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電磁學中的偏微分方程 牛再強20081141462012/3/31摘 要：介紹了電磁學計算方法的研究進展和狀態(tài)，對幾種富有代表性的算法做了介紹，并比較了各自的優(yōu)勢和不足，包括矩量法、有限元法、時域有限差分方法以及復射線方法等。 關(guān)鍵詞：矩量法；有限元法；時域有限差分方法；復射線方法 1 引 言 1864年Maxwell在前人的理論（高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁極不存在）和實驗的基礎(chǔ)上建立了統(tǒng)一的電磁場理論，并用數(shù)學模型揭示了自然界一切宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的普遍規(guī)律，這就是著名的Maxwell方程。在11種可分離變量坐標系求解Maxwell方程組或者其退化形式，最后得到解析解。這種方法可以得到問題的準確解，而且效率也比較高，但是適用范圍太窄，只能求解具有規(guī)則邊界的簡單問題。對于不規(guī)則形狀或者任意形狀邊界則需要比較高的數(shù)學技巧，甚至無法求得解析解。20世紀60年代以來，隨著電子計算機技術(shù)的發(fā)展，一些電磁場的數(shù)值計算方法發(fā)展起來，并得到廣泛地應(yīng)用，相對于經(jīng)典電磁理論而言，數(shù)值方法受邊界形狀的約束大為減少，可以解決各種類型的復雜問題。但各種數(shù)值計算方法都有優(yōu)缺點，一個復雜的問題往往難以依靠一種單一方法解決，常需要將多種方法結(jié)合起來，互相取長補短，因此混和方法日益受到人們的重視。 本文綜述了國內(nèi)外計算電磁學的發(fā)展狀況，對常用的電磁計算方法做了分類。 2 電磁場數(shù)值方法的分類 電磁學問題的數(shù)值求解方法可分為時域和頻域2大類。頻域技術(shù)主要有矩量法、有限差分方法等，頻域技術(shù)發(fā)展得比較早，也比較成熟。時域法主要有時域差分技術(shù)。時域法的引入是基于計算效率的考慮，某些問題在時域中討論起來計算量要小。例如求解目標對沖激脈沖的早期響應(yīng)時，頻域法必須在很大的帶寬內(nèi)進行多次采樣計算，然后做傅里葉反變換才能求得解答，計算精度受到采樣點的影響。若有非線性部分隨時間變化，采用時域法更加直接。另外還有一些高頻方法，如GTD，UTD和射線理論。 從求解方程的形式看，可以分為積分方程法（IE）和微分方程法（DE）。IE和DE相比，有如下特點：IE法的求解區(qū)域維數(shù)比DE法少一維，誤差限于求解區(qū)域的邊界，故精度高；IE法適合求無限域問題，DE法此時會遇到網(wǎng)格截斷問題；IE法產(chǎn)生的矩陣是滿的，階數(shù)小，DE法所產(chǎn)生的是稀疏矩陣，但階數(shù)大；IE法難以處理非均勻、非線性和時變媒質(zhì)問題，DE法可直接用于這類問題1。 3 幾種典型方法的介紹 有限元方法是在20世紀40年代被提出，在50年代用于飛機設(shè)計。后來這種方法得到發(fā)展并被非常廣泛地應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析問題中。目前，作為廣泛應(yīng)用于工程和數(shù)學問題的一種通用方法，有限元法已非常著名。 有限元法是以變分原理為基礎(chǔ)的一種數(shù)值計算方法。其定解問題為： 應(yīng)用變分原理，把所要求解的邊值問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問題，利用對區(qū)域D的剖分、插值，離散化變分問題為普通多元函數(shù)的極值問題，進而得到一組多元的代數(shù)方程組，求解代數(shù)方程組就可以得到所求邊值問題的數(shù)值解。