人教版初二上數(shù)學(xué)培優(yōu)精編講義教師版

未來藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班未來藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班 假期講義假期講義 姓名姓名 學(xué)校學(xué)校 班級班級 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 2 第十一章第十一章 全等三角形及其應(yīng)用全等三角形及其應(yīng)用 知識精讀知識精讀 1 全等三角形的定義 全等三角形的定義 能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形 兩個全等三角形中 互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點 互相重合的邊叫對應(yīng)邊 互相重合的角叫對應(yīng)角 2 2 全等三角形的表示方法 全等三角形的表示方法 若 ABC 和 A B C 是全等的三角形 記作 ABC A B C 其中 讀作 全等于 記兩個三角形全等時 通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上 3 全等三角形的的性質(zhì) 全等三角形的的性質(zhì) 全等三角形的對應(yīng)邊相等 對應(yīng)角相等 4 尋找對應(yīng)元素的方法尋找對應(yīng)元素的方法 1 根據(jù)對應(yīng)頂點找 根據(jù)對應(yīng)頂點找 如果兩個三角形全等 那么 以對應(yīng)頂點為頂點的角是對應(yīng)角 以對應(yīng)頂點為端點的邊 是對應(yīng)邊 通常情況下 兩個三角形全等時 對應(yīng)頂點的字母都寫在對應(yīng)的位置上 因此 由全等三角形的記法便可寫出對應(yīng)的元素 2 根據(jù)已知的對應(yīng)元素尋找 根據(jù)已知的對應(yīng)元素尋找 全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊 兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊 3 通過觀察 想象圖形的運動變化狀況 確定對應(yīng)關(guān)系 通過觀察 想象圖形的運動變化狀況 確定對應(yīng)關(guān)系 通過對兩個全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析 可以看出其中一個是由另一個 經(jīng)過下列各種運動而形成的 翻折翻折 如圖 1 BOC EOD BOC 可以看成是由 EOD 沿直線 AO 翻折 180 得到的 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 如圖 2 COD BOA COD 可以看成是由 BOA 繞著點 O 旋轉(zhuǎn) 180 得到的 平移平移 如圖 3 DEF ACB DEF 可以看成是由 ACB 沿 CB 方向平行移動而得到的 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 3 5 判定三角形全等的方法 判定三角形全等的方法 1 邊角邊公理 角邊角公理 邊邊邊公理 斜邊直角邊公理 2 推論 角角邊定理 6 注意問題 注意問題 1 在判定兩個三角形全等時 至少有一邊對應(yīng)相等 2 不能證明兩個三角形全等的是 a 三個角對應(yīng)相等 即 AAA b 有兩邊和其中一 角對應(yīng)相等 即 SSA 全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的基本工具 同時也是移動圖形位置的工具 在平 面幾何知識應(yīng)用中 若證明線段相等或角相等 或需要移動圖形或移動圖形元素的位置 常 常需要借助全等三角形的知識 分類解析分類解析 全等三角形知識的應(yīng)用 1 證明線段 或角 相等證明線段 或角 相等 例例 1 如圖 已知 AD AE AB AC 求證 BF FC 分析 由已知條件可證出 ACD ABE 而 BF 和 FC 分別位于 DBF 和 EFC 中 因此先證明 ACD ABE 再證明 DBF ECF 既可以得到 BF FC 證明 在 ACD 和 ABE 中 AE AD A A AB AC ACD ABE SAS B C 全等三角形對應(yīng)角相等 又 AD AE AB AC AB AD AC AE 即 BD CE 在 DBF 和 ECF 中 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 4 B C BFD CFE 對頂角相等 BD CE DBF ECF AAS BF FC 全等三角形對應(yīng)邊相等 2 證明線段平行 證明線段平行 例例 2 已知 如圖 DE AC BF AC 垂足分別為 E F DE BF AF CE 求證 AB CD DC BA E F 分析 要證 AB CD 需證 C A 而要證 C A 又需證 ABF CDE 由 已知 BF AC DE AC 知 DEC BFA 90 且已知 DE BF AF CE 顯然證明 ABF CDE 條件已具備 故可先證兩個三角形全等 再證 C A 進一步證明 AB CD 證明 DE AC BF AC 已知 DEC BFA 90 垂直的定義 在 ABF 與 CDE 中 AF CE 已知 DEC BFA 已證 DE BF 已知 ABF CDE SAS C A 全等三角形對應(yīng)角相等 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 5 AB CD 內(nèi)錯角相等 兩直線平行 3 證明線段的倍半關(guān)系 證明線段的倍半關(guān)系 可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等 例例 3 如圖 在 ABC 中 AB AC 延長 AB 到 D 使 BD AB 取 AB 的中點 E 連接 CD 和 CE 求證 CD 2CE 分析 折半法 折半法 取 CD 中點 F 連接 BF 再證 CEB CFB 這里注意利用 BF 是 ACD 中位線這個條件 證明 取 CD 中點 F 連接 BF BF AC 且 BF AC 三角形中位線定理 1 2 ACB 2 兩直線平行內(nèi)錯角相等 又 AB AC ACB 3 等邊對等角 3 2 在 CEB 與 CFB 中 BF BE 3 2 CB CB CEB CFB SAS CE CF CD 全等三角形對應(yīng)邊相等 