高等數(shù)學第2章極限與連續(xù).doc

第二章 極限與連續(xù)極限是高等數(shù)學中最主要的概念之一，也是研究微積分的重要工具，如導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分等定義都需要用極限來定義，因此，掌握極限的思想和方法是學好微積分學的基本前提 第一節(jié) 極限的定義 教學目的：1.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。2.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。教學重難點：1.極限的概念和左極限與右極限概念及應(yīng)用；2.無窮小及無窮小的比較；本節(jié)將在中學學習過的數(shù)列的極限的基礎(chǔ)上學習函數(shù)的極限、極限性質(zhì)、無窮小的定義及性質(zhì)、無窮大的定義及其與無窮小的關(guān)系一、數(shù)列的極限定義 對于數(shù)列，如果當無限增大時，無限趨近于一個確定的常數(shù)， 則稱為數(shù)列的極限記作 或 （）亦稱數(shù)列收斂于；如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的數(shù)列極限的運算法則為：如果, ，那么法則1 () ；法則2 () ；法則3 (是常數(shù))；法則4 (以上法則1，法則2可以推廣到有限個數(shù)列的和與積的情形二、函數(shù)的極限1當時，函數(shù)的極限定義 如果當?shù)慕^對值無限增大（即）時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，那么稱為函數(shù)當時的極限，記為 或 當時，如圖15（b）所示, 函數(shù)當?shù)慕^對值無限增大時, 函數(shù)的圖象無限接近于軸也就是，當時，無限地接近于常數(shù)零，即在上述定義中，自變量的絕對值無限增大指的是既取正值無限增大（記為），同時也取負值而絕對值無限增大（記為）但有時自變量的變化趨勢只能或只需取這兩種變化的一種情形，為此有下面的定義：定義 如果當(或)時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)A，那么A稱為函數(shù)當(或)時的極限，記為 或當時，； 或當時，由圖15（b）可以看出，及，這兩個極限與相等，都是0由圖111（b）可以看出，由于當和時，函數(shù)不是無限趨近于同一個確定的常數(shù)，所以不存在由上面的討論，我們得出下面的定理：定理 的充要條件是： （證明略）2當時，函數(shù)的極限定義 設(shè)函數(shù)在點的某個近旁（點本身可以除外）內(nèi)有定義，如果當趨于（但）時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，那么稱為函數(shù)當時的極限，記為 或 當時，例1 考察極限 (為常數(shù))和解 因為當時，的值恒為，所以因為當時，的值無限接近于，所以3當時，的左、右極限因為有左右兩種趨勢，而當僅從某一側(cè)趨于時，只需討論函數(shù)的單邊趨勢，于是有下面的定義：定義 如果當從左側(cè)趨近（記為）時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，那末稱為函數(shù)當時的左極限，記為 如果當從右側(cè)趨近（記為）時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，那末稱為函數(shù)當時的右極限，記為 定理 的充要條件是：（證明略）例2 討論函數(shù)當時的極限解 觀察圖21可知：，因此，當時，的左右極限存在但不相等，由定理2知，極限 不存在例3 研究當0時, 的極限解 觀察圖22可知：由于,所以當時，的左, 右極限都存在且相等由定理2知0時, 的極限存在，且等于圖2111122Ox1yy=xyx圖22Oxy三、無窮小量實際問題中，常有極限為零的變量例如，電容器放電時，其電壓隨著時間的增加而逐漸減小并趨近于零對于這樣的變量，有下面的定義：1無窮小量的定義定義 極限為零的變量稱為無窮小量，簡稱為無窮小如果，則變量是時的無窮小，如果，則稱是時的無窮小，類似的還有，等情形下的無窮小根據(jù)定義可知，無窮小是一種變化狀態(tài)，而不是一個量的大小，無論多么小的一個數(shù)都不是無窮小，只有零是唯一的一個可作為無窮小的常數(shù)，無窮小是有極限變量中最簡單而最重要的一類，在數(shù)學史上，很多數(shù)學家都致力于“無窮小分析”2無窮小量的性質(zhì)定理 有限個無窮小的代數(shù)和為無窮?。ㄗC明略）注意，無窮個無窮小之和未必是無窮小，如時，都是無窮小，但是，當時，所以不是無窮小定理 有界函數(shù)與無窮小的積為無窮小 （證明略）推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. （證明略）推論2 有限個無窮小的積為無窮小（證明略）例4 求極限解 因為是當時的無窮小，而是一個有界函數(shù)，所以3函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系設(shè)，即時無限接近于常數(shù)A，有就接近于零，即是時的無窮小，若記，于是有定理3 （極限與無窮小的關(guān)系）的充分必要條件是，其中是的無窮小例如當時，有，其中就是時的無窮小四、 無窮大量1無窮大的定義定義6 若當（）時，函數(shù)的絕對值無限增大，則稱函數(shù)為當(或)時的無窮大.