一般要經(jīng)過如下步驟： 給出與待求邊值問題相應(yīng)的泛函及其變分問題。 剖分場域D，并選出相應(yīng)的插值函數(shù)。 將變分問題離散化為一種多元函數(shù)的極值問題，得到如下一組代數(shù)方程組： 其中：Kij為系數(shù)（剛度）矩陣；Xi為離散點的插值。 選擇合適的代數(shù)解法解式（2），即可得到待求邊值問題的數(shù)值解Xi（i1，2，N） （2）矩量法 很多電磁場問題的分析都歸結(jié)為這樣一個算子方程2： L（f）g（3）其中：L是線性算子，f是未知的場或其他響應(yīng)，g是已知的源或激勵。 在通常的情況下，這個方程是矢量方程（二維或三維的）。如果f能有方程解出，則是一個精確的解析解，大多數(shù)情況下，不能得到f的解析形式，只能通過數(shù)值方法進行預估。令f在L的定義域內(nèi)被展開為某基函數(shù)系f1，f2，f3，fn的線性組合： 其中：an是展開系數(shù)，fn為展開函數(shù)或基函數(shù)。 對于精確解式（2）通暢是無限項之和，且形成一個基函數(shù)的完備集，對近似解，將式 （2）帶入式（1），再應(yīng)用算子L的線性，便可以得到： m1，2，3， 此方程組可寫成矩陣形式f，以解出f。矩量法就是這樣一種將算子方程轉(zhuǎn)化為矩陣方程的一種離散方法。 在電磁散射問題中，散射體的特征尺度與波長之比是一個很重要的參數(shù)。他決定了具體應(yīng)用矩量法的途徑。如果目標特征尺度可以與波長比較，則可以采用一般的矩量法；如果目標很大而特征尺度又包括了一個很大的范圍，那么就需要選擇一個合適的離散方式和離散基函數(shù)。受計算機內(nèi)存和計算速度影響，有些二維和三維問題用矩量法求解是非常困難的，因為計算的存儲量通常與N2或者N3成正比（N為離散點數(shù)），而且離散后出現(xiàn)病態(tài)矩陣也是一個難以解決的問題。這時需要較高的數(shù)學技巧，如采用小波展開，選取合適的小波基函數(shù)來降維等3。 （3）時域有限差分方法 時域有限差分（FDTD）是電磁場的一種時域計算方法。傳統(tǒng)上電磁場的計算主要是在頻域上進行的，這些年以來，時域計算方法也越來越受到重視。他已在很多方面顯示出獨特的優(yōu)越性，尤其是在解決有關(guān)非均勻介質(zhì)、任意形狀和復雜結(jié)構(gòu)的散射體以及輻射系統(tǒng)的電磁問題中更加突出。FDTD法直接求解依賴時間變量的麥克斯韋旋度方程，利用二階精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接轉(zhuǎn)換為差分形式，這樣達到在一定體積內(nèi)和一段時間上對連續(xù)電磁場的數(shù)據(jù)取樣壓縮。電場和磁場分量在空間被交叉放置，這樣保證在介質(zhì)邊界處切向場分量的連續(xù)條件自然得到滿足。在笛卡兒坐標系電場和磁場分量在網(wǎng)格單元中的位置是每一磁場分量由4個電場分量包圍著，反之亦然。 這種電磁場的空間放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然幾何結(jié)構(gòu)。因此FDTD算法是計算機在數(shù)據(jù)存儲空間中對連續(xù)的實際電磁波的傳播過程在時間進程上進行數(shù)字模擬。而在每一個網(wǎng)格點上各場分量的新值均僅依賴于該點在同一時間步的值及在該點周圍鄰近點其他場前半個時間步的值。這正是電磁場的感應(yīng)原理。這些關(guān)系構(gòu)成FDTD法的基本算式，通過逐個時間步對模擬區(qū)域各網(wǎng)格點的計算，在執(zhí)行到適當?shù)臅r間步數(shù)后，即可獲得所需要的結(jié)果。 在上述算法中，時間增量t和空間增量x，y和z不是相互獨立的，他們的取值必須滿足一定的關(guān)系，以避免數(shù)值不穩(wěn)定。這種不穩(wěn)定表現(xiàn)為在解顯式 差分方程時隨著時間步的繼續(xù)計算結(jié)果也將無限制的67增加。