1 2 即 CD 2CE 加倍法 加倍法 證明 延長 CE 到 F 使 EF CE 連 BF 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 6 AEBD C F 4 1 2 3 在 AEC 與 BEF 中 AE BE 1 2 對頂角相等 CE FE AEC BEF SAS AC BF 4 3 全等三角形對應(yīng)邊 對應(yīng)角相等 BF AC 內(nèi)錯角相等兩直線平行 ACB CBF 180o ABC CBD 180o 又 AB AC ACB ABC CBF CBD 等角的補角相等 在 CFB 與 CDB 中 CB CB CBF CBD BF BD CFB CDB SAS CF CD 即 CD 2CE 說明 關(guān)于折半法有時不在原線段上截取一半 而利用三角形中位線得到原線段一半的 線段 例如上面折道理題也可這樣處理 取 AC 中點 F 連 BF 如圖 B 為 AD 中點是利用 這個辦法的重要前提 然后證 CE BF 4 證明線段相互垂直證明線段相互垂直 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 7 例例 4 已知 如圖 A D B 三點在同一條直線上 ADC BDO 為等腰三角形 AO BC 的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何 證明你的結(jié)論 C BA O E D 分析 本題沒有直接給出待證的結(jié)論 而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論 然后 再證明所得出的結(jié)論正確 通過觀察 可以猜測 AO BC AO BC 證明 延長 AO 交 BC 于 E 在 ADO 和 CDB 中 AD DC ADO CDB 90o OD DB ADO CDB SAS AO BC OAD BCD 全等三角形對應(yīng)邊 對應(yīng)角相等 AOD COE 對頂角相等 COE OCE 90o AO BC 5 中考點撥 中考點撥 例例 1 如圖 在 ABC 中 AB AC E 是 AB 的中點 以點 E 為圓心 EB 為半徑畫弧 交 BC 于點 D 連結(jié) ED 并延長 ED 到點 F 使 DF DE 連結(jié) FC 求證 F A 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 8 分析 證明兩個角相等 常證明這兩個角所在的兩個三角形全等 在已知圖形中 A F 不在全等的兩個三角形中 但由已知可證得 EF AC 因此把 A 通過同位角轉(zhuǎn)到 BDE 中的 BED 只要證 EBD FCD 即可 證明 AB AC ACB B EB ED ACB EDB ED AC BED A BE EA BD CD 又 DE DF BDE CDF BDE CDF BED F F A 說明 證明角 或線段 相等可以從證明角 或線段 所在的三角形全等入手 在尋求 全等條件時 要注意結(jié)合圖形 挖掘圖中存在的對項角 公共角 公共邊 平行線的同位角 內(nèi)錯角等相等的關(guān)系 例例 2 如圖 已知 ABC 為等邊三角形 延長 BC 到 D 延長 BA 到 E 并且使 AE BD 連接 CE DE 求證 EC ED BCD E F A 分析 把已知條件標(biāo)注在圖上 需構(gòu)造和 AEC 全等的三角形 因此過 D 點作 DF AC 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 9 交 BE 于 F 點 證明 AEC FED 即可 證明 過 D 點作 DF AC 交 BE 于 F 點 ABC 為等邊三角形 BFD 為等邊三角形 BF BD FD AE BD AE BF FD AE AF BF AF 即 EF AB EF AC 在 ACE 和 DFE 中 EF AC 已證 EAC EDF 兩直線平行 同位角相等 AE FD 已證 AEC FED SAS EC ED 全等三角形對應(yīng)邊相等 題型展示 題型展示 例例 1 如圖 ABC 中 C 2 B 1 2 求證 AB AC CD 分析 在 AB 上截取 AE AC 構(gòu)造全等三角形 AED ACD 得 DE DC 只需 證 DE BE 問題便可以解決 證明 在 AB 上截取 AE AC 連結(jié) DE AE AC 1 2 AD AD AED ACD DE DC AED C AED B EDB C 2 B 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 10 2 B B EDB 即 B EDB EB ED 即 ED DC AB AC DC 剖析 證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種 一種是截長法 即在長 線段上截取一段等于兩條短線段的一條 再證余下的部分等于另一條短線段 如作 AE AC 是利用了角平分線是角的對稱軸的特性 構(gòu)造全等三角形 另一種方法是補短法 即延長一條短線段等于長線段 再證明延長的部分與另一條短線段相等 其目的是把證 明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題 實際上仍是構(gòu)造全等三角形 這種轉(zhuǎn)化圖形的能 力是中考命題的重點考查的內(nèi)容 實戰(zhàn)模擬實戰(zhàn)模擬 1 下列判斷正確的是 A 有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 B 有兩邊對應(yīng)相等 且有一角為 30 的兩個等腰三角形全等 C 有一角和一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 D 有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 2 已知 如圖 CD AB 于點 D BE AC 于點 E BE CD 交于點 O 且 AO 平分 BAC 求證 OB OC 3 如圖 已知 C 為線段 AB 上的一點 ACM 和 CBN 都是等邊三角形 AN 和 CM 相交 于 F 點 BM 和 CN 交于 E 點 求證 CEF 是等邊三角形 4 如圖 在 ABC 中 AD 為 BC 邊上的中線 A B C M N E F 1 2 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 11 求證 ADAC A的平分線與 BC 的垂直平分線相交于 D 自 D 作DE