函數(shù)當（或）時為無窮大，它的極限是不存在的，但為了便于描述函數(shù)的這種變化趨勢，我們也說“函數(shù)的極限為無窮大”，并記為 或 例如，當時，是一個無窮大，又例如， 當時，是一個無窮大注意，說一個函數(shù)是無窮大，必須指明自變量的變化趨向；無窮大是一個函數(shù)，而不是一個絕對值很大的常數(shù)2無窮大與無窮小的關(guān)系我們知道，當時，是無窮小，是無窮大；當時，是無窮大，是無窮小一般地，在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則是無窮小；反之，如果為無窮小，且，則是無窮大利用這個關(guān)系，可以求一些函數(shù)的極限例5 求極限解 因為，由無窮大與無窮小的關(guān)系，所以五、無窮小量比較由無窮小的性質(zhì)，我們知道兩個無窮小的和、差及乘積仍是無窮小但兩個無窮小的商卻會出現(xiàn)不同的情況例如，當時， 、均為無窮小，而，兩個無窮小之比的極限的不同情況，反映了不同的無窮小趨向于零的“快慢”程度一般地，對于兩個無窮小之比有下面定義：定義 設(shè)和都是同一過程的兩個無窮小量，即，1若，則稱是的高階無窮小量；記作，此時也稱是的低階無窮小量2若，則稱與是同階的無窮小量記作3若，則稱與是等價無窮小量記作例16 當時，比較無窮小與的階解 由于 ，且，所以當時，與是同階無窮小例17 當時，證明與等價解 由于 ，且所以，當時，與為等價無窮小習題訓練1利用函數(shù)圖像，觀察函數(shù)的變化趨勢，并寫出其極限：（1）； （2）；（3） ； （4）；（5）； （6）2設(shè)，作出它的圖象，求出當時，的左極限、右極限，并判斷當時，的極限是否存在？3設(shè)，求和 ，并判斷在時的極限是否存在？4設(shè)，求，5下列函數(shù)在自變量怎樣變化時是無窮??？無窮大？（1） ； （2）； （3） ； （4）6求下列函數(shù)的極限：（1） ； （2）；（3） ； （4）第二節(jié) 極限的運算 教學目的：1.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則;2.掌握利用兩個重要極限求極限的方法。 教學重難點：1.極限的四則運算法則；2.兩個重要極限；一、函數(shù)極限的運算法則與數(shù)列極限類似，函數(shù)的極限也有如下四則運算法則：設(shè)，則法則1 ；法則2 ；法則3 ；法則4 （法則1和法則2可以推廣到有限多個函數(shù)的情形，上述法則對于時同樣成立例1 求極限解 2由例1可見，若函數(shù)為多項式，則有例2 求極限解 由例2可見，若為有理分式函數(shù)，且時，則有例3 求極限 解 本題分子分母的極限皆為零，但它們有公因式，則例4 求極限()解 當時，故不能直接應(yīng)用法則1因為，所以 () 例5 求極限解 分子分母極限均不存在，不能直接運用法則分子分母同除以，則二、兩個重要極限在計算函數(shù)極限時，有時需要利用和這兩個極限 1O圖231根據(jù)在0附近的圖形（如圖23）可以看出，當時，即一般，若在某極限過程中，則在該過程中有我們來求下列函數(shù)的極限例6 求極限解 2例7 求極限解 例8 求極限 解 令, 則時，有，所以 1例9 求極限解 1例10 求極限解 令，則時，且， 則2根據(jù)表21，我們可以觀察時，的變化趨勢2.704812.716922.718152.718272.708282.732002.719642.718422.718302.71828表21可以看出，當時，函數(shù)常數(shù)，它是一個無理數(shù)，即利用代換，則當時，因此有于是得到該極限的另一種常用形式：上述公式可以推廣為：我們來求下列函數(shù)的極限例11 求極限解 例12 求極限解 先將改寫成如下形式：，再令，由于當時，從而例13 求極限解 令，當時，所以例14 求極限解 例15 求極限解因為，令，則，當時，從而四、用Matlab求極限極限運算是高等數(shù)學的基礎(chǔ)，Matlab提供了計算函數(shù)極限的命令，對于復(fù)雜的函數(shù)求極限，用Matlab計算將既快又準，而且很方便，下面用例題的形式給予演示例18 求極限解 在命令窗口中輸入： syms x %確定x為變量，沒再次確定的，計算的時候都將視為常量； y=tan(3*x2)/(2*x2+3*(sin(x)3); %確定函數(shù)； limit(y) %求極限命令輸出結(jié)果ans = 3/2說明例19 求極限解 在命令窗口輸入： syms x y=1/(x*(log(x)2)-1/(x-1)2; limit(y,x,1,right) %right為右極限 輸出結(jié)果ans = 1/12說明例20 求極限 解 在命令窗口中輸入： syms x y=(1+3/x)x; limit(y,x,inf) %inf表示無窮大 輸出結(jié)果：ans = exp(3) % exp（x）表示 說明習題訓練1求函數(shù)的極限.（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）2求下列函數(shù)的極限.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）（為正整數(shù)）3當時，與相比，哪一個是高階無窮?。?當時，無窮小和是否同階？是否等價？5證明當時, 與是同階無窮小量6用Matlab求下列極限（1）； （2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）*第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性教學目的：1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。2.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。 教學重難點：1.函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性；2.區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì);3.間斷點及其分類； 自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，河水的流動，植物的生長等，都是連續(xù)的變化著的.