為了保證數(shù)值穩(wěn)定性必須滿足數(shù)值穩(wěn)定條件： 其中：（對非均勻區(qū)域，應(yīng)選c的最大值）4。 用差分方法對麥克斯韋方程的數(shù)值計算還會在網(wǎng)格中引起所模擬波模的色散，即在FDTD網(wǎng)格中數(shù)字波模的傳播速度將隨波長、在網(wǎng)格中的傳播方向以及離散化的情況而改變。這種色散將導致非物理原因引起的脈沖波形的畸變、人為的各向異性及虛擬的繞射等，因此必須考慮數(shù)值色散問題。如果在模擬空間中采用大小不同的網(wǎng)格或包含不同的介質(zhì)區(qū)域，這時網(wǎng)格尺寸與波長之比將是位置的函數(shù)，在不同網(wǎng)格或介質(zhì)的交界面處將出現(xiàn)非物理的繞射和反射現(xiàn)象，對此也應(yīng)該進行定量的研究，以保證正確估計FDTD算法的精度。在開放問題中電磁場將占據(jù)無限大空間，而由于計算機內(nèi)存總是有限的，只能模擬有限空間，因此差分網(wǎng)格在某處必將截斷，這就要求在網(wǎng)格截斷處不引起波的明顯反射，使對外傳播的波就像在無限大空間中傳播一樣。這就是在截斷處設(shè)置吸收邊界條件，使傳播到截斷處的波被邊界吸收而不產(chǎn)生反射，當然不可能達到完全沒有反射，目前已創(chuàng)立的一些吸收邊界條件可達到精度上的要求，如Mur所導出的吸收邊界條件。 （4）復射線方法 復射線是用于求解波場傳播和散射問題的一種高頻近似方法。他根據(jù)幾何光學理論和幾何繞射理論的分析方法和計算公式，在解析延拓的復空間中求解復射線軌跡和場的振幅和相位，從而直接得出局部不均勻波（凋落波）的傳播和散射規(guī)律5。復射線方法是包括復射線追蹤、復射線近軸近似、復射線展開以及復繞射線等處理技術(shù)在內(nèi)的一系列處理方法的統(tǒng)稱。其共同特點在于：通過將射線參考點坐標延拓到復空間而建立了一個簡單而統(tǒng)一的實空間中波束射線束（Bundle ofrays）分析模型；通過費馬原理及其延拓，由基于復射線追蹤或復射線近軸近似的處理技術(shù)，構(gòu)造了射線光學架構(gòu)下有效的鞍點場描述方法等。例如，復射線追蹤法將射線光學中使用的射線追蹤方法和場強計算公式直接地解析延拓到復空間，利用延拓后的復費馬原理進行復射線搜索，從而求出復射線軌跡和復射線場。這一方法的特點在于可以基于射線光學方法有效地描述空間中波束的傳播，因此，提供了一類分析波束傳播的簡便方法。其不足之處是對每一個給定的觀察點必須進行一次二維或四維的復射線軌跡搜索，這是一個十分花費時間的計算機迭代過程。 4 幾種方法的比較和進展 將有限元法移植到電磁工程領(lǐng)域還是二十世紀六七十年代的事情，他比較新穎。有限元法的優(yōu)點是適用于具有復雜邊界形狀或邊界條件、含有復雜媒質(zhì)的定解問題。這種方法的各個環(huán)節(jié)可以實現(xiàn)標準化，得到通用的計算程序，而且有較高的計算精度。但是這種方法的計算程序復雜冗長，由于他是區(qū)域性解法，分割的元素數(shù)和節(jié)點數(shù)較多，導致需要的初始數(shù)據(jù)復雜繁多，最終得到的方程組的元數(shù)很大，這使得計算時間長，而且對計算機本身的存儲也提出了要求。對電磁學中的許多問題，有限元產(chǎn)生的是帶狀（如果適當?shù)亟o節(jié)點編號的話）、稀疏陣（許多矩陣元素是0）。但是單獨采用有限元法只能解決開域問題。用有限元法進行數(shù)值分析的第一步是對目標的離散，多年來人們一直在研究這個問題，試圖找到一種有效、方便的離散方法，但由于電磁場領(lǐng)域的特殊性，這個問題一直沒有得到很好的解決。問題的關(guān)鍵在于一方面對復雜的結(jié)構(gòu)，一般的剖分方法難于適用；另一方面，由于剖分的疏密與最終所形成的系數(shù)矩陣的存貯量密切相關(guān)，因而人們采用了許多方法來減少存儲量，如多重網(wǎng)格法，但這些方法的實現(xiàn)較為困難6。 