用反證法）將無(wú)窮多個(gè)元素分為有限個(gè)集合，假設(shè)這有限個(gè)集合中的元素的個(gè)數(shù)都是有限個(gè)，則有限個(gè)有限數(shù)相加，所得的數(shù)必是有限數(shù)，這就與題設(shè)產(chǎn)生矛盾，所以，假設(shè)不成立，故必有一個(gè)集合含有無(wú)窮多個(gè)元素例題：400人中至少有兩個(gè)人的生日相同分析：生日從1月1日排到12月31日，共有366個(gè)不相同的生日，我們把366個(gè)不同的生日看作366個(gè)抽屜，400人視為400個(gè)蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩人在同一個(gè)抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相同解：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)蘋果，由抽屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知：至少有兩人的生日相同例題：邊長(zhǎng)為1的正方形中，任意放入9個(gè)點(diǎn)，求證這9個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)組成的三角形中，至少有一個(gè)的面積不超過(guò)1/8解：將邊長(zhǎng)為1的正方形等分成邊長(zhǎng)為的四個(gè)小正方形，視這四個(gè)正方形為抽屜，9個(gè)點(diǎn)任意放入這四個(gè)正方形中，據(jù)形式2，必有三點(diǎn)落入同一個(gè)正方形內(nèi)現(xiàn)特別取出這個(gè)正方形來(lái)加以討論EFGD把落在這個(gè)正方形中的三點(diǎn)記為D、E、F通過(guò)這三點(diǎn)中的任意一點(diǎn)（如E）作平行線，如圖可知：SDEFSDEGSEFGh例題3：任取5個(gè)整數(shù)，必然能夠從中選出三個(gè)，使它們的和能夠被3整除證明：任意給一個(gè)整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為0，1，2，我們把被3除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類r，r1，r2至少有一類包含所給個(gè)數(shù)中的至少兩個(gè)因此可能出現(xiàn)兩種情況：1某一類至少包含三個(gè)數(shù)；2某兩類各含兩個(gè)數(shù)，第三類包含一個(gè)數(shù)若是第一種情況，就在至少包含三個(gè)數(shù)的那一類中任取三數(shù)，其和一定能被3整除；若是第二種情況，在三類中各取一個(gè)數(shù)，其和也能被3整除綜上所述，原命題正確例題4：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為23的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)證明：如圖，設(shè)PQ是一條這樣的直線，作這兩個(gè)梯形的中位線MN這兩個(gè)梯形的高相等，它們的面積之比等于中位線長(zhǎng)的比，即|MH|NH|點(diǎn)H有確定的位置（它在正方形一對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)的連線上，并且|MH|NH|23）由幾何上的對(duì)稱性，這種點(diǎn)共有四個(gè)，即，圖中的H、J、I、K已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經(jīng)過(guò)H、J、I、K這四點(diǎn)中的一點(diǎn)把H、J、I、K看成四個(gè)抽屜，九條直線當(dāng)成9個(gè)蘋果，即可得出必定有3條分割線經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)例題5：某校派出學(xué)生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100株，則至少有5人植樹的株數(shù)相同證明：按植樹的多少，從50到100株可以構(gòu)造51個(gè)抽屜，則個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里(用反證法)假設(shè)無(wú)5人或5人以上植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那只有5人以下植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為204人，所以，每個(gè)抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有：4(5051100)41530015301得出矛盾因此，至少有5人植樹的株數(shù)相同練習(xí)：1邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)，那么這5個(gè)點(diǎn)中一定有距離小于0.5的兩點(diǎn)2邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)，若有n21個(gè)點(diǎn)，則至少存在2點(diǎn)