蘇教版六年級數(shù)學下：基于圓錐體積公式推導的數(shù)學思考.doc

蘇教版六年級數(shù)學下：基于圓錐體積公式推導的數(shù)學思考變故突生，課堂遭遇意外圓錐體積的推導，最常用的就是倒三次水的方法，清楚明白地發(fā)現(xiàn)圓錐的體積是等底等高的圓柱體積的三分之一。小學6年級的時候，我學過一次，等我當了教師，我教過學生兩次。今天還是上這節(jié)課，輕車熟路，實驗和講解都很順利，學生開始做練習了。過了一會兒，教室里有了些不和諧的聲音，起先還壓抑著，后來掩不住興奮炸裂開來。兩個臉漲得通紅的男同學，高聲叫著，二分之一！是二分之一！你看。孫老師，其中叫范托的學生激動地說：你先看，這個三角形的面積是不是這個長方形的一半？一個涂得臟兮兮的長方形，以及一個沿這個長方形的對角線對折后剪下來的三角形出現(xiàn)在我眼前(如圖一)。對呀。那這個呢？他又拿出和剛才相同的兩個圖形。也是呀。這樣兩個疊起來，兩個三角形的體積是不是兩個長方形的一半。是呀。那3個、4個、很多個疊起來呢？也是二分之一啊。那就對了。他得意地說，接著開始演示，他把一個長方形和一個三角形粘在一起，以一條寬為軸，用手撥動另外一邊旋轉(zhuǎn)360度（如圖三），撥一下，數(shù)一下，1張、2張、3張 一起轉(zhuǎn)的，那張數(shù)是一樣多，長方形轉(zhuǎn)一圈就是圓柱,三角形轉(zhuǎn)一圈就是圓錐,那圓錐的體積不就是圓柱的二分之一嗎?教室里突然靜了下來，部分學生已經(jīng)停下了對作業(yè)的討論，盯著講臺上的三角形碎片想著剛才的推論。太突然了，我深吸一口氣讓自己保持鎮(zhèn)定，頭腦中迅速地調(diào)動相關(guān)知識：旋轉(zhuǎn)成形的任一瞬間，三角形的面積都是長方形的二分之一，由于是同步旋轉(zhuǎn)，因此旋轉(zhuǎn)的度數(shù)完全相同，也就是說，累計疊加的個數(shù)也完全相同，因此，由無數(shù)個三角形旋轉(zhuǎn)疊加而成的圓錐的體積，應該就是由同樣多個數(shù)的長方形旋轉(zhuǎn)疊加而成的圓柱的體積的二分之一！天哪，這個推理好像是天衣無縫，面對人們信之不移的規(guī)律性知識，不同的方法怎么出現(xiàn)了不同的結(jié)論！應該是三分之一啊，怎么辦？我知道我的學生此刻都在盯著我。兩分鐘后，終于有人忍不住開了口，教室里炸開了鍋。書上印錯了！倒水的時候，3次根本就沒有倒?jié)M，不是三分之一，應該是二分之一??！范托，你好厲害！而我，只能暫時眼睜睜地看著他們，因為我確實無法當堂反饋這個推理的邏輯漏洞。尋根索源，問題從何而來1.實驗不精確埋下了問題的種子。實驗用的圓柱量杯和圓錐量斗外表面比較時，確實是等底等高，但由于透明塑料有一定的厚度，實際上圓錐的容積要略微小于圓柱容積的三分之一，因此，每次裝的水倒入量杯的時候，總會比三等分的刻度線稍微低一點。3次倒水完成后，離杯口還差一點距離。通常的做法就是簡單地向?qū)W生解釋一下，是實驗誤差，學生也能接受。但在喜歡較真的學生心里卻埋下了問題的種子，思量著是否有其他的推理方法來驗證甚至推翻這個結(jié)論。2.知識漸豐使得問題萌發(fā)。學生會想到用疊加的方法雖然出乎意料，卻不是偶然的，雖然教材中沒有要求，但在面積體積的教學中，我鋪墊了有關(guān)點線面三者之間演變的過程，那時是為了幫助他們更好地理解概念：把點一個個沿一定的方向密密麻麻地排列，就形成了線，線段的長度可以理解為點的個數(shù)；把同樣長度的線段沿一定的方向平行疊加排列，就形成一個面，線的條數(shù)可以理解為所形成的長方形的寬，長方形的面積線的長度線的條數(shù)長寬；大小相同的面，一層層往上疊加形成柱體，面的層數(shù)可以理解為柱體的高。柱體體積底面面積面的層數(shù)底面面積高。沒想到，埋下的種子，卻在這里生根發(fā)了芽。3.求知欲和好勝心強促使問題爆發(fā)。6年級的孩子叛逆心強，不滿現(xiàn)實,充滿幻想，喜歡挑戰(zhàn)權(quán)威，又追求新奇。平時班級競賽中又多以解答方法巧妙而論勝負，導致學生尤其是優(yōu)秀學生群中，以與眾不同為榮。他們學有余力，專門喜歡研究冷門解法，以彰顯自己的實力。面對生成，教師如何應對1.錯誤的過程比正確的結(jié)果更重要?，F(xiàn)代數(shù)學教學更關(guān)注過程的價值，關(guān)注學生學習的體驗和感受。學生良好的情感態(tài)度和價值觀的獲得也是一項教學目標，一定程度上，這比知識和技能的掌握更重要。我知道學生的結(jié)論是錯誤的，但我無法解釋，那么，對于這個過程的思辨和探究是否該停止呢？從知識習得的角度說，學生是失敗的，繼續(xù)研究討論錯誤的結(jié)論是沒有必要的。但從另一個角度來看，學生是成功的，因為他們不僅參與了數(shù)學活動，獲得了親身體驗，而且在正確與錯誤的思維交鋒中，迫使他們不斷調(diào)整、完善、重塑頭腦中的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學思維方式。