聚焦高考解答題導(dǎo)數(shù)的七個(gè)應(yīng)用.doc

聚焦高考解答題導(dǎo)數(shù)的七個(gè)應(yīng)用我們知道，在高考中必有一道解答題是考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的，那么具體地說(shuō)，我們常常利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決哪些方面的問(wèn)題呢？一、在解答應(yīng)用題中利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值例1某分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3a5)的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9x11)時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為 (12x)2萬(wàn)件（）求分公司一年的利潤(rùn)L(萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q(a)分析 本題列出利潤(rùn)函數(shù)的關(guān)系式并不難，但由于函數(shù)是三次的，所以要求出最大的利潤(rùn)還需借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)解 （）分公司一年的利潤(rùn)L(萬(wàn)元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為L(zhǎng)(x)(x3a)(12x)2，x9，11（）L(x)(12x)22(x3a)(12x) (12x)(182a3x)令L(x)0得，或x12（不合題意，舍去）3a5，8（1）當(dāng)89即3a時(shí)，在9，11上L(x)0，L(x)為減函數(shù)，所以LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)（2）當(dāng)9即a5時(shí)，在兩側(cè)L的值由正變負(fù)，L(x)由增函數(shù)變減函數(shù)，所以綜上所述，最大利潤(rùn)答：若3a，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，且最大值Q(a)9(6a)(萬(wàn)元)；若a5，則當(dāng)每件售價(jià)為元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，且最大值(萬(wàn)元)點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，還體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想方法二、利用導(dǎo)數(shù)求不等式中參數(shù)的取值范圍例2 (2007年高考全國(guó)卷理科20題)設(shè)函數(shù)（）證明：f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)2；（）若對(duì)所有x0都有f (x)ax，求a的取值范圍分析 本題（）比較簡(jiǎn)單，用均值不等式可一步到位；（）需要先把不等式移項(xiàng)之后，構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)來(lái)研究其單調(diào)性從而確定參數(shù)的范圍（）證明 f (x)的導(dǎo)數(shù)由于，故f (x)2（當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，等號(hào)成立）（）解 令g(x)f (x)ax，則g(x)f (x)a（）若a2，當(dāng)x0時(shí)，故g(x)在(0，)上為增函數(shù)所以，對(duì)x0時(shí)，g(x)g(0)0，即f (x)ax（）若a2，方程g(x)0的正根為，此時(shí)，若x(0，x1)，則g(x)0，故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù)所以，x(0，x1)時(shí)，g(x)g(0)0，即f (x)ax，與題設(shè)f (x)ax相矛盾綜上，滿足條件的a的取值范圍是(，2點(diǎn)評(píng) 需要提醒大家的是，初步得出a的取值范圍為a2還不完整，還需繼續(xù)說(shuō)明當(dāng)a不在此范圍內(nèi)時(shí)，即當(dāng)a2時(shí)為什么不行，等找到矛盾后才能徹底說(shuō)明范圍a2是原條件的充要條件三、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式例3 (2007年高考安徽卷理科18題)設(shè)a0，f (x)x1ln2 x2aln x(x0)（）令F(x)x f (x)，討論F(x)在(0，)內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（）求證：當(dāng)x1時(shí)，恒有xln2 x2aln x1分析 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和證明不等式是近年來(lái)高考中的?？碱}型，解題時(shí)有一套完整的流程，我們必須十分熟練（）解 根據(jù)求導(dǎo)法則有，故F(x)x f (x)x2ln x2a(x0)，于是，列表如下：x(0，2)2(2，)F(x)0F(x)極小值F(2)故知F(x)在(0，2)內(nèi)是減函數(shù)，在(2，)內(nèi)是增函數(shù)，所以，在x2處取得極小值F(2)22ln22a（）證明 由a0知，F(xiàn)(x)的極小值F(2)22ln22a0于是由上表知，對(duì)一切x(0，)，恒有F(x)x f (x)0從而當(dāng)x0時(shí)，恒有f (x)0，故f (x)在(0，)內(nèi)單調(diào)增加所以當(dāng)x1時(shí)，f (x)f (1)0，即x1ln2 x2aln x0故當(dāng)x1時(shí)，恒有xln2 x2aln x1點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和證明不等式的方法，考查綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力需要注意的是（）問(wèn)中的不等式經(jīng)移項(xiàng)后不必構(gòu)造新的函數(shù)，因?yàn)檫@就是已知函數(shù)f (x)，并且f (x)的單調(diào)性也不用再求導(dǎo)研究，因?yàn)榭梢岳茫ǎ﹩?wèn)中F(x)的單調(diào)性和極小值就可以找到f (x)0，從而得出f (x)的單調(diào)性四、利用導(dǎo)數(shù)求切線方程以及判斷方程根的個(gè)數(shù)例4 (2007年高考全國(guó)卷理科22題)已知函數(shù)f (x)x3x（）求曲線yf (x)在點(diǎn)M(t，f (t)處的切線方程；（）設(shè)a0，如果過(guò)點(diǎn)(a，b)可作曲線yf (x)的三條切線，證明：abf (a)分析 （）問(wèn)比較簡(jiǎn)單，f (x0)的幾何意義是曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f (x0)處的切線的斜率，利用這一幾何意義就可以求切線方程（）問(wèn)中條件“過(guò)點(diǎn)可作曲線yf (x)的三條切線”，可轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)代入切線方程后所得方程有三個(gè)相異的實(shí)根，而研究根的個(gè)數(shù)仍然需要借助導(dǎo)數(shù)解 （）求函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)：f (x)3x21曲線yf (x)在點(diǎn)M(t，f (t)處的切線方程為：yf (t)f (t)(xt)，即y(3t21)x2t3（）如果有一條切線過(guò)點(diǎn)(a，b)，則存在t，使b(3t21)a2t3于是，若過(guò)點(diǎn)(a，b)可作曲線yf (x)的三條切線，則方程2t33at2ab0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根記g(t)2t33at2ab，則g(t)6t26at6t(ta)當(dāng)t變化時(shí)，g(t)，g(t)變化情況如下表：t(，0)0(0，a)a(a，)g(t)00g(t)極大值ab極小值bf (a)由g(t)的單調(diào)性，當(dāng)極大值ab0或極小值bf (a)0時(shí)，方程g(t)0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)ab0時(shí)，解方程g(t)0得，即方程g(t)0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)bf (a)0時(shí)，解方程g(t)0得，即方程g(t)0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根綜上，如果過(guò)(a，b)可作曲線yf (x)三條切線，即g(t)0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則即abf (a)點(diǎn)評(píng) 利用導(dǎo)數(shù)研究一個(gè)三次方程f (x)0根的個(gè)數(shù)