測試點11(二次函數).doc

二 次 函 數1.二次函數的基本知識（1）二次函數解析式的三種形式： 一般式： 頂點式： 雙根式： 求二次函數解析式的方法：待定系數法。 可根據題設的條件選用適當形式的： a. 已知三個點坐標時，宜用一般式； b. 已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式； c. 若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用雙根式求更方便。（2）二次函數的圖象是一條拋物線，對稱軸方程式是，頂點坐標是.當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；當時，。（3）二次函數當時，圖象與x軸有兩個交點、，。例 已知二次函數滿足，且的最大值是8，試確定此二次函數。解法一 利用二次函數一般式。 設，由題意得 解之得所求二次函數為。解法二利用二次函數頂點式設 拋物線對稱軸為。 即。又根據題意函數有最大值n=8， 解之得，所以解法三 利用雙根式由已知的兩根為，故可設即又函數有最大值8， 解之得 或（舍）所求函數解析式為。練習：1、設，且，則（ ）A. B C. D. 2、 若有負值，則實數的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 3、已知二次函數的頂點在第一或第四象限，且，則為增函數的區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 4、若二次函數滿足，則=_。5、不等式對一切恒成立，則a的取值范圍是_。6、設，當時，恒成立，求a的取值范圍。7、已知二次函數同時滿足條件：；的最大值為15；的兩根立方和等于17。求的解析式。8、已知二次函數的二次項系數為a，且不等式的解集為。（1）若方程有兩個相等的根，求的解析式。（2）若的最大值為正數，求a的取值范圍。2. 實系數二次方程實根的符號與二次方程系數之間的關系 （1）方程有兩個不等正根 （2）方程有兩個不等負根 （3）方程有一正根一負根。注意 （3）中沒有，因為。練習題：1、已知函數的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側，則實數m的取值區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 2、不等式的解集為，則函數的圖象為（ ） 3. 已知二次函數的解析式，求某單調區(qū)間；已知二次函數的某一單調區(qū)間，求參數范圍。這兩類是常見題型，關鍵是利用二次函數的圖象。 例1 函數在上遞減，則a的取值范圍是_。 解 的對稱軸為，且在上遞減 解得例2 已知函數（為正常數），且函數與的圖象在y軸上的截距相等。（1）求a的值；（2）求函數+的單調遞增區(qū)間。解 （1）由題意，（2）+=當時，+=，它在單調遞增；當時，+=，它在上單調遞增。綜上，結合+的圖象可知，+的單調遞增區(qū)間是。練習題： 1、 若函數在區(qū)間上是減函數，那么實數a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 2、是在區(qū)間上為減函數的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3、若二次函數滿足條件：在上單調遞增，對任意實數（）都有，則_,_。（只需填上你認為正確的一組即可，不必考慮所有情況）4. 一元二次方程根的分布（1）如在開區(qū)間（m，n）內方程（的情況）有兩個實數根，利用草圖采用數形結合的方法得出 （2）如在（m，n）內有且只有一個實數根需滿足（需檢驗）或。例1 方程在（-1，1）上有實根，求的取值范圍。解 本題要分在（-1，1）上有兩解和一解兩種情況來解。解法一：設 （1）方程在（-1，1）上有兩解， ， 解得 （2）方程在（-1，1）上有一解，則 或或 解得 由（1）（2）得解法二：本題也可以從函數的值域入手。 由當時，當時，可得同樣結論。 （3）若在閉區(qū)間m，n內方程有且只有一個實數解，利用就不行了，因為滿足此不等式方程也可能有兩個解，為避免出現上述錯誤，可先利用求得開區(qū)間（m，n）結果，再令x=m，x=n，檢查端點的情況。例2已知函數。 （1）若關于x的方程的解都在區(qū)間（0，1）內，求實數a的取值范圍；（2）若函數在區(qū)間上單調遞增，求正實數a的取值范圍。解 （1）令方程的兩根為負， （2）函數在上單調遞增， 在上大于零且單調遞增即練習題：1、關于x的方程的兩實根一個小于1，另一個大于1，則實數k的取值范圍是_。5. 二次函數在閉區(qū)間上的最值 （1）二次函數在區(qū)間m，n上的最值問題。一般情況下，需要分三種情況討論解決。 （2）當，在區(qū)間p，q上的最大值M，最小值m，令，若，則；若，則；若，則；若，則。注意 在區(qū)間同時討論最大值和最小值需分四種情況進行討論。（3）對二次函數在區(qū)間m,n上的最值問題，有以下結論：若，則若，則，。（時可仿此討論）。注意 =2，即集合中元素的最大值。例 已知函數在區(qū)間上的最大值為1，求實數a的值。解 的最大值可能產生在拋物線段的頂點或端點處。即函數的最大值只能在或處取得。（1）令，解得，則故的最大值不可能在處取得。（2）令，解得，則故當時，取得最大值1。（3）令，解得。要使在處取得最大值，必須且只需且。 經檢驗，只有