AB 于 E DF ACF 于 求證 BF CG 1 軸對稱的性質(zhì) 軸對稱的性質(zhì) 關(guān)于某條直線對稱的圖形是全等形 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱 那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線 兩個圖形關(guān)于某直線對稱 如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交 那么交點在對稱軸上 如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一直線垂直平分 那么 這兩個圖形關(guān)于這條直線對 稱 2 2 軸對稱作 畫 圖 軸對稱作 畫 圖 畫圖形的對稱軸 如果一個圖形關(guān)于某直線對稱 那么對稱點之間的線段的垂直平分線就是該圖形的對 C E A D B F G A B C D E F G A B C F E D 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 19 稱軸 畫某點關(guān)于某直線的對稱點的方法 畫已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形 注意 注意 全等的圖形不一定是軸對稱的 軸對稱的圖形一定是全等的 性質(zhì) 的作用是判定兩個圖形是否關(guān)于某直線對稱 它是作對對稱圖形的主要依據(jù) 例例 8 如圖 ABC 和 A B C 關(guān)于直線對稱 下列結(jié)論中 ABC A B C BAC B AC l 垂直平分 CC 直線 BC 和 B C 的交點不一定在 l 上 正確的有 A 4 個 B 3 個 C 2 個 D 1 個 舉舉一反三 一反三 1 如圖 ABC 與 A B C 關(guān)于直線 l 對稱 則 B 的度數(shù)為 A 50 B 30 C 100 D 90 30 l C B A B C A 50 2 如圖六邊形 ABCDEF 是軸對稱圖形 CF 所在的直線是它的對稱軸 若 AFC BCF 150 則 AFE BCD 的大小是 150 300 210 330 例例 9 如圖 點 P 在 AOB 內(nèi) 點 M N 分別是點 P 關(guān)于 AO 的對稱點 BO 的對稱點 若 PEF 的周長為 15 求 MN 的長 F E D C B A F E A O B P M N 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 20 等腰三角形專題講解等腰三角形專題講解 知識精讀知識精讀 等腰三角形的性質(zhì) 等腰三角形的性質(zhì) 1 有關(guān)定理及其推論有關(guān)定理及其推論 定理 等腰三角形有兩邊相等 定理 等腰三角形的兩個底角相等 簡寫成 等邊對等角 推論 1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 這就是說 等腰三角形的 頂角平分線 底邊上的中線 底邊上的高互相重合 推論 2 等邊三角形的各角都相等 并且每一個角都等于 60 等腰三角形是以底邊的 垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形 2 定理及其推論的作用定理及其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系 由兩邊相等推出兩 角相等 是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一 等腰三角形底邊上的中線 底邊上的高 頂 角的平分線 三線合一 的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等 兩個角相等以及兩條直線互相垂 直的重要依據(jù) 二 等腰三角形的判定 二 等腰三角形的判定 1 有關(guān)的定理及其推論有關(guān)的定理及其推論 定理 如果一個三角形有兩個角相等 那么這兩個角所對的邊也相等 簡寫成 等角對 等邊 推論 1 三個角都相等的三角形是等邊三角形 推論 2 有一個角等于 60 的等腰三角形是等邊三角形 推論 3 在直角三角形中 如果一個銳角等于 30 那么它所對的直角邊等于斜邊的一 半 2 定理及其推論的作用 定理及其推論的作用 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系 它是證明線段相等的重要定 理 也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù) 是本節(jié)的重點 3 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形中常用的輔助線 等腰三角形頂角平分線 底邊上的高 底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問題 的輔助線 由于這條線可以把頂角和底邊折半 所以常通過它來證明線段或角的倍分問題 在等腰三角形中 雖然頂角的平分線 底邊上的高 底邊上的中線互相重合 添加輔助線時 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 21 有時作哪條線都可以 有時需要作頂角的平分線 有時則需要作高或中線 這要視具體情況 來定 分類解析分類解析 例例 1 如圖 已知在等邊三角形 ABC 中 D 是 AC 的中點 E 為 BC 延長線上一點 且 CE CD DM BC 垂足為 M 求證 M 是 BE 的中點 A D 1 B M C E 分析 分析 欲證 M 是 BE 的中點 已知 DM BC 所以想到連結(jié) BD 證 BD ED 因為 ABC 是等邊三角形 DBE ABC 而由 CE CD 又可證 E ACB 所以 2 1 2 1 1 E 從而問題得證 證明 證明 因為三角形 ABC 是等邊三角形 D 是 AC 的中點 所以 1 ABC 2 1 又因為 CE CD 所以 CDE E 所以 ACB 2 E 即 1 E 所以 BD BE 又 DM BC 垂足為 M 所以 M 是 BE 的中點 等腰三角形三線合一定理 例例 2 如圖 已知 中 D 是 BC 上一點 且 ABC ACAB CADCDBAD 求的度數(shù) BAC A B C D 分析 分析 題中所要求的在中 但僅靠是無法求出來的 因此需要考BAC ABC ACAB 慮和在題目中的作用 此時圖形中三個等腰三角形 構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)DBAD