2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)學(xué)案新人教A版.docx

1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.理解函數(shù)的最值的概念(難點(diǎn))2.了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系(易混點(diǎn))3.會用導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最值(重點(diǎn))1.通過函數(shù)最大(小)值存在性的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)直觀想象核心素養(yǎng).2.借助函數(shù)最值的求解問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).1函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值思考：函數(shù)的極值與最值的區(qū)別是什么？提示函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值當(dāng)連續(xù)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大值(或極小值)，則可以判定f(x)在該點(diǎn)處取得最大值(或最小值)，這里(a，b)也可以是無窮區(qū)間2求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值1函數(shù)f(x)2xcos x在(，)上()A無最值B有極值C有最大值 D有最小值A(chǔ)f(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增，無極值，也無最值2函數(shù)f(x)在區(qū)間2,4上的最小值為()A0B. C.D.Cf(x)，當(dāng)x2,4時(shí)，f(x)0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,4上是單調(diào)遞減函數(shù)，故當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)有最小值.3已知函數(shù)f(x)x33x2m(x2,2)，f(x)的最小值為1，則m_.1f(x)3x26x，x2,2令f(x)0，得x0，或x2，當(dāng)x(2,0)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x0時(shí)，f(x)有極小值，也是最小值f(0)m1.求函數(shù)的最值角度1不含參數(shù)的函數(shù)最值【例1】求下列各函數(shù)的最值(1)f(x)3x39x5，x2,2；(2)f(x)sin 2xx，x.解(1)f(x)9x299(x1)(x1)，令f(x)0得x1或x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)變化狀態(tài)如下表：x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)00f(x)111111從表中可以看出，當(dāng)x2時(shí)或x1時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值1.當(dāng)x1或x2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值11.(2)f(x)2cos 2x1，令f(x)0，得cos 2x，又x，2x，2x.x.函數(shù)f(x)在上的兩個(gè)極值分別為f，f.又f，f.比較以上函數(shù)值可得f(x)max，f(x)min.角度2含參數(shù)的函數(shù)最值【例2】a為常數(shù)，求函數(shù)f(x)x33ax(0x1)的最大值解f(x)3x23a3(x2a)若a0，則f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x0時(shí)，有最大值f(0)0.若a0，則令f(x)0，解得x.x0,1，則只考慮x的情況(1)若01，即0a1，則當(dāng)x時(shí)，f(x)有最大值f()2a.(如下表所示)x0(0，)(，1)1f(x)0f(x)02a3a1(2)若1，即a1時(shí)，則當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，當(dāng)x1時(shí)，f(x)有最大值f(1)3a1.綜上可知，當(dāng)a0，x0時(shí)，f(x)有最大值0；當(dāng)0a1，x時(shí)，f(x)有最大值2a；當(dāng)a1，x1時(shí)，f(x)有最大值3a1.1求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值，需注意以下幾點(diǎn)(1)對函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)，并檢驗(yàn)f(x)0的根是否在給定區(qū)間內(nèi)(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，確定最值2由于參數(shù)的取值范圍不同會導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，所以解決含參數(shù)的函數(shù)最值問題常常需要分類討論，并結(jié)合不等式的知識進(jìn)行求解1已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x2(xa)，求f(x)在區(qū)間0,2上的最大值解f(x)3x22ax.令f(x)0，解得x10，x2.當(dāng)0，即a0時(shí)，f(x)在0,2上單調(diào)遞增，從而f(x)maxf(2)84a.當(dāng)2，即a3時(shí)，f(x)在0,2上單調(diào)遞減，從而f(x)maxf(0)0.當(dāng)02，即0a3時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而f(x)max綜上所述，f(x)max已知函數(shù)的最值求參數(shù)【例3】已知函數(shù)f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值為3，最小值為29，求a，b的值解由題設(shè)知a0，否則f(x)b為常函數(shù)，與題設(shè)矛盾求導(dǎo)得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)(1)當(dāng)a0，且x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極大值b，也就是函數(shù)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.(2)當(dāng)af(1)，f(2)16a293，解得a2.綜上可得，a2，b3或a2，b29.已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.其中注意分類討論思想的應(yīng)用.2若函數(shù)f(x)(a0)在1，)上的最大值為，則a的值為_1f(x)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)，0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)0)，當(dāng)xt時(shí)，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合題意，舍去)當(dāng)t變化時(shí)，g(t)，g(t)的變化情況如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)極大值1mg(t)在(0,2)內(nèi)有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0,2)內(nèi)恒成立等價(jià)于g(t)0在(0,2)內(nèi)恒成立，即等價(jià)于1m0.m的取值范圍為(1，)1(變條件)若將本例(2)的條件改為“存在t0,2，使h(t)2tm成立”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍如何求解？解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合題意，舍去)當(dāng)t變化時(shí)，g(t)，g(t)的變化情況如下表：t0(0,1)1(1,2)2g(t)0g(t)1m極大值1m3mg(t)在0,2上有最小值g(2)3m，存在t0,2，使h(t)2tm成立，等價(jià)于g(t)的最小值g(2)0.3m3，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(3，)2(變條件)若將本例(2)的條件改為“對任意的t1，t2(0,2)，都有h(t1)2t2m”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解h(t)t3t1，t(0,2)h(t)3t21由h(t)0得t或t(舍)又當(dāng)0t時(shí)，h(t)0，當(dāng)t2時(shí)，h(t)0.當(dāng)t時(shí)，h(t)max1.令(t)2tm，t(0,2)，(t)minm4.由題意可知m4，即m3.實(shí)數(shù)m的取值范圍為.分離參數(shù)求解不等式恒成立問題的步驟1求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值即可；若函數(shù)在一個(gè)開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，這個(gè)極值就是最值2已知最值求參數(shù)時(shí)，可先確定參數(shù)的值，用參數(shù)表示最值時(shí)，應(yīng)分類討論3“恒成立”問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題1下列結(jié)論正確的是()A若f(x)在a，b上有極大值，則極大值一定是a，b上的最大值B若f(x)在a，b上有極小值，則極小值一定是a，b上的最小值C若f(x)在a，b上有極大值，則極小值一定是xa和xb時(shí)取得D若f(x)在a，b上連續(xù)，則f(x)在a，b上存在最大值和最小值D函數(shù)f(x)在a，b上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，極值一定不會在端點(diǎn)處取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值2函數(shù)yxsin x，x的最大值是()A1B.1C D1C因?yàn)閥1cos x，當(dāng)x時(shí)，y0，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以y的最大值為ymaxsin ，故選C.3函數(shù)f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但無最小值B有最大值，也有最小值C無最大值，但有最小值D既無最大值，也無最小值 Df(x)3x233(x1)(x1)，當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，無最大值和最小值，故選D.4設(shè)函數(shù)f(x)x32x5，若對任意x1,2，都有f(x)m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_f(x)3x2x20，x1，.f(1)5，f5，f(1)