這些現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的增量如果函數(shù)在點及其近旁有定義，當自變量從變到時，函數(shù)相應(yīng)地從變到，此時稱與的差為函數(shù)的增量，記為，即例1 設(shè)函數(shù)，求函數(shù)當由2變到2的增量解 二、函數(shù)的連續(xù)性1函數(shù)在點的連續(xù)性O(shè)xyyf (x0+x)MNf (x0)x0x0+x圖24y = f (x)x現(xiàn)在從函數(shù)的圖象來考察在給定點處及其左、右近旁函數(shù)的變化情況，如圖24所示，曲線在點處沒有斷開，即當保持不變，讓趨近零時，曲線上的點沿曲線趨近于，這時趨近于下面我們給出函數(shù)在點處連續(xù)的定義：定義1 設(shè)函數(shù)在點處及其左、右近旁有定義，如果當自變量在處的增量趨于零時，函數(shù)的增量也趨于零，即則稱函數(shù)在點處連續(xù)例2 證明函數(shù)在給定點處連續(xù)證 當自變量在處取得增量時, 函數(shù)的相應(yīng)的增量為因為 所以函數(shù)在給定點處連續(xù)在上面定義1中，若把改寫為，則，于是，1xy=xO1y圖25當，就是，就是，因此在點處函數(shù)連續(xù)的定義又可以敘述為：定義2 設(shè)函數(shù)在點處及左右近旁有定義，若當時，的極限存在，且等于它在處的函數(shù)值即，則稱函數(shù)在處連續(xù)例3作函數(shù)的圖象，并討論函數(shù)在點處的連續(xù)性解 數(shù)在內(nèi)有定義，圖象如圖25所示，因為，于是有，又，所以函數(shù)在點處連續(xù)2函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性定義3 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點都是連續(xù)的，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，區(qū)間稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間下面先給出函數(shù)在一點左連續(xù)與右連續(xù)的概念設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即，那么稱函數(shù)在點左連續(xù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即，那么稱函數(shù)在點右連續(xù)定義4 如果在上有定義，在內(nèi)連續(xù)，且在右端點左連續(xù)，在左端點右連續(xù)，即，那么就稱函數(shù)在上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的圖象是一條連綿不斷的曲線.三、函數(shù)的間斷點如果函數(shù)在點處有下列三種情形之一：（1）在沒有定義；（2）雖在有定義，但不存在；（3）雖在有定義，且存在，但那么稱函數(shù)在點為不連續(xù)，而點稱為函數(shù)的不連續(xù)點或間斷點例4 求函數(shù)的間斷點解 由于函數(shù)在處沒有定義，故是函數(shù)的一個間斷點，如圖26示例5 求函數(shù)的間斷點解 分界點雖在函數(shù)的定義域內(nèi)，但, ，則極限不存在，故是函數(shù)的一個間斷點，如圖27所示例6 求函數(shù)的間斷點x12O1y圖26y=x21x1xy21O1-1圖2712O1y圖28x解 函數(shù)在點處有定義，且，但是，故，所以是函數(shù)的一個間斷點，如圖28所示間斷點通?？煞譃閮深悾喝绻堑拈g斷點，但左、右極限都存在，那么稱為函數(shù)的第一類間斷點，例4、例5、例6中的間斷點都是第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點例如是函數(shù)的第二類間斷點，是函數(shù)的第二類間斷點四、初等函數(shù)的連續(xù)性利用函數(shù)連續(xù)性定義，可以得定理 設(shè)函數(shù)和在點處連續(xù)，則函數(shù)， 在點處連續(xù)（證明略）定理 設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，函數(shù)在點處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點處連續(xù)（證明略）可知一切基本初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的，由初等函數(shù)的定義和上面的定理可知：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.這個結(jié)論很重要，因為今后討論的主要是初等函數(shù)，而初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是它有定義的區(qū)間若函數(shù)是初等函數(shù)，且為其定義區(qū)間內(nèi)的點，則在點處連續(xù)，即有因此求初等函數(shù)，當?shù)臉O限時，只需計算的值就可以了由于函數(shù)在處連續(xù)，有 說明函數(shù)在點處連續(xù)的前提下，極限符號與函數(shù)符號可以交換運算順序，這一結(jié)論給我們求函數(shù)的極限帶來很大方便例7 求下列極限：(1) ； (2) 解 (1) 因為是初等函數(shù)，其的定義域為而，所以（2）因為是初等函數(shù)，其定義域為：，所以五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 下面介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的兩個重要性質(zhì)定理 （最大值和最小值