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高考導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法本知識單元考查題型與方法:與切線相關(guān)問題(一設(shè)切點,二求導(dǎo)數(shù)=斜率=,三代切點入切線、曲線聯(lián)立方程求解);其它問題(一求導(dǎo)數(shù),二解=0的根若含字母分類討論,三列3行n列的表判單調(diào)區(qū)間和極值。結(jié)合以上所得解題。)特別強調(diào):恒成立問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值。導(dǎo)函數(shù)中證明數(shù)列型不等式注意與原函數(shù)聯(lián)系構(gòu)造,一對多涉及到求和轉(zhuǎn)化。關(guān)注幾點:恒成立:(1)定義域任意x有k,則常數(shù)k;(2)定義域任意x有k,則常數(shù)k 恰成立:(1)對定義域內(nèi)任意x有恒成立,則(2)若對定義域內(nèi)任意x有:恒成立,則能成立:(1)分別定義在a,b和c,d上的函數(shù),對任意的存在使得,則(2)分別定義在a,b和c,d上的函數(shù),對任意的存在使得,則一、考綱解讀考查知識題型:導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù);兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的最大值和最小值;證明不等式、求參數(shù)范圍等二、熱點題型分析題型一:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。1 在區(qū)間上的最大值是 2 2已知函數(shù)處有極大值,則常數(shù)c 6 ;3函數(shù)有極小值 1 ,極大值 3 題型二:利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程1曲線在點處的切線方程是 2若曲線在P點處的切線平行于直線,則P點的坐標為 (1,0) 3若曲線的一條切線與直線垂直,則的方程為 4求下列直線的方程: (1)曲線在P(-1,1)處的切線; (2)曲線過點P(3,5)的切線;解:(1) 所以切線方程為 (2)顯然點P(3,5)不在曲線上,所以可設(shè)切點為,則又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,所以過點的切線的斜率為,又切線過、P(3,5)點,所以有,由聯(lián)立方程組得,即切點為(1,1)時,切線斜率為;當切點為(5,25)時,切線斜率為;所以所求的切線有兩條,方程分別為題型三:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值、最值1已知函數(shù)的切線方程為y=3x+1 ()若函數(shù)處有極值,求的表達式; ()在()的條件下,求函數(shù)在3,1上的最大值; ()若函數(shù)在區(qū)間2,1上單調(diào)遞增,求實數(shù)b的取值范圍 解:(1)由過的切線方程為: 而過故 由得 a=2,b=4,c=5 (2)當 又在3,1上最大值是13。 (3)y=f(x)在2,1上單調(diào)遞增,又由知2a+b=0。 依題意在2,1上恒有0,即 當;當;當 綜上所述,參數(shù)b的取值范圍是2已知三次函數(shù)在和時取極值,且(1) 求函數(shù)的表達式; (2) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(3) 若函數(shù)在區(qū)間上的值域為,試求、應(yīng)滿足的條件解:(1) ,由題意得,是的兩個根,解得,再由可得 (2) ,當時,;當時,;當時,;當時,;當時,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);在區(qū)間上是減函數(shù);在區(qū)間上是增函數(shù)。函數(shù)的極大值是,極小值是 (3) 函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個單位,向上平移4個單位得到的,所以,函數(shù)在區(qū)間上的值域為()而,即于是,函數(shù)在區(qū)間上的值域為令得或由的單調(diào)性知,即綜上所述,、應(yīng)滿足的條件是:,且3設(shè)函數(shù)(1)若的圖象與直線相切,切點橫坐標為,且在處取極值,求實數(shù) 的值;(2)當b=1時,試證明:不論a取何實數(shù),函數(shù)總有兩個不同的極值點 解:(1) 由題意,代入上式,解之得:a=1,b=1(2)當b=1時,因故方程有兩個不同實根不妨設(shè),由可判斷的符號如下:當;當;當因此是極大值點,是極小值點,當b=1時,不論a取何實數(shù),函數(shù)總有兩個不同的極值點。題型四:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象1如右圖:是f(x)的導(dǎo)函數(shù), 的圖象如右圖所示,則f(x)的圖象只可能是( D )(A) (B) (C) (D)2函數(shù)( A )xyo4-424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o42243方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3題型五:利用單調(diào)性、極值、最值情況,求參數(shù)取值范圍1設(shè)函數(shù) (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值.(2)若當時,恒有,試確定a的取值范圍.