高中數(shù)學直線和圓的方程知識點總結(jié).doc

專業(yè)整理 高中數(shù)學之直線與圓的方程一、概念理解：1、傾斜角：找：直線向上方向、x軸正方向； 平行：=0； 范圍：0180 。2、斜率：找k ：k=tan （90）； 垂直：斜率k不存在； 范圍： 斜率 k R 。3、 斜率與坐標： 構(gòu)造直角三角形（數(shù)形結(jié)合）； 斜率k值于兩點先后順序無關(guān)； 注意下標的位置對應。4、 直線與直線的位置關(guān)系： 相交：斜率（前提是斜率都存在） 特例-垂直時： ； 斜率都存在時： 。 平行： 斜率都存在時：； 斜率都不存在時：兩直線都與x軸垂直。 重合： 斜率都存在時：；二、方程與公式：1、直線的五個方程： 點斜式： 將已知點直接帶入即可； 斜截式： 將已知截距直接帶入即可； 兩點式： 將已知兩點直接帶入即可； 截距式： 將已知截距坐標直接帶入即可； 一般式： ，其中A、B不同時為0 用得比較多的是點斜式、斜截式與一般式。2、求兩條直線的交點坐標：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可3、距離公式： 兩點間距離： 點到直線距離： 平行直線間距離： 4、中點、三分點坐標公式：已知兩點 AB中點： AB三分點： 靠近A的三分點坐標 靠近B的三分點坐標中點坐標公式，在求對稱點、第四章圓與方程中，經(jīng)常用到。三分點坐標公式，用得較少，多見于大題難題。5.直線的對稱性問題 已知點關(guān)于已知直線的對稱:設(shè)這個點為P（x0，y0）,對稱后的點坐標為P（x，y），則pp的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp的中點坐標在已知直線上。3、 解題指導與易錯辨析：1、解析法（坐標法）： 建立適當直角坐標系，依據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系，設(shè)出點的坐標； 依據(jù)代數(shù)關(guān)系（點在直線或曲線上），進行有關(guān)代數(shù)運算，并得出相關(guān)結(jié)果；yxo 將代數(shù)運算結(jié)果，翻譯成幾何中“所求或所要證明”。2、 動點P到兩個定點A、B的距離“最值問題”： 的最小值：找對稱點再連直線，如右圖所示： 的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊”； 的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對稱軸”。3、 直線必過點： 含有一個參數(shù)-y=(a-1)x+2a+1 = y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0 = 必過點(-2,3) 含有兩個參數(shù)-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 = m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 聯(lián)立方程組求解 = 必過點(-1/7,3/7)4、 易錯辨析： 討論斜率的存在性： 解題過程中用到斜率，一定要分類討論：斜率不存在時，是否滿足題意； 斜率存在時，斜率會有怎樣關(guān)系。 注意“截距”可正可負，不能“錯認為”截距就是距離，會丟解； （求解直線與坐標軸圍成面積時，較為常見。） 直線到兩定點距離相等，有兩種情況： 直線與兩定點所在直線平行； 直線過兩定點的中點。圓的方程1. 定義：一個動點到一個定點以定長繞一周所形成的圖形叫做圓，其中定點稱為圓的圓心，定長為圓的半徑.2. 圓的方程表示方法：第一種：圓的一般方程 其中圓心，半徑.當時，方程表示一個圓，當時，方程表示一個點.當時，方程無圖形.第二種：圓的標準方程.其中點為圓心，為半徑的圓第三種：圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）注：圓的直徑方程：已知3. 點和圓的位置關(guān)系：給定點及圓.在圓內(nèi)在圓上在圓外4. 直線和圓的位置關(guān)系： 設(shè)圓圓：； 直線：； 圓心到直線的距離.時，與相切；時，與相交；，時，與相離. 5、 圓的切線方程： 一般方程若點(x0 ,y0)在圓上，則(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特別地，過圓上一點的切線方程為.(注:該點在圓上，則切線方程只有一條)若點(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.（注：過圓外的點引切線必定有兩條,若聯(lián)立的方程只有一個解，那么另外一條切線必定是垂直于X軸的直線。）6.圓系方程：過兩圓的交點的圓方程：假設(shè)兩圓方程為：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0則過兩圓的交點圓方程可設(shè)為：x2+y2+D1x+E1y+F1+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0過兩圓的交點的直線方程：x2+y2+D1x+E1y+F1- x2+y2+D2x+E2y+F2=0（兩圓的方程相減得到的方程就是直線方程）7.與圓有關(guān)的計算：弦長的計算：AB=2*R2-d2 其中R是圓的半徑，d等于圓心到直線的距離AB=（1+k2）*X1-X2 其中k是直線的斜率，X1與X2是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個根過圓內(nèi)的一點的最短弦長是垂直于過圓心的直線圓內(nèi)的最長弦是直徑8.圓的一些最值問題圓上的點到直線的最短距離=圓心到直線的距離減去半徑圓上的點到直線的最長距離=圓心到直線的距離加上半徑假設(shè)P（x，y）是在某個圓上的動點，則（x-a）/（y-b）的最值可以轉(zhuǎn)化為圓上的點與該點（a，b）的斜率問題，即先求過該定點的切線，得到的斜率便是該分式的最值。假設(shè)P（x，y）是在某個圓上的動點，則求x+y或x-y的最值可以轉(zhuǎn)化為：設(shè)T=x+y或T=x-y，在圓上找到點(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y軸上的截距最值化。9.圓的對稱問題已知圓關(guān)于已知的直線對稱，則對稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關(guān)于該直線對稱后得到的圓心坐標即可。