復(fù)變函數(shù)模擬試題八.doc

模擬試題八一、 判斷題（2x10=20分）：1、若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù)。（ ）2、若函數(shù)f(z)在z0處滿足Cauchy-Riemann條件，則f(z)在z0解析。（ ）3、如果z0是f(z)的本性奇點(diǎn)，則一定不存在。( )4、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，并且，則f(z)是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)。（ ）5、若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有。（ ）6、若函數(shù)f(z) 在單連通區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)均可導(dǎo)，則它在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。（ ）7、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且，則f(z)在D內(nèi)恒為常數(shù)。（ ）8、存在一個在零點(diǎn)解析的函數(shù)f(z)使且。（ ）9、如果函數(shù)f(z)在上解析，且，則。（ ）10、是一個有界函數(shù)。（ ）二、填空題（2x10=20分）1、若，則_。2、設(shè)，則的定義域?yàn)開。3、函數(shù)sin z的周期為_。4、若，則_。5、冪級數(shù)的收斂半徑為_。6、函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_。7、若是單位圓周，n是自然數(shù)，則_。8、函數(shù)f(z)=|z|的不解析點(diǎn)之集為_。9、方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為_。10、設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有_。三、計(jì)算題（5x6=30分）：1、求。2、設(shè)，其中，試求3、設(shè)，求4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式。5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。6、利用留數(shù)定理計(jì)算積分。四、證明題（6+7+7=20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7。2、若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析， 等于常數(shù)，則在D內(nèi)恒等于常數(shù)。3、若z0是的m階零點(diǎn)，則z0是1/的m階極點(diǎn)。五、計(jì)算題（10分）：求一個單葉函數(shù)，去將z平面上的區(qū)域保形映射為w平面的單位圓盤。20042005學(xué)年第一學(xué)期期末考試2002級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)論試題（B）答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、1、對；2、錯；3、對；4、錯；5、對；6、對；7、對；8、錯；9、對；10、錯。二、1、；2、；3、；4、；5、1；6、；7、；8、整復(fù)平面；9、5個；10、三、1、2、當(dāng)時(shí)， 2分 所以， 4分 因此。 5分3、 4、 2分 3分 4分所以 5分5、 2分 3分所以， 5分6、 1分設(shè)，則 2分所以 3分 5分四、1、設(shè) 2分則在上，有 4分應(yīng)用儒歇定理，得結(jié)論成立。 6分2、由函數(shù)的解析性，得在D內(nèi)可微， 2分又因?yàn)榈扔诔?shù)，所以 3分再利用Cauch-Riemann條件，得 5分所以結(jié)論成立。 7分3、由于z0是的m階零點(diǎn)，所以2分因此， 3分在z0解析，并且， 4分所以 6分即結(jié)論成立。 7分五、首先用平移映射將原區(qū)域變?yōu)榻?