復變函數(shù)與積分變換課程考試大綱(一).doc

復變函數(shù)與積分變換課程考試大綱(一)（物理學、自動化、電子信息工程、信息與計算科學專業(yè)，54學時）一、 教 材：復變函數(shù)與積分變換（第二版），華中科技大學數(shù)學系編，高等教學出版社，2003年。二、 考試范圍： 教材第一、二、三、四、五(第4節(jié)不考)、六、八、九章的全部內容。三、 復習的總體要求： 認真閱讀教材及各章后面的小結，掌握概念、理解定理并能應用定理解決一些實際問題；有關定理的證明看懂即可；熟練掌握各種形式的復積分、留數(shù)、Fourier變換和Laplace變換的計算；能在指定區(qū)域內對復變函數(shù)進行Taylor展開或 Laurent展開。四、復習的具體要求：第一章 復數(shù)與復變函數(shù)熟練掌握復數(shù)的各種表示方法及相應的運算，掌握復數(shù)的性質,理解輻角的多值性以及復數(shù)與平面上點的一一對應關系；了解復數(shù)與實數(shù)的不同點。理解和掌握平面點集的有關概念，如鄰域、去心鄰域、邊界點、區(qū)域、閉區(qū)域、有界集、無界集、曲線的光滑和按段光滑、簡單曲線、單連通區(qū)域和多連通區(qū)域等。了解無窮大與復球面。理解復變函數(shù)及與之相關的概念，如復變函數(shù)的極限與連續(xù)性、復變函數(shù)與映射的關系等。第二章 解析函數(shù)正確理解復變函數(shù)的導數(shù)與解析函數(shù)這兩個重要概念，并熟練掌握判斷復變函數(shù)可導與解析的方法，牢固掌握Cauchy-Reimann方程及其在函數(shù)可導與解析性判別中的應用。能區(qū)別復變函數(shù)在一點可導與一點解析的異同；能熟練進行導數(shù)的各種運算。理解調和函數(shù)與共軛調和函數(shù)的概念，會根據(jù)解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系求適合初始條件的解析函數(shù)。掌握各種初等函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、反三角函數(shù)等的定義及有關運算，了解這些函數(shù)的解析區(qū)域。對根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的多值性、主支、單值分支等概念要正確理解。第三章 復變函數(shù)的積分 理解復變函數(shù)積分的定義和性質以及原函數(shù)的概念；深刻理解和掌握Cauchy積分定理和Cauchy積分公式（包括高階導數(shù)公式），并能熟練地利用它們計算復積分。理解解析函數(shù)的平均值公式、最大模原理，了解Liouville定理。第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 理解復數(shù)項級數(shù)及其收斂的概念，掌握復數(shù)項級數(shù)收斂的判別法。理解關于冪級數(shù)的Abel定理，熟練掌握計算冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域；能熟練地用直接方法和間接方法將解析函數(shù)在指定區(qū)域內展開成Taylor級數(shù)。理解Laurent級數(shù)的概念，掌握Laurent定理，并能熟練地將函數(shù)在指定的圓環(huán)或某點的去心鄰域內展開成Laurent級數(shù)。特別要掌握將同一個函數(shù)在不同區(qū)域上展開成Taylor級數(shù)或Laurent級數(shù)的方法及其意義。第五章 留數(shù)及其應用正確理解孤立奇點的定義，熟練掌握對孤立奇點類型的判別方法。掌握函數(shù)的零點與極點的關系并能計算它們的階數(shù)。掌握復變函數(shù)留數(shù)的概念、留數(shù)定理，掌握函數(shù)在各種奇點處留數(shù)的計算，并能利用留數(shù)計算幾類實變量函數(shù)的定積分。第六章 共形映射理解復變函數(shù)導數(shù)的模和輻角的幾何意義，了解保角映射、共形映射的概念。掌握分式線性映射的定義及其性質，如保形性、保對稱性和保圓性等，能比較熟練地利用分式線性映射實現(xiàn)標準區(qū)域（圓域、半平面或角形區(qū)域）之間的共形映射。了解初等函數(shù)及其特有的變換功能。第八章Fourier變換理解和掌握周期函數(shù)的Fourier級數(shù)的復指數(shù)形式及相關概念，如振幅、離散頻譜、離散相位譜、離散振幅譜、振幅譜、相位譜等；掌握Fourier積分、Fourier變換、Fourier逆變換的定義，能熟練地應用定義求函數(shù)的Fourier積分和Fourier變換，了解對函數(shù)進行Fourier變換所需的條件。掌握單位脈沖函數(shù)的定義性質及其Fourier變換。熟練掌握Fourier變換的性質及其應用；熟練掌握函數(shù)卷積的定義、性質及其計算。