概率論第七章參數(shù)估計(jì)

第七章參數(shù)估計(jì) 7 1點(diǎn)估計(jì) 一 問題的提法 二 矩估計(jì)法 由辛欽大數(shù)定理可知 樣本的原點(diǎn)矩依概率收斂到總體的原點(diǎn)矩 即 據(jù)此 得到參數(shù)的矩估計(jì)法 定義 三 極大似然估計(jì)方法 說明 理論依據(jù) 極大似然估計(jì)的求解方法 2 直接根據(jù)定義計(jì)算 例8 設(shè)總體X服從 0 區(qū)間上的均勻分布 求 的極大似然估計(jì) 例9 設(shè)總體X服從 1 區(qū)間上的均勻分布 求 的極大似然估計(jì) 極大似然估計(jì)的性質(zhì) 例如 例8中參數(shù) 的方差DX的極大似然估計(jì)為 7 2 估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn) 1 無偏性 例2 X1 X2 Xn是來自X U 0 的樣本 證明 都是 的無偏估計(jì) 2 有效性 所有無偏估計(jì)中方差最小的無偏估計(jì)稱為最小方差無偏估計(jì) 或稱為有效估計(jì) 3 相合性 一致估計(jì) 根據(jù)辛欽大數(shù)定理 樣本原點(diǎn)矩依概率收斂于相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩 從而樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù) 所以所有的矩估計(jì)都是相合估計(jì)量 說明 7 3區(qū)間估計(jì) 定義 說明 2 置信區(qū)間長度越短 估計(jì)越精確 一般我們是對稱地取 可以證明此時(shí)的置信區(qū)間長度最短 求置信區(qū)間的一般思路 樞軸量法 1 構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量Z Z X1 X2 Xn 除參數(shù) 外 Z不包含其他任何未知參數(shù) Z的分布已知 或可求出 并且不依賴于參數(shù) 也不依賴于其他任何未知參數(shù) Z稱為樞軸量 7 4 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 一 單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 7 4正態(tài)母體參數(shù)的置信區(qū)間 說明 1 通常我們講的都是雙側(cè)的置信區(qū)間 實(shí)際中還有單側(cè)的置信區(qū)間 如書上的定義 2 若函數(shù)g x 單調(diào)增 則 若函數(shù)g x 單調(diào)減 則 例1 設(shè)某異常區(qū)磁場強(qiáng)度服從正態(tài)分布 現(xiàn)對該區(qū)進(jìn)行磁測 按儀器規(guī)定其方差不得超過0 01 今抽測16個(gè)點(diǎn) 算得問此儀器工作是否穩(wěn)定 例2 設(shè)樣本為正態(tài)分布的樣本 其中 和為未知參數(shù) 設(shè)隨機(jī)變量L是關(guān)于 的置信度為1 的置信區(qū)間的長度 求 例3 設(shè)某種清漆的9個(gè)樣品 其干燥時(shí)間 以小時(shí)計(jì) 分別為6 0 5 7 5 8 6 5 7 0 6 3 5 6 6 1 5 0 設(shè)干燥時(shí)間總體服從正態(tài)分布 求 1 為0 6時(shí) 的置信度為0 95的單側(cè)置信上限 2 為未知 的置信度為0 95的單側(cè)置信上限 例4 隨機(jī)地取某種炮彈9發(fā)做試驗(yàn) 得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為S 11 m s 設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布 求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為0 95的置信區(qū)間 二 兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì) 三 兩個(gè)正態(tài)總體中統(tǒng)計(jì)量的分布 用表格表示如下 例5 設(shè)兩位化驗(yàn)員A B獨(dú)立地對某種聚合物含氯量用同樣的方法各作10次測定 其測定值得樣本方差依次為設(shè)分別為A B所測定的測定值