CADC 系 因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來求 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 22 解 解 因為 所以ACAB CB 因為 所以 DBAD CDABB 因為 所以 等邊對等角 CDCA CDACAD 而 DABBADC 所以 BDACBADC 22 所以B3BAC 又因為 180 BACCB 即 所以 180B3CB 36B 即求得 108BAC 說明說明 1 等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁 把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角 的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在 本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用 這一點在后 邊的解題中將進一步體現(xiàn) 2 注意注意 等邊對等角等邊對等角 是對同一個三角形而言的 是對同一個三角形而言的 3 此題是利用方程思想解幾何計算題 而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法 此題是利用方程思想解幾何計算題 而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法 例例 3 已知 如圖 中 于 D 求證 ABC ABCDACAB DCB2BAC A 1 2 D B C E 3 分析 分析 欲證角之間的倍半關(guān)系 結(jié)合題意 觀察圖形 是等腰三角形的頂角 于BAC 是想到構(gòu)造它的一半 再證與的關(guān)系 DCB 證明 證明 過點 A 作于 E BCAE ACAB 所以 等腰三角形的三線合一性質(zhì) BAC 2 1 21 因為 90B1 又 所以ABCD 90CDB 所以 直角三角形兩銳角互余 90B3 所以 同角的余角相等 31 即DCB2BAC 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 23 說明 說明 1 作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì) 構(gòu)造角的倍半關(guān)系 因此添加底邊的高是一條常用的輔助線 2 對線段之間的倍半關(guān)系 常采用 截長補短 或 倍長中線 等輔助線的添加方法 對角間的倍半關(guān)系也同理 或構(gòu)造 半 或構(gòu)造 倍 因此 本題還可以有其它的證法 如構(gòu)造出的等角等 DCB 4 中考題型 中考題型 1 如圖 ABC 中 AB AC A 36 BD CE 分別為 ABC 與 ACB 的角平分線 且相交于點 F 則圖中的等腰三角形有 A 6 個 B 7 個 C 8 個 D 9 個 A 36 E D F B C 分析 分析 由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有 8 個 故選擇 C 2 已知 如圖 在 ABC 中 AB AC D 是 BC 的中點 DE AB DF AC E F 分別是垂足 求證 AE AF A E F B D C 證明 證明 因為 所以ACAB CB 又因為ACDFABDE 所以 90CFDBED 又 D 是 BC 的中點 所以DCDB 所以 AAS CFDDEB 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 24 所以 所以CFBE AFAE 說明 說明 證法二 連結(jié) AD 通過 證明即可 AEDAFD 5 題形展示 題形展示 例例 1 如圖 中 BD 平分 ABC 100 AACAB ABC 求證 BCBDAD A D 1 B 2 E F C 分析一 分析一 從要證明的結(jié)論出發(fā) 在 BC 上截取 只需證明 考慮到BDBF ADCF 想到在 BC 上截取 連結(jié) DE 易得 則有 只需證明21 BABE FDAD 這就要從條件出發(fā) 通過角度計算可以得出 CFDE DEDFCF 證明一 證明一 在 BC 上截取 連結(jié) DE DFBDBFBABE 在和中 ABD EBD BDBD21BEBA 80DEF100ABEDDEAD SAS EBDABD 又 100AACAB 40 100180 2 1 CABC 2040 2 1 21 而BFBD 80 20180 2 1 2180 2 1 BDFBFD ADBDFCBFBC FCDFDEADFCDFCFDC 404080CDFEFDC 40C80DFE DFDE80DFEDEF 即BCBDAD 分析二 分析二 如圖 可以考慮延長 BD 到 E 使 DE AD 這樣 BD AD BD DE BE 只 需證明 BE BC 由于 只需證明 202 80BCEE 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 25 A D E 1 B 2 F C 3 4 5 6 易證 故作的角平分線 6020100180ADBEDC 120BDC BDC 則有 進而證明 從而可證出 FBDABD DFCDEC 80E 證明二 證明二 延長 BD 到 E 使 DE AD 連結(jié) CE 作 DF 平分交 BC 于 F BDC 由證明一知 100A2021 則有 12060180BDC603660201001803 DF 平分 6054BDC 在和中 606543 ABD FBD 43BDBD21 ASA FBDABD 而 100ABFDFDAD DEDFDEAD 在和中 DEC DFC DCDC65DFDE SAS DFCDEC 80100180BFD180DFCE 在中 BCE 803202 BCEEBCE 80 BCBDADBEBC 說明 一題多證 在幾何證明中經(jīng)常遇到 它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途 徑 讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考 去體會 進一步提高自身的解題能 力 實戰(zhàn)模擬實戰(zhàn)模擬 1 選擇題 等腰三角形底邊長為 5cm 一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為 3cm 則腰長為 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 