網(wǎng)格剖分與加密是有限元方法發(fā)展的瓶頸之一，采用自適應(yīng)網(wǎng)格剖分和加密技術(shù)相對來說可以較好地解決這一問題。自適應(yīng)網(wǎng)格剖分根據(jù)對場量分布求解后的結(jié)果對網(wǎng)格進行增加剖分密度的調(diào)整，在網(wǎng)格密集區(qū)采用高階插值函數(shù)，以進一步提高精度，在場域分布變化劇烈區(qū)域，進行多次加密。 這些年有限元方法的發(fā)展日益加快，與其他理論相結(jié)合方面也有了新的進展，并取得了相當應(yīng)用范圍的成果，如自適應(yīng)網(wǎng)格剖分、三維場建模求解、耦合問題、開域問題、高磁性材料及具有磁滯飽和非線性特性介質(zhì)的處理等，還包括一些尚處于探索階段的工作，如擬問題、人工智能和專家系統(tǒng)在電磁裝置優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用、邊基有限元法等，這些都使得有限元方法的發(fā)展有了質(zhì)的飛躍。 矩量法將連續(xù)方程離散化為代數(shù)方程組，既適用于求解微分方程，又適用于求解積分方程。他的求解過程簡單，求解步驟統(tǒng)一，應(yīng)用起來比較方便。然而 77他需要一定的數(shù)學技巧，如離散化的程度、基函數(shù)與權(quán)函數(shù)的選取，矩陣求解過程等。另外必須指出的是，矩量法可以達到所需要的精確度，解析部分簡單，可計算量很大，即使用高速大容量計算機，計算任務(wù)也很繁重。矩量法在天線分析和電磁場散射問題中有比較廣泛地應(yīng)用，已成功用于天線和天線陣的輻射、散射問題、微帶和有耗結(jié)構(gòu)分析、非均勻地球上的傳播及人體中電磁吸收等。 FDTD用有限差分式替代時域麥克斯韋旋度方程中的微分式，得到關(guān)于場分量的有限差分式，針對不同的研究對象，可在不同的坐標系中建模，因而具有這幾個優(yōu)點，容易對復雜媒體建模，通過一次時域分析計算，借助傅里葉變換可以得到整個同帶范圍內(nèi)的頻率響應(yīng)；能夠?qū)崟r在現(xiàn)場的空間分布，精確模擬各種輻射體和散射體的輻射特性和散射特性；計算時間短。但是FDTD分析方法由于受到計算機存儲容量的限制，其網(wǎng)格空間不能無限制的增加，造成FDTD方法不能適用于較大尺寸，也不能適用于細薄結(jié)構(gòu)的媒質(zhì)。因為這種細薄結(jié)構(gòu)的最小尺寸比FDTD網(wǎng)格尺寸小很多，若用網(wǎng)格擬和這類細薄結(jié)構(gòu)只能減小網(wǎng)格尺寸，而這必然導致計算機存儲容量的加大。因此需要將FDTD與其他技術(shù)相結(jié)合，目前這種技術(shù)正蓬勃發(fā)展，如時域積分方程FDTD方法，F(xiàn)DTDMOM等。FDTD的應(yīng)用范圍也很廣闊，諸如手持機輻射、天線、不同建筑物結(jié)構(gòu)室內(nèi)的電磁干擾特性研究、微帶線等7。 復射線技術(shù)具有物理模型簡單、數(shù)學處理方便、計算效率高等特點，在復雜目標散射特性分析等應(yīng)用領(lǐng)域中有重要的研究價值。典型的處理方式是首先將入射平面波離散化為一組波束指向平行的復源點場，通過特定目標情形下的射線追蹤、場強計算和疊加各射線場的貢獻，可以得到特定觀察位置處散射場的高頻漸進解。目前已運用復射線分析方法對飛行器天線和天線罩（雷達艙）、（加吸波涂層）翼身結(jié)合部和進氣道以及涂層的金屬平板、角形反射器等典型目標散射特性進行了成功的分析。盡管復射線技術(shù)的計算誤差可以通過參數(shù)調(diào)整得到控制，但其本身是一種高頻近似計算方法，由于入射波場的離散和只引入鞍點貢獻，帶來了不可避免的計算誤差?？偟膩碚f復射線方法在目標電磁散射領(lǐng)域還是具有獨特的優(yōu)勢，尤其是對復