《量子力學(xué)》試卷二.doc

一、判斷題（共10分，每題2分）1對于定態(tài)而言，幾率密度不隨時間變化。 ( ) 2若，則在其共同本征態(tài)上，力學(xué)量F和G必同時具有確定值。 ( )3所有的波函數(shù)都可以按下列式子進行歸一化： 。 ( )4在輳力場中運動的粒子，其角動量必守恒。 ( ) 5在由全同粒子組成的體系中，兩全同粒子不能處于同一狀態(tài)。 ( )得 分評卷人二、填充題（共10分，每題2分）1根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，波函數(shù)在空間中某一點的強度和 成比例。2厄密算符在其自身表象中是一個 矩陣，且 為相應(yīng)的本征值。3第一玻爾軌道半徑 。4在非簡并定態(tài)微擾的情況下，微擾的引入使能級發(fā)生 ，在簡并定態(tài)微擾的情況下，微擾的引入使能級發(fā)生 。5能量為100電子伏特的自由電子的德布羅意波長為 。得 分評卷人三、說明題（共8分）試說明算符和它所表示的力學(xué)量F之間的關(guān)系。得 分評卷人四、證明題（共24分，每題8分）1若厄密算符和相互對易，且、的本征值是非簡并的，試證這兩個算符有組成完全系的共同本征函數(shù)。2已知體系的哈密頓算符，試證：。3試證算符的本征函數(shù)為，其中A為常數(shù)，為相應(yīng)的本征值。得 分評卷人五、計算題（共48分，每題 12分）1粒子在一維無限深勢阱 中運動，求其定態(tài)能量和定態(tài)波函數(shù)。2一約束在平面上沿一定半徑繞z軸（垂直平面）轉(zhuǎn)動的平面轉(zhuǎn)子（轉(zhuǎn)動慣量為I）處于態(tài)中，試確定在此態(tài)中能量及角動量的可能取值及其相應(yīng)的幾率，并求平均值。3設(shè)哈密頓量在能量表象中的矩陣形式為 ，其中a、b為小的實數(shù)，且，求（1）用微擾公式求能量至二級修正；（2）直接求能量，并和（1）所得結(jié)果比較。提示：當c 1時，4考慮由三個玻色子組成的全同粒子體系，限定單粒子狀態(tài)只能是、和，試寫出體系的所有可能狀態(tài)波函數(shù)。量子力學(xué)試卷答案二一、判斷題 每小題2分，共10分。（在每小題后的括號內(nèi)對的打“”，錯的打“”）12345二、填空題 每小題2分，共10分1在該點找到粒子的幾率2對角，其對角元3（或0.5）4移動，分裂51.225三、說明題 每小題8分，共8分若體系處在的本征態(tài)中，測量力學(xué)量F，有確定值，即在態(tài)中的本征值（）； （4分）若體系處在任意態(tài)中，測量力學(xué)量F，有好多種可能值，每次測得的結(jié)果不能預(yù)先確定，但只能是的本征值中的一個，而且測得結(jié)果為的幾率為。，波函數(shù)已歸一化 （4分）四、證明題 每小題8分，共24分1設(shè)， （4分）不簡并，與最多只能相差一個常數(shù)因子， （2分）也是的本征函數(shù)，而是厄密算符的本征函數(shù)系，組成完全系。 （2分）2 （3分） ， （3分） 。 （2分）3設(shè)的本征函數(shù)為，相應(yīng)的本征值為，則 （4分）， （4分）對所有的實數(shù)值，均滿足標準條件。五、計算題 每小題12分，共48分1，x a；，； （4分）令，則，A = 0，n = 1，2， （3分）由歸一化條件，求得， （2分）所求的定態(tài)能量和定態(tài)波函數(shù)為，n = 1，2，。 （3分）2 ，由，求得， （6分）能量的可能取值為， 相應(yīng)幾率為 ， 平均值為 ； （3分）角動量的可能取值為， ， ， 相應(yīng)幾率為 ， ， 平均值為 。 （3分）3（1）， （2分），屬于非簡并情形， （2分）； （2分）（2）， （4分）當c 1時，取，則 ； （1分） 。 （1分）4共有10種可