26 A 2cmB 8cmC 2cm 或 8cmD 以上都不對 2 如圖 是等邊三角形 則的度數(shù)是 ABC BCBD90CBD 1 C A 1 D B 2 3 3 求證 等腰三角形兩腰中線的交點在底邊的垂直平分線上 4 中 AB 的中垂線交 AB 于 D 交 CA 延長線于 E 求證 ABC 120AACAB BC 2 1 DE A E D O B C 1 2 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 27 試題答案試題答案 1 B 2 分析 分析 結(jié)合三角形內(nèi)角和定理 計算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用 解 解 因為是等邊三角形ABC 所以 60ABC BCAB 因為 所以BCBD BDAB 所以23 在中 因為ABD 60ABC90CBD 所以 所以 150ABD 152 所以 75ABC21 3 分析 分析 首先將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)的符號語言和圖形語言 已知 已知 如圖 在中 D E 分別為 AC AB 邊中點 BD CE 交于 OABC ACAB 點 求證 點 O 在 BC 的垂直平分線上 分析 分析 欲證本題結(jié)論 實際上就是證明 而 OB OC 在中 于是想到OCOB ABC 利用等腰三角形的判定角等 那么問題就轉(zhuǎn)化為證含有的兩個三角形全等 21 證明 證明 因為在中 ABC ACAB 所以 等邊對等角 ACBABC 又因為 D E 分別為 AC AB 的中點 所以 中線定義 EBDC 在和 中 BCD CBE CBBC EBCDCB EBDC 公共邊 已證 已證 所以 SAS CBEBCD 所以 全等三角形對應(yīng)角相等 21 所以 等角對等邊 OCOB 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 28 即點 O 在 BC 的垂直平分線上 說明 1 正確地理解題意 并正確地翻譯成幾何符號語言是非常重要的一步 特別是把 在 底邊的垂直平分線上 正確地理解成 OB OC 是關(guān)鍵的一點 2 實際上 本題也可改成開放題 ABC 中 AB AC D E 分別為 AC AB 上的中點 BD CE 交于 O 連結(jié) AO 后 試判斷 AO 與 BC 的關(guān)系 并證明你的結(jié)論 其 解決方法是和此題解法差不多的 4 分析 分析 此題沒有給出圖形 那么依題意 應(yīng)先畫出圖形 題目中是求線段的倍半關(guān)系 觀察圖形 考慮取 BC 的中點 證明 證明 過點 A 作 BC 邊的垂線 AF 垂足為 F E A 3 1 2 D B F C 在中 ABC 120BACACAB 所以 30CB 所以 等腰三角形三線合一性質(zhì) BC 2 1 BF6021 所以 鄰補角定義 603 所以31 又因為 ED 垂直平分 AB 所以 直角三角形兩銳角互余 30E 線段垂直平分線定義 AB 2 1 AD 又因為 直角三角形中 角所對的邊等于斜邊的一半 AB 2 1 AF 所以AFAD 在和中 ABFRt AEDRt 90ADEAFB ADAF 31 已證 已證 1 3 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 29 所以 ASA AEDRtABFRt 所以BFED 即 BC 2 1 ED 說明 說明 1 根據(jù)題意 先準(zhǔn)確地畫出圖形 是解幾何題的一項基本功 2 直角三角形中角的特殊關(guān)系 溝通了邊之間的數(shù)量關(guān)系 為順利證明打通了思 30 路 第十三章第十三章 實數(shù)實數(shù) 知識要點知識要點 一 實數(shù) 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù) 1 實數(shù)有以下兩種分類方法 1 按定義分類 2 按大小分類 無限不循環(huán)小數(shù) 負(fù)無理數(shù) 正無理數(shù) 無理數(shù) 數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小 負(fù)有理數(shù) 正有理數(shù) 有理數(shù) 實數(shù) 0 負(fù)實數(shù) 正實數(shù) 實數(shù) 0 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 30 2 實數(shù)中的倒數(shù) 相反數(shù) 絕對值概念和有理數(shù)一樣 例如的相反數(shù)為 倒數(shù)為3 3 的絕對值為 3 3 3 1 3 33 3 實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系 實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的 即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示 反過 來 數(shù)軸上的每一個點都可以用一個實數(shù)表示 4 實數(shù)的運算 1 關(guān)于有理數(shù)的運算律和運算性質(zhì) 在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用 2 涉及無理數(shù)的計算 可根據(jù)問題的要求取其近似值 轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進行計算 二 二次根式 一般地 式子叫做二次根式 其中叫做被開方數(shù) a 0a a 1 二次根式的性質(zhì) 1 0 2 aaa 2 0 0 0 0 2 aa a aa aa 2 最簡二次根式 1 被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù) 因式是整式 即被開方數(shù)不含有分母 2 被開方數(shù)中不含有能開盡方的因數(shù)或因式 即被開方數(shù)中每個因數(shù)或因式的指數(shù) 都小于根指數(shù) 2 3 同類二次根式 幾個二次根式化成最簡二次根式以后 如果被開方數(shù)相同 那么這幾個 二次根式叫同類二次根式 4 二次根式的運算 1 二次根式的運算法則 0 ccbacbca 0 0 baabba 0 0 ba b a b a 0 aaa nn 2 分母有理化 3 二次根式的混合運算 三 非負(fù)性及應(yīng)用 