只有經(jīng)過深入討論研究，真正弄清了錯誤的根源所在，才能更深刻地體會正確之正的真正意義。就算反復考慮后仍無法解答，留一個問號在腦子里，隨時思量，也是一件不錯的事情。這個探究的過程，就是學生自我進步的過程。當然，這個討論的過程如果放在課后小范圍中繼續(xù)進行，更能協(xié)調(diào)好班級整體發(fā)展與個人發(fā)展的關(guān)系。2.學生思維的鍛煉比教師的智慧形象更重要。教學真的是一條奇幻旅程，如果沒有平日里對他們算法多樣化的縱容，他們就會毫不猶豫地接受書本上的定論，也就不會旁生枝節(jié)，搞出這樣一個至今還令我無法解釋的問題。那么，今天站在課堂上的我依然是一個學識淵博的不倒問，照這樣的邏輯推理，是我自己給自己制造了麻煩，后悔嗎？不！不后悔！這件事情確實讓我有所震動。教師之所以有權(quán)威，其中一個重要的原因是教師在某些方面比學生知識淵博，兩者之間知識相差的距離越大，權(quán)威感就越強，因此對教師自身業(yè)務的提高也就提出了更高的要求。現(xiàn)在學生獲取知識的途徑越來越多，學習的速度越來越快，如果把現(xiàn)在教師和學生之間的知識差看作一個固定的數(shù)，那如何來減緩這個差距縮小的速度呢？是控制學生的學習速度，讓自己可以悠閑地吸收新知識？還是想盡辦法激發(fā)他們體內(nèi)的智慧能量，然后在他們的窮追猛跑下策馬狂奔？我想，我的選擇肯定是后者。課后，為了這個問題我查看了七八本書，還請教了教研員和數(shù)學學科方面的專家，在他們的指導下，總算對這個問題有了進一步深入的理解:我們一直從面的角度在考慮，無限分割成面后，把任意一個面沿對角線平分，那么三角形x和三角形y的面積相等(如圖四)，因此旋轉(zhuǎn)累加后，三角形x所形成的體與三角形y所形成的體也是體積相同的，因此學生的二分之一說似乎是有根據(jù)的。但事實上，旋轉(zhuǎn)成形和線形疊加成形是不同的。旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)的角度雖然一定，但旋轉(zhuǎn)點離中心點的位置不同，實際移動的距離也是不同的。打個比方，在旋轉(zhuǎn)面的一條邊上取兩個點j和k，旋轉(zhuǎn)同樣的角度時，j所移動的距離要明顯的大于k所移動的距離（如圖五）。也就是說，在每個旋轉(zhuǎn)瞬間形成的是中間薄、外端厚，底面是扇形的柱體（如圖六）。把它沿著AEF這個面分割，三角形x沿AB軸旋轉(zhuǎn)所形成的四面體是ABEF,三角形y沿AB軸旋轉(zhuǎn)所形成的五面體是ACDEF,從體積的角度看，這兩個部分的底面完全相同，是一個扇形，但分開比較后可以發(fā)現(xiàn)，三角形x沿軸AB旋轉(zhuǎn)所形成的體，以軸AB為高度最大處的厚度（如圖七），而三角形y沿軸AB旋轉(zhuǎn)所形成的體是以弧面CDEF為高度最大處的厚度（如圖八），兩者的體積進行比較顯而易見是后者比較大。由此推論，二分之一說就不能成立了。如果能證明五面體ACDEF的體積正好是四面體ABEF的兩倍，那倒可以成為圓錐體積三分之一說的另一種證明方法，可惜弧面的計算方法是我未曾涉獵的知識，這次被學生問住開始促使我重新審視自己的知識結(jié)構(gòu)，我所擁有的知識還遠遠不夠啊！復雜問題，怎樣深入淺出學生期盼的解答終于揭開面紗，但這么復雜的解釋想讓6年級的學生接受似乎有點困難，得想個好方法。那天我走進教室的時候，手中多了1個圓形蛋糕。我先借用范托的道具演示了一番，讓學生清楚感受到形成的是1個圓柱體，然后拿出蛋糕，我們來切一個面看看，我從圓心出發(fā)切了1刀，讓學生想象切面是什么形狀，學生想到了，是長方形，只不過藏在里面。30個這樣的長方形疊加呢？我拿出了另外的30個大小相同的長方形追問。是長方體。學生毫不猶豫地回答，我按他們的意思疊加了一遍，果然是長方體。接著我不緊不慢地說，如果旋轉(zhuǎn)了一度算一片，旋轉(zhuǎn)30度左右，該切在哪里??？很多學生自告奮勇來切，一塊蛋糕就切下來了。觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？在兩個物體的比較中學生很快明白了直線疊加和旋轉(zhuǎn)疊加的不同（如圖九）：直線疊加兩端同時增厚，而旋轉(zhuǎn)疊加一端增厚，沿軸的一端厚度卻一直沒有發(fā)生變化。我乘勝追擊,適合直線疊加的推論就不一定會適合旋轉(zhuǎn)疊加，因為有一部分被互相擠掉了。說的時候我還特地使勁捏了捏長方體的一端。有些學生開始醒悟了，小聲地說那就不一定是二分之一了。這就滿足了??！那我的蛋糕不是浪費了嗎？我故意賣了個關(guān)子，學生頓時來了精神。還有什么？我拿起切下的那塊蛋糕，這個面是長方形吧？沿對角線一分是兩個一模一樣的三角形吧？好，沿這條對角線把蛋糕切開，兩塊一樣大嗎？學生中起了爭論，不一會兒就只剩下一種聲音，當?shù)案獗晃矣蒙厦娴姆椒?