解:(1)=,令得 列表如下:x(-,a)a(a,3a)3a(3a,+)-0+0-極小極大 在(a,3a)上單調(diào)遞增,在(-,a)和(3a,+)上單調(diào)遞減時,時, (2),對稱軸,在a+1,a+2上單調(diào)遞減 ,依題, 即解得,又 a的取值范圍是2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc在x與x1時都取得極值(1)求a、b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對x1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍。解:(1)f(x)x3ax2bxc,f(x)3x22axb由f(),f(1)32ab0得a,b2f(x)3x2x2(3x2)(x1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:x(,)(,1)1(1,)f(x)00f(x)極大值極小值所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(,)與(1,),遞減區(qū)間是(,1)(2)f(x)x3x22xc,x1,2,當x時,f(x)c為極大值,而f(2)2c,則f(2)2c為最大值。要使f(x)f(2)2c,解得c2題型六:利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根1已知平面向量=(,1). =(,).(1)若存在不同時為零的實數(shù)k和t,使=+(t23),=-k+t,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t) ;(2) 據(jù)(1)的結(jié)論,討論關(guān)于t的方程f(t)k=0的解的情況.解:(1),=0 即+(t2-3) (-k+t)=0. 整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)=0 =0,=4,=1,上式化為-4k+t(t2-3)=0,即k=t(t2-3)(2)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況,可以看作曲線f(t)= t(t2-3)與直線y=k的交點個數(shù). 于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時,f(t)、f(t)的變化情況如下表:t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)極大值極小值當t=1時,f(t)有極大值,f(t)極大值=.當t=1時,f(t)有極小值,f(t)極小值=函數(shù)f(t)=t(t2-3)的圖象如圖1321所示,可觀察出:(1)當k或k時,方程f(t)k=0有且只有一解;(2)當k=或k=時,方程f(t)k=0有兩解;(3) 當k時,方程f(t)k=0有三解. 題型七:導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合1設(shè)在上是單調(diào)函數(shù).(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)設(shè)1,1,且,求證:.解:(1) 若在上是單調(diào)遞減函數(shù),則須這樣的實數(shù)a不存在.故在上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù),則,由于.從而0a3.(2)方法1、可知在上只能為單調(diào)增函數(shù). 若1,則 若1矛盾,故只有成立.方法2:設(shè),兩式相減得 1,u1,2已知為實數(shù),函數(shù)(1)若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線,求的取值范圍(2)若,()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間()證明對任意的,不等式恒成立解:,函數(shù)的圖象有與軸平行的切線,有實數(shù)解 ,所以的取值范圍是,由或;由的單調(diào)遞增區(qū)間是;單調(diào)減區(qū)間為易知的最大值為,的極小值為,又在上的最大值,最小值對任意,恒有題型八:導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用1請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時,帳篷的體積最大?解:設(shè)OO1為,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為:,(單位:)故底面正六邊形的面積為:=,(單位:)帳篷的體積為:(單位:)求導(dǎo)得。令,解得(不合題意,舍去),當時,為增函數(shù);當時,為減函數(shù)。當時,最大。答:當OO1為時,帳篷的體積最大,最大體積為。2統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升)關(guān)于行駛速度(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為:已知甲、乙兩地相距100千米。(I)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?(II)當汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?解:(I)當時,汽車從甲地到乙地行駛了小時,要耗沒(升)。(II)當速度為千米/小時時,汽車從甲地到乙地行駛了小時,設(shè)耗油量為升,依題意得令得當時,是減函數(shù);當時,是增函數(shù)。當時,取到極小值因為在上只有一個極值,所以它是最小值。答:當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油1
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