1 非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和零 2 常見的非負(fù)數(shù)有實數(shù)的絕對值 實數(shù)的偶次方 非負(fù)實數(shù)的算術(shù)平方根等 用符號表示 如下 若 a 是實數(shù) 則 0a 若 a 是實數(shù) 則 n 為正整數(shù) 當(dāng) n 1 時 a2 0 2 0 n a 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 31 n 為正整數(shù) 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義 則 此時 2n a0a 0a 3 非負(fù)數(shù)有如下性質(zhì) 有限個非負(fù)數(shù)之和是非負(fù)數(shù) 有限個非負(fù)數(shù)之和是零 則每一個非負(fù)數(shù)是零 典例解析典例解析 1 無理數(shù)的識別與估算方法 例 1 1 在實數(shù) 3 14 0 10110111011110 2 5 3 3333 30 412 中 哪些是有理數(shù) 哪些是無理數(shù) 256 2 估算的值 324 A 在 5 和 6 之間 B 在 6 和 7 之間 C 在 7 和 8 之間 D 在 8 和 9 之間 2 實數(shù)的大小比較方法 例 2 1 1 比較大小 比較大小 7 7 填 填 或或 50 2 2 已知 已知 則 則 的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為 53 a112 bab 3 3 比較大小 當(dāng)實數(shù) 比較大小 當(dāng)實數(shù)時 時 填 填 或或 0 aa 1a 1 3 實數(shù)有數(shù)軸的關(guān)系 例 3 如右圖 數(shù)軸上點A表示的數(shù)為x 則x2 13 的立方根是 A 13 B 13 C 2 55 D 2 4 實數(shù)的運算 例例 4 4 1 1 21522332 2 2 3620016662 0 1 3 3 1 2 3332 933645 22 4 4 75 3 1 3 1 234 5 實數(shù)性質(zhì)的使用 例 5 1 化簡 2 mm 0 m 2 實數(shù)a b在數(shù)軸上所對應(yīng)的點的位置如圖所示 則 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 32 2a 0 a b 0 b a 0 2a a b 例 6 1 已知 求的值 5 2005 2 22 x xx y x y 2 已知的整數(shù)部分為 小數(shù)部分為 則 57 abba 課堂檢測課堂檢測 1 在中 屬于有理數(shù)的是 屬于無理數(shù)的是 3 8 5 0 5 2 16 17 2 2 1 27 3 1 1 3 3 1 3 2 182712 64 17 1 3 若 2 0ababa 則 4 計算 232 3 比較大小 1 2 3 2 3 1253 62 4 下列語句中不正確的是 A 無理數(shù)是帶根號的數(shù) 其根號下的數(shù)字開方開不盡 B 8 的立方根是 2 C 絕對值等于的實數(shù)是 D 每一個實數(shù)都有數(shù)軸上的一個點與它對應(yīng) 66 5 與相乘 結(jié)果為 1 的數(shù)是 32 A B C D 332 32 32 6 下列計算正確的是 A B C D 352332 228 26255 66 2 7 數(shù)軸上表示實數(shù)的點在表示的點的左邊 則式子的值是 x1 22 122 xx A 正數(shù)B 1C 小于 1D 大于 1 8 化簡 甲 乙兩同學(xué)的解法如下 甲 25 3 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 33 25 2525 253 25 3 乙 對于他們的解法 正確的是 25 25 2525 25 3 A 甲 乙的解法都正確B 甲正確 乙不正確 C 甲 乙的解都錯誤 D 正確 甲不正確 9 計算或化簡 1 646 6 1 33 2 2 2 2121 2 xxx 3 8 9 2 3 3 4 4 233221 5 已知 求 1 32 a 22 11 44aa aa 6 已知的值 22 2 3 2 1 2 3 2 1 yxyx 求 10 已知 y 18 求代數(shù)式的值 xx 88yx 11 細(xì)心觀察右圖和認(rèn)真分析下列各式 然后解答問題 21 1 2 2 1 1 s 31 2 2 2 2 2 s 41 3 2 2 3 3 s 1 請用含的 為正整數(shù) 的等式表示上述變化的規(guī)律 nn 2 推算出 5 OA 10 OA 4 s 9 s 3 求出的值 2 10 2 2 2 1 sss 第十四章第十四章 一次函數(shù)一次函數(shù) 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 34 一一 函數(shù)函數(shù) 在某變化過程中 存在 個變量 x y y 隨 x 的變化而發(fā)生變化 對于 x 在其取值范 圍內(nèi) 每一個確定的值 y 都有 的值與之對應(yīng) 我們稱 y 是 x 的函數(shù) 練習(xí) 函數(shù) y 中自變量的取值范圍是 y 中 x 的取值范圍是 1x 1 1 x 二二 一次函數(shù)和正比例函數(shù)一次函數(shù)和正比例函數(shù) 1 1 概念 概念 若兩個變量 x y 間的關(guān)系式可以表示成 y kx b k b 為常數(shù) k 0 的形式 則稱 y 是 x 的 x 為自變量 特別地 當(dāng) b 0 時 稱 y 是 x 的 1 一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實數(shù) 但在實際問題中要根據(jù)函數(shù)的 來確定 2 一次函數(shù) y kx b k b 為常數(shù) k 0 中的 一次 和一元一次方程 一元一次不等 式中的 一次 意義相同 即自變量 x 的次數(shù)為 1 一次項系數(shù) k 必須是不為零的常數(shù) b 可為任意常數(shù) 練習(xí) 已知函數(shù) 2 2 3 nxmy m 1 若是一次函數(shù) 應(yīng)滿足什么條件 2 若是正比例函數(shù) 應(yīng)滿足什么條件 2 一次函數(shù)的圖象一次函數(shù)的圖象 由于一次函數(shù) y kx b k b 為常數(shù) k 0 