1. Laplace變換 熟練掌握Laplace變換、Laplace逆變換及其性質，并能利用定義熟練地求函數(shù)的Laplace變換；了解像函數(shù)、原像函數(shù)的定義。掌握卷積定理、反演積分公式，并能進行相應的計算。掌握利用留數(shù)計算反演積分，利用Laplace變換求解常微分方程（組）的方法。（完） 五、 試卷題型1. 單項選擇題； 2. 填空題; 3. 計算題; 4. 證明題. 其中, 選擇題和填空題兩類客觀題占1/3左右. (完) 大綱制定者：王建平 教授大綱審定者：盛寶懷 教授 2006年9月復變函數(shù)與積分變換課程考試大綱(二)（物理學、自動化、電子信息工程、信息與計算科學專業(yè)，36學時）一、 教 材：復變函數(shù)與積分變換（第二版），華中科技大學數(shù)學系編，高等教學出版社，2003年。二、考試范圍： 教材第一、二、三、四、五(第3、4節(jié)不考)、八、九章的全部內容。三、 復習的總體要求： 認真閱讀教材及各章后面的小結，掌握概念、理解定理；有關定理的證明看懂即可；熟練計算各種形式的復積分、留數(shù)、Fourier變換和Laplace變換；能在指定區(qū)域內對復變函數(shù)進行Taylor展開或 Laurent展開。四、考試的具體要求：第一章 復數(shù)與復變函數(shù)熟練掌握復數(shù)的各種表示方法及相應的運算，掌握復數(shù)的性質,理解輻角的多值性以及復數(shù)與平面上點的一一對應關系。理解和掌握平面點集的有關概念，如鄰域、去心鄰域、邊界點、區(qū)域、閉區(qū)域、有界集、無界集、曲線的光滑和按段光滑、簡單曲線、單連通區(qū)域和多連通區(qū)域等。了解無窮大與復球面。理解復變函數(shù)及與之相關的概念，如復變函數(shù)的極限與連續(xù)性、復變函數(shù)與映射的關系等。第二章 解析函數(shù)正確理解復變函數(shù)的導數(shù)與解析函數(shù)這兩個重要概念，并熟練握判斷復變函數(shù)可導與解析的方法，牢固掌握Cauchy-Reimann方程及其在函數(shù)可導與解析性判別中的應用。能熟練進行導數(shù)的各種運算。理解調和函數(shù)與共軛調和函數(shù)的概念，會根據(jù)解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系求適合初始條件的解析函數(shù)。掌握主要幾種初等函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的定義及有關運算，了解這些函數(shù)的解析區(qū)域。對根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的多值性和主支等概念有所了解。第三章 復變函數(shù)的積分理解復變函數(shù)積分的定義和性質；深刻理解和掌握Cauchy積分定理和Cauchy積分公式（包括高階導數(shù)公式），并能熟練地利用它們計算復積分。了解解析函數(shù)的平均值公式和最大模原理。第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 理解復數(shù)項級數(shù)及其收斂的概念，掌握復數(shù)項級數(shù)收斂的判別法。理解關于冪級數(shù)的Abel定理，掌握計算冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域；能熟練地用直接方法和間接方法將解析函數(shù)在指定區(qū)域內展開成Taylor級數(shù)。理解Laurent級數(shù)的概念，掌握Laurent定理，并能熟練地將函數(shù)在指定的圓環(huán)或某點的去心鄰域內展開成Laurent級數(shù)。特別要掌握將同一個函數(shù)在不同區(qū)域上展開成Taylor級數(shù)或Laurent級數(shù)的方法及其意義。第五章 留數(shù)及其應用理解孤立奇點的定義及其分類方法。掌握函數(shù)的零點與極點的關系并能計算它們的階數(shù)。掌握復變函數(shù)留數(shù)的概念、留數(shù)定理，掌握函數(shù)在奇點處留數(shù)的計算。第八章Fourier變換理解和掌握周期函數(shù)的Fourier級數(shù)的復指數(shù)形式及相關概念，如振幅、離散頻譜、離散相位譜、離散振幅譜、振幅譜、相位譜等；掌握Fourier積分、Fourier變換、Fourier逆變換的定義，能熟練地應用定義求函數(shù)的Fourier積分和Fourier變換。掌握單位脈沖函數(shù)的定義性質及其Fourier變換。熟練掌握Fourier變換的性質及其應用；掌握函數(shù)卷積的定義、性質及其計算。第九章 Laplace變換 熟練掌握Laplace變換、Laplace逆變換及其性質，并能利用定義熟練地計算求函數(shù)的Laplace變換；了解像函數(shù)、原像函數(shù)的