若某條直線無論其如何移動都能平分一個圓，則這個直線必過某定點，且該定點是圓的圓心坐標圓錐曲線橢圓橢圓：平面內(nèi)到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間距離）的點的集合1、定義： 第二定義：2、標準方程： 或 ；3、參數(shù)方程 （為參數(shù)）幾何意義：離心角4、幾何性質(zhì)：（只給出焦點在x軸上的的橢圓的幾何性質(zhì)）、頂點、焦點、離心率 準線：（課改后對準線不再要求，但題目中偶爾給出）5、焦點三角形面積：（設(shè)）(推導過程必須會)6、橢圓面積：（了解即可）7、直線與橢圓位置關(guān)系：相離（）；相交（）；相切（） 判定方法：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式判斷根的個數(shù)8、橢圓切線的求法1）切點（）已知時， 切線 切線2）切線斜率k已知時， 切線 切線9、焦半徑：橢圓上點到焦點的距離 （左加右減） （下加上減）雙曲線1、定義： 第二定義：2、標準方程：（焦點在x軸）（焦點在y軸） 參數(shù)方程： （為參數(shù)） 用法：可設(shè)曲線上任一點P3、幾何性質(zhì) 頂點 焦點 離心率 準線 漸近線 或 或4、特殊雙曲線 、等軸雙曲線 漸近線 、雙曲線的共軛雙曲線 性質(zhì)1：雙曲線與其共軛雙曲線有共同漸近線 性質(zhì)2：雙曲線與其共軛雙曲線的四個焦點在同一圓上5、直線與雙曲線的位置關(guān)系 相離（）； 相切（）； 相交（） 判定直線與雙曲線位置關(guān)系需要與漸近線聯(lián)系一起 時可以是相交也可以是相切6、焦半徑公式 點P在右支上 （左加右減） 點P在左支上 （左加右減） 點P在上支上 （下加上減） 點P在上支上 （下加上減）7、雙曲線切線的求法 切點P已知 切線 切線 切線斜率K已知 8、焦點三角形面積：（為）拋物線1、定義：平面內(nèi)與一定點和一定直線的距離相等的點的集合（軌跡）2、幾何性質(zhì)：P幾何意義：焦準距 焦點到準線的距離設(shè)為P標準方程： 圖 像： 范 圍： 對 稱 軸： x軸 x軸頂 點： （0，0） （0，0）焦 點： （） （）離 心 率： 準 線： 標準方程： 圖 像： 范 圍： 對 稱 軸： y軸 y軸定 點： （0，0） （0，0）焦 點： （0，） 離 心 率： 準 線： 3、參數(shù)方程（t為參數(shù)方程）4、通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦 橢圓：雙曲線通徑長 拋物線通徑長2P5、直線與拋物線的位置關(guān)系1）相交（有兩個交點或一個交點） 2）相切（有一個交點）；3）相離（沒有交點）6、拋物線切線的求法1）切點P已知：的切線；2）切線斜率K已知： 此類公式填空選擇或解答題中（部分）可作公式直接應用附加：弦長公式：與曲線交與兩點A、B則解題指導：軌跡問題： (一)求軌跡的步驟1、建模：設(shè)點建立適當?shù)淖鴺讼?，設(shè)曲線上任一點p（x，y）2、立式：寫出適條件的p點的集合3、代換：用坐標表示集合列出方程式f（x，y）=04、化簡：化成簡單形式，并找出限制條件5、證明：以方程的解為坐標的點在曲線上 （二）求軌跡的方法1、直接法：求誰設(shè)誰，按五步去直接求出軌跡2、定義法：利用已知或幾何圖形關(guān)系找到符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義3、轉(zhuǎn)移代入法：適用于一個動點隨另一曲線上的動點變化問題4、交軌法：適用于求兩條動直線交點的軌跡問題。用一個變量分別表示兩條動直線，然后聯(lián)立，消去變量即可。5、參數(shù)法：用一個變量分別表示所求軌跡上任一點的橫坐標和縱坐標，聯(lián)立消參。6、同一法：利用兩種思維分別求出同一條直線，再參考參數(shù)法，找到軌跡方程。弦長問題：|AB|=。弦的中點問題：中點坐標公式-注意應用判別式。.求曲線的方程1曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。例1 （1994年全國）已知直線L過原點，拋物線C 的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A（-1，0）和點B（0，8）關(guān)于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0).設(shè)A、B關(guān)于L的對稱點分別為A/、B/，則利用對稱性可求得它們的坐標分別為：A/（），B/（）。因為A/、B/均在拋物線上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直線L的方程為：y=x,拋物線C的方程為y2=x.2曲線的形狀未知-求軌跡方程 例3 （1994年全國）MNQO已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)（0）,求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè)MN切圓C于點N，則動點M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面幾何知識可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，將M點坐標代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.當=1時它表示一條直線；當1時，它表示圓。這種方法叫做直接法。O A xBC.研究圓錐曲線有關(guān)的問題1有關(guān)最值問題例6 (1990年全國)設(shè)橢圓中心為坐標原點，長軸在x上，離心率，已知點P（0，）到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標。分析：最值問題，函數(shù)思想。關(guān)鍵是將點P到橢圓上點的距離表示為某一變量是函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識求其最大值。設(shè)橢圓方程為，則由e=得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.設(shè)Q(x,y)是橢圓上任意一點，則:|PQ|=(-byb).若b，則-與b0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|2p。（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”。或者將a表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于（2）首先要把NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最