的圖象是一條直線 所以一次函數(shù) y kx b 的圖象也稱為直線 y kx b 此直線與 y 軸的交點 與 x 軸的交點 畫正 比例函數(shù) y kx 的圖象時 只要描出點 0 1 即可 3 3 一次函數(shù)性質(zhì) 一次函數(shù)性質(zhì) 1 性質(zhì) 2 點 P x0 y0 與直線 y kx b 的圖象的關(guān)系 A 如果點 P x0 y0 在直線 y kx b 的圖象上 那么 x0 y0的值必滿足解析式 y kx b B 如果 x0 y0是滿足函數(shù)解析式的一對對應(yīng)值 那么以 x0 y0為坐標(biāo)的點必在函數(shù)的圖象 上 3 確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達式的條件 A 由于正比例函數(shù) y kx k 0 中只有一個待定系數(shù) k 故只需一個條件 如一對 x y 的 值或一個點 就可求得 k 的值 函數(shù) kb 位置Y隨x的變化草圖 變化的世界 函數(shù)一次函數(shù) 一元一次方程 一元一次不等 式 二元方程 組 性 質(zhì) 圖 像 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 35 B 由于一次函數(shù) y kx b k 0 中有兩個待定系數(shù) k b 需要兩個獨立的條件確定兩個關(guān) 于 k b 的方程 求得 k b 的值 這兩個條件通常是兩個點或兩對 x y 的值 4 一次函數(shù)與方程一次函數(shù)與方程 不等式 不等式 1 1 一元一次方程 一元一次不等式及一次函數(shù)的關(guān)系一元一次方程 一元一次不等式及一次函數(shù)的關(guān)系 一次函數(shù)及其圖像與一元一次方程及一元一次不等式有著密切的關(guān)系 解決此類問題關(guān) 鍵是找到函數(shù) y kx b k 0 k b 為常數(shù) 與 x 軸的交點 直線 y kx b 在 x 軸 的上方 也就是函數(shù)的值大于零 x 的值是不等式 k 0 的解 在 x 軸的下方也就是 函數(shù)的值小于零 x 的值是不等式 k 0 的解 在 x 軸上也就是函數(shù)值等于零 x 的值是方程 的解 2 2 一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系 兩個函數(shù)的交點就是對應(yīng)的二元一次方程組的解 此時兩個函數(shù)的值 圖像在上 方的函數(shù)的值較 熱身訓(xùn)練熱身訓(xùn)練 1 下列各式 y 是 x 一次函數(shù)的為 A B y x2 2x 5 C y 2x D E y a 3F 1 3 2 3 5 2 如圖的四個圖象中 不表示某一函數(shù)圖象的是 3 函數(shù) y x 的圖象是一條過原點及 2 的直線 這條直線經(jīng)過第 象限 當(dāng) x 增大時 y 隨之 4 函數(shù) y 2x 4 與 x 軸的交點是 當(dāng) x y0 5 函數(shù) y 3x 5 上取 x1 1 x2 2 比較大小 y1 y2 函數(shù) y m2 1 x 2 m 為常數(shù) 有 x1 1 x2 2 比較大小 y1 y2 6 某一次函數(shù)圖像過一 三 四象限 則 k 0 b 0 7 如右圖 判斷那些點屬于該直線 A 1 3 B 1 1 C 2 2 D 1 1 2 基本訓(xùn)練基本訓(xùn)練 一 填空題 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 36 1 小華用 500 元去購買單價為 3 元的一種商品 剩余的錢 y 元 與購買這種商品的件數(shù) x 件 之間的函數(shù)關(guān)系是 x 的取值范圍是 2 函數(shù) y 2x 4 的圖象經(jīng)過 象限 它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 3 一次函數(shù) y kx b 的圖象經(jīng)過點 1 5 交 y 軸的點的縱坐標(biāo)是 3 則 k b 4 若點 m m 3 在函數(shù) y x 2 的圖象上 則 m 5 直線 y 3 9x 與 x 軸的交點坐標(biāo)為 與 y 軸的交點坐標(biāo)為 6 若直線 y kx b 平行直線 y 3x 4 且過點 1 2 則 k b 二 選擇題 1 一次函數(shù) y x 1 的圖像不經(jīng)過 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知正比例函數(shù) y kx k 0 的圖像過第二 四象限 則 A y 隨 x 的增大而減小 B y 隨 x 的增大而增大 C 當(dāng) x0 時 y 隨 x 的增大而減小 D 不論 x 如何變化 y 不變 3 結(jié)合正比例函數(shù) y 4x 的圖像回答 當(dāng) x 1 時 y 的取值范圍是 A y 1 B 1 y4 4 如右圖 判斷直線 k b 值范圍 A k 0 b 0 B k 0 b0 b 0 D k0 三 解答題 1 已知 y 與 x 2 成正比例關(guān)系 且當(dāng) x 3 時 y 6 求函數(shù)的表達式 2 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點 A 1 3 和點 2 3 1 求一次函數(shù)的解析式 2 判斷點 C 2 5 是否在該函數(shù)圖象上 3 若函數(shù) y 4x b 的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 8 求解析式 4 已知一次函數(shù) y m 4 x m 2 m 為整數(shù) 的圖象不經(jīng)過第二象限 求 m 的范 圍 5 一次函數(shù) y kx b 的圖象經(jīng)過點 A 0 2 B 1 0 若將該圖象沿著 y 軸向上平移 2 個單位 則新圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是什么 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 37 O 6 已知 2y 3 與 3x 1 成正比例 且 x 2 時 y 5 1 求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 并 指出它是什么函數(shù) 2 若點 a 2 在這個函數(shù)的圖象上 求 a 7 一個一次函數(shù)的圖象 與直線 y 2x 1 的交點 M 的橫坐標(biāo)為 2 與直線 y x 2 的交點 N 的縱坐標(biāo)為 1 求這個一次函數(shù)的解析式 8 某單位為減少用車開支準(zhǔn)備和一個體車主或一家出租車 公司簽訂租車合同 設(shè)汽車每月行駛 xKm 個體車主的 月費用是 y1元 出租車公司的月費用是 y2元 y1 y2分別與 x 之間的函數(shù)關(guān)系圖像 如圖 觀察圖像 并回答下列問題 1 每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時 租用公司的車更省錢 2 每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時 租兩家的車的費用相同 3 如果這個單位估計每月行駛的路程在 2300Km 那么這個單位租哪家的車比較合算 綜合訓(xùn)練綜合訓(xùn)練 1 如圖 已知直線 l1經(jīng)過點 A 1 0 與點B 2 3 另一條直線 l2經(jīng)過點 B 且與 x 軸交于點 P m 0 1 求直線 l1的解析式 2 若 APB 的面積為 3 求 m 的值 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 38 圖 2 2 為了鼓勵市民節(jié)約用水 自來水公司特制定了新的用 水收費標(biāo)準(zhǔn) 每月用水量 x 噸 與應(yīng)付水費 元 的函數(shù)關(guān)系如 圖 2 1 求出當(dāng)月用水量不超過 5 噸時 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān) 系式 2 某居民某月用水量為 8 噸 求應(yīng)付的水費是多少 3 近兩年某地外向型經(jīng)濟發(fā)展迅速 一些著名跨國公司紛紛落戶該地新區(qū) 對各類人才需 求不斷增加 現(xiàn)一公司面向社會招聘人員 其信息如下 信息一 招聘對象 機械制造類和規(guī)劃設(shè)計類人員共 150 名 信息二 工資待遇 機械類人員工資為 600 元 月 規(guī)劃設(shè)計類人員為 1000 元 月 設(shè)該公司招聘機械制造類和規(guī)劃設(shè)計類人員分別為 x 人 y 人 1 用含 x 的代數(shù)式表示 y 2 若公司每月付給所招聘人員的工資為 p 元 要使本次招聘規(guī)劃設(shè)計人員不少于機械制 造人員的 2 倍 求 p 的取值范圍 4 我市某鄉(xiāng) A B 兩村盛產(chǎn)柑桔 A 村有柑桔 200 噸 B 村有柑桔 300 噸 現(xiàn)將這些柑 桔運到 C D 兩個冷藏倉庫 已知 C 倉庫可儲存 240 噸 D 倉庫可儲存 260 噸 從 A 村運往 C D 兩處的費用分別為每噸 20 元和 25 元 從 B 村運往 C D 兩處的費用分別為每噸 15 元 和 18 元 設(shè)從 A 村運往 C 倉庫的柑桔重量為 x 噸 A B 兩村運往兩倉庫的柑桔運輸費用 分別為 yA元和 yB元 1 請?zhí)顚懴卤?并求出 yA yB與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 CD總計 Ax 噸200 噸 B300 噸 總計240 噸260 噸500 噸 2 試討論 A B 兩村中 哪個村的運費較少 3 考慮到 B 村的經(jīng)濟承受能力 B 村的柑桔運費不得超過 4830 元 在這種情況下 請問怎樣調(diào)運 才能使兩村運費之和最小 求出這個最小值 收 地運 地 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 39 第第 1515 章章 整式的乘除與因式分解整式的乘除與因式分解 一 基礎(chǔ)知識一 基礎(chǔ)知識 1 同底數(shù)冪的乘法 同底數(shù)冪的乘法 m n 都是正整數(shù) 即同底數(shù)冪相乘 底數(shù)不變 指數(shù)相 mnm n aaa A 加 2 冪的乘方 冪的乘方 m n 都是正整數(shù) 即冪的乘方 底數(shù)不變 指數(shù)相乘 mnmn aa 3 積的乘方 積的乘方 n 為正整數(shù) 即積的乘方 等于把積的每一個因式分別乘方 n nn aba b 再把所得的冪相乘 4 整式的乘法 整式的乘法 1 單項式的乘法法則 一般地 單項式相乘 把它們的系數(shù) 相同字母的冪分別相乘 對于只在一個單項式里含有的字母 則連同它的指數(shù)作為積的一個因式 2 單項式乘多項式法則 單項式與多項式相乘 就是根據(jù)乘法分配律 用單項式乘多 項式的每一項 再把所得的積相加 可用下式表示 m a b c ma mb mc a b c 都表示單項式 3 多項式的乘法法則 多項式與多項式相乘 先用一個多項式的每一項乘另一個多項式 的每一項 再把所得的積相加 5 乘法公式 乘法公式 1 平方差公式 平方差公式 平方差公式可以用語言敘述為 兩個數(shù)的和與這兩個的差積等于這兩個 數(shù)的平方差 即用字母表示為 a b a b a2 b2 其結(jié)構(gòu)特征是 公式的左邊是兩個一 次二項式的乘積 并且這兩個二項式中有一項是完全相同的 另一項則是互為相反數(shù) 右邊 是乘式中兩項的平方差 2 完全平方公式 完全平方公式 完全平方公式可以用語言敘述為 兩個數(shù)和 或差 的平方 等于 第一數(shù)的平方加上 或減去 第一數(shù)與第二數(shù)乘積的 2 倍 加上第二數(shù)的平方 即用字母 未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義未來文化藝術(shù)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班假期講義 40 表示為 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 其結(jié)構(gòu)特征是 左邊是 兩個數(shù)的和或差 的平方 右邊是三項 首末兩項是平方項 且符號相同 中間項是 2ab 且符號由左邊的 和 或 差 來確定 在完全平方公式中 字母 a b 都具有廣泛意義 它們既可以分別 取具體的數(shù) 也可以取一個單項式 一個多項式或代數(shù)式 如 3x y 2 2 3x y 2 2 3x y 2 22 9x2 6xy 12x y2 4y 4 或者 3x y 2 2 3x 2 2 3x y 2 y 2 2 9x2 6xy 12x y2 4y 4 前者是把 3x y 看成是完全平方公式中的 a 2 看成是 b 后者是 把